第二十章 勾股定理【小结与复习】 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

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人教版（新教材）数学八年级下册第二十章 勾股定理小结与复习1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边 为 c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用2. 勾股定理的应用条件一、勾股定理 3. 勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2，b2＝c2－a2， 二、勾股定理的逆定理1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形.满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.2. 勾股数例1 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， CD⊥AB 于 D，AC = 20，BC = 15.(1) 求 AB 的长； (2) 求 BD 的长．解：(1) ∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，(2) 方法一：∵ S△ABC = AC • BC = AB • CD，∴ 20×15 = 25CD，∴ CD = 12．∴ 在 Rt△BCD 中，方法二：设 BD = x，则 AD = 25 - x.解得 x = 9. ∴ BD = 9.【方法总结】对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示方法来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.∵AC²－AD²＝CD²，BC²－BD²＝CD²，∴AC²－AD²＝BC²－BD².∴20²－(25－x)²＝15²－x²，即 50x＝450.1. Rt△ABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2 + BC2 的值为 （　　） A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算 A3. 一直角三角形的三边分别为 2、3、x，那么以 x 为边长的正方形的面积为___________.2. 如图，∠C =∠ABD = 90°，AC = 4，BC = 3，BD = 12，则 AD 的长为____．13 或 5 13 【练一练】4．已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm， c = 10 cm，求△ABC 的面积.解：∵ a + b = 14，∴ (a + b)2 = 196.又∵ a2 + b2 = c2 = 100，∴ 2ab = 196 - (a2 + b2) = 96.∴ ab = 24.∴△ABC 的面积为 24．例2 在 O 的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处.(1) 此时快艇航行了多少米？分析：将实际问题转化为几何问题已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，∠COB = 45° ，AB⊥OC.求解： AB 的长.解：根据题意得∠AOC = 30°，∠COB = 45°，AO = 1000 米.∴ AC = 500 米，BC = OC. 在 Rt△AOC 中，由勾股定理得∴ BC = OC = (米).AB60°45°C已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，∠COB = 45° ，AB⊥OC.求解： AB 的长.30°(2) 此时快艇距离哨所多少米？解：在 Rt△BOC 中，由勾股定理得AB60°45°C分析：将实际问题转化为几何问题，即求 OB 的长.例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解析：蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1 点，有三种方式：①沿 ABB1A1 和 A1 B1C1D1 面；②沿 ABB1A1 和 BCC1B1面；③沿 AA1D1D 和 A1B1C1D1 面，把三种方式分别展成平面图形，如下：解：① 在 Rt△ABC1中，②在 Rt△ACC1 中，③在 Rt△AB1C1中，∴沿路径①走路径最短，最短路径长为5.【方法总结】化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.5.现有一长 5 米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是 3 米，则梯子可以到达建筑物的高度是______米．4【练一练】在 Rt△AOB 中，OA＝2，OB＝DC＝1.4，∴ AB2＝22－1.42＝2.04，解得 AB ≈ 1.43.∴ AC＝AB + BC ≈ 1.43 + 2.6＝4.03＞4．答：卡车可以通过，但要小心．解：过半圆的圆心 O，作直径的垂线交地面于点 D，在地面取点 C，使 CD＝1.4 米，过 C 作 OD 的平行线交半圆直径于点 B ，交半圆于点 A，连接 OA.6. 如图，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？例4 在△ABC中，AB = c，BC = a，AC=b， ，2c - b = 12，求△ABC 的面积．解：由题意可设 a = 3k，则 b = 4k，c = 5k，∵ 2c - b = 12，∴ 10k - 4k = 12，∴k = 2，∴ a = 6，b = 8，c = 10，∵ 62 + 82 = 102，∴ a2 + b2 = c2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的面积为 ×6×8=24．例5 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为 BM = 16（n mile），乙船航行的距离为 BP = 30（n mile）．∵162 + 302 = 1156，342 =1156，∴BM2 + BP2 = MP2，∴△MBP 为直角三角形，∴∠MBP = 90° ，∴乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的．7.下列各组数中，是勾股数的为（　　）A．1，2，3B．4，5，6C．3，4，5D．7，8，98.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________． (2)(4) C【练一练】9. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20 cm，BC = 15 cm，CD = 7 cm，AD = 24 cm，∠ABC = 90°．猜想∠BAD 与∠BCD 的关系，并加以证明．解：猜想∠BAD + ∠BCD = 180°．证明如下：连接AC. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ∴ AD2 + DC2 = 625 = 252 = AC2．∴△ADC 是直角三角形，且∠D = 90°．∵∠DAC+∠D +∠DCA+∠CAB+∠B+∠ACB= 180°×2，∴∠BAD+∠BCD=180°．例6 如图，在长方形 ABCD 中，AB = 3 cm，AD = 9 cm，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，求 △ABE 的面积.解：由折叠可知 ED = BE.设 AE = x cm，则 ED = BE = (9 - x) cm．在 Rt△ABE 中，AB2 + AE2 = BE2，∴ 32 + x2 = (9 - x)2，解得 x = 4.∴ △ABE 的面积为 ×3×4 = 6 (cm2).【方法总结】勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，往往要通过勾股定理列方程去求解．10.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕是 DE，则 CD 的长为 cm． 1.75 【练一练】【方程思想】 例7 如图，在 △ABC 中，AB = 17，BC = 9，AC = 10，AD⊥BC 于 D. 试求 △ABC 的面积．解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，AB2 - BD2 = AD2，AC2 - CD2 = AD2．设 DC = x，则 BD = 9 + x．故 172 - (9 + x)2 = 102 - x2，解得 x = 6.∴AD2 = AC2 − CD2 = 64．∴ AD = 8.∴S△ABC = ×9×8 = 36．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.例8 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．【分类讨论思想】 【方法总结】题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形．当高 AD 在△ABC 外部时，如图②.同理可得 BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为 7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为 42 或 60. 例9 有一圆柱体高为 8 cm，底面圆的半径为2 cm，如 图 在 AA1 上的点 Q 处有一只蜘蛛，QA1 = 3 cm，在 BB1 上的点 P 处有粘住了一只苍蝇，PB = 2 cm. 求蜘蛛爬到苍蝇处的最短路径长 (π 取 3).解：如图，沿AA1剪开，过Q作QM⊥BB1于M，连接QP.则 PM = 8 - 3 - 2 = 3 (cm)，QM = A1B1 = ×2×π×2= 6 (cm)．在 Rt△QMP 中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路径长是 cm．【转化思想】 返回1．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题．对这个问题稍作改编，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＋AC＝9，BC＝3，则AC的长为________．4 返回2．[2025东营]如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2 025的值为________．3．如图①是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行360°全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为150 m．图②中，射线OM，ON是两条相交的公路，∠MON＝30°，将图①的球机安装在公路ON上的A处，OA＝240 m．求该球机夜间在公路OM上所能监控到的部分的长度． 返回 返回4．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝________．45° 返回A6．2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D．已知AB＝160 m，AC＝200 m，点C在点B的正东方120 m处，点D在点C的正北方50 m处．(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；【解】AB⊥BC.理由如下：由题知AB＝160 m，AC＝200 m，点C在点B的正东方120 m处，即BC＝120 m.∵AB2＋BC2＝1602＋1202＝2002＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°.∴AB⊥BC.(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 返回【点方法】利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个重要的方法．7．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2＋y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数解(x，y，z)称为勾股数．如(3，4，5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数：__________，___________；(6，8，10)(9，12，15)(答案不唯一) 返回(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以说明．【解】∵x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝ n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，∴(x，y，z)为勾股数． 返回8．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20 cm、长是50 cm、宽是40 cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是________ cm.1309．[2025泰州期中]如图，已知三角形纸片ABC，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕与AC的交点为E，则AE的长是________． 返回10．如图，C为直线l上的一个动点，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，点E在点D右侧，并且点A，B在直线l的同侧，AD＝DE＝8，BE＝2，当CD长为多少时，△ABC为直角三角形？【解】过点B作BF⊥AD于点F，则易得四边形DEBF为长方形，∴BF＝DE＝8，DF＝BE＝2，∴AF＝6.由勾股定理得，AB2＝AF2＋BF2＝100，AC2＝64＋CD2.当∠CAB＝90°时，点C在点D的左侧，此时BC2＝(CD＋8)2＋4＝CD2＋16CD＋64＋4.由勾股定理得AB2＋AC2＝BC2，∴100＋64＋CD2＝CD2＋16CD＋64＋4，解得CD＝6； 返回谢谢观看！