福建省三明市第二中学高二上学期期中考试数学试题（A）-A4

这是一份福建省三明市第二中学高二上学期期中考试数学试题（A）-A4，共8页。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，）的直线l的方程是（ ）
A. 3x+2y－1＝0B. 3x+2y+1＝0C. 2x+3y+1＝0D. x－2y－3＝0
2. 已知空间向量，若 ，则实数值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
5. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A. 8B. 5C. 2D. 1
7. 在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）已知曲线Γ：（），则（ ）
A. Γ可能等轴双曲线
B. 若Γ表示焦点在y轴上椭圆，则
C. Γ可能是半径为的圆
D. 若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则
10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 圆心C的坐标为
B. 点Q在圆C外
C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为
D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为
11. 已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（）
A. 直线与平面所成角的正弦值范围为
B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. 点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知为中点，当的和最小时，为的中点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 点到直线：的距离是______
13. 已知线段是圆一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________.
14. 如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则_______________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.
（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.
16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
17. 已知一条动直线，
（1）求直线恒过的定点的坐标；
（2）若直线不经过第二象限，求m的取值范围；
（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.
18. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点，，求的最大值；
（3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
19. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”．
（1）若，求曲线H的方程；
（2）若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由；
（3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点．
2024—2025学年（上）高二年级期中考试（A）
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】(1) ；(2) .
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1），
（2）
（3）存在，和
【19题答案】
【答案】（1）
（2）存在使得取得最小值4，理由见解析
（3）证明见解析