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福建省三明市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附答案）
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这是一份福建省三明市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了等比数列中，若，，则，两条平行线，间的距离等于，抛物线具有以下光学性质，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页。满分150分。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，若，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．2D．4
3．等比数列中，若，，则（ ）
A．10B．16C．24D．32
4．两条平行线，间的距离等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在四面体OABC中，，，且（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，若直线上存在点P使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知数列，的前n项和分别为，若，，，则（ ）
A．150B．100C．200D．5050
8．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．从抛物线的焦点F发出的两条光线分别经抛物线反射，若这两条光线均在抛物线对称轴同侧且与x轴的夹角均为60°，两条反射光线之间的距离为，则p＝（ ）
A．1B．C．2D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．等差数列的前n项和为，若，则下列各项的值一定为m的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．设函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有2个点到直线的距离等于
C．曲线与恰有四条公切线
D．已知圆，P为直线上一动点，过点P向圆C引切线PA，其中A为切点，则的最小值为2
12．如图，在底面是直角三角形的直三棱柱中，P是的中点，，，若平面过点P，且与平行，则（ ）
A．异面直线与CP所成角的余弦值为
B．三棱锥的体积是三棱柱体积的
C．当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时该图形的面积等于
D．当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为______．
14．曲线在点处的切线方程为______．
15．已知双曲线的离心率为e，直线与双曲线交于M，N两点，若，则e的值是______．
16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）。如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），，若“冰雹猜想”中，则m所有可能的取值集合为______．
五、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和．
18．（12分）
在四棱锥中，底面ABCD是矩形，E，F分别是棱BC，PD的中点．
（1）证明：平面PAE：
（2）若平面ABCD，且，，求二面角的余弦值．
19．（12分）
已知椭圆的右焦点为，且经过点
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
20．（12分）
在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且为锐角．在梯形ABEF中，，，，平面平面ABCD．
（1）证明：平面ACF：
（2）若，，是否存在实数，使得直线CG与平面CEF所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由．
21．（12分）
已知数列满足：．
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．
22．（12分）
在平面直角坐标系xy中，已知点，A，B为抛物线上不同的两点，，且于点D．
（1）求P的值；
（2）过x轴上一点的直线l交C于，两点，M，N在C的准线上的射影分别为P，Q，F为C的焦点，若，求MN中点E的轨迹方程．
三明市2023-2024学年第一学期普通高中期末质量检测
高二数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．BD 10．BCD 11．ACD 12．AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．14．
15．16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）设等差数列的公差为d，由题意得，
解得，
所以．
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
所以，
所以
．
18．解：（1）证明：如图，取PA中点G，连接FG，EG，
因为点F为PD中点，所以且，
又因为四边形ABCD为矩形，E为BC的中点，
所以且，
所以且，所以四边形FGEC为平行四边形，所以，
又因为平面PAE，平面PAE，所以平面PAE．
（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
所以，，设平面FAE的一个法向量为，
则，即，
令，得，
易知平面DAE的一个法向量为，
易知二面角为锐二面角，设其二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
19．解：（1）由题意得，
解得，
故椭圆的标准方程为．
（2）联立，消去y得，
设，，则，
故
．
20．解：（1）证明：因为平面平面ABCD，，平面ABEF，
平面平面，所以平面ABCD，
又因为平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD为菱形，所以，
又，AF，平面ACF，所以平面ACF，
（2）设，
因为，
所以．
因为为锐角，所以，所以为等边三角形，
所以，．
以O为原点，OC，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面CEF的一个法向量，则，
即，
取，可得，，故，
假设存在实数，使得直线CG与平面CEF所成角的正弦值为，设，由
得，则．
设直线CG与平面CEF所成的角为，
则，
解得，即或，又因为，所以，
故存在实数，使得直线CG与平面CEF所成角的正弦值为．
21．解：（1）证明：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列．
所以，
当时，，
所以，
当时，也满足上式，
故数列的通项公式为，
（2）解：由题意可知，
所以，
所以，
所以①
将①式两边同时乘以，得，②
①-②得：
所以
故数列的前n项和，
22．解：（1）由及，得直线AB的斜率，
则AB的方程为，即，
设，，
联立消去x得，，
由韦达定理得，于是，
由，得，即xxg+YJY%=0，
由OA⊥OB，得OA-OB=0，即，
即，解得．
（2）由（1）得抛物线的焦点，设C的准线与x轴的交点为G，
设，，
则，，
由，得，所以或又因为，所以．
设MN的中点E的坐标为，
当MN与x轴不垂直，即时，由，可得，
即，即，即，
即，
当MN与x轴垂直时，E与T重合，所以
本试卷共6页。满分150分。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，若，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．2D．4
3．等比数列中，若，，则（ ）
A．10B．16C．24D．32
4．两条平行线，间的距离等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在四面体OABC中，，，且（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，若直线上存在点P使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知数列，的前n项和分别为，若，，，则（ ）
A．150B．100C．200D．5050
8．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．从抛物线的焦点F发出的两条光线分别经抛物线反射，若这两条光线均在抛物线对称轴同侧且与x轴的夹角均为60°，两条反射光线之间的距离为，则p＝（ ）
A．1B．C．2D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．等差数列的前n项和为，若，则下列各项的值一定为m的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．设函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有2个点到直线的距离等于
C．曲线与恰有四条公切线
D．已知圆，P为直线上一动点，过点P向圆C引切线PA，其中A为切点，则的最小值为2
12．如图，在底面是直角三角形的直三棱柱中，P是的中点，，，若平面过点P，且与平行，则（ ）
A．异面直线与CP所成角的余弦值为
B．三棱锥的体积是三棱柱体积的
C．当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时该图形的面积等于
D．当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为______．
14．曲线在点处的切线方程为______．
15．已知双曲线的离心率为e，直线与双曲线交于M，N两点，若，则e的值是______．
16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）。如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），，若“冰雹猜想”中，则m所有可能的取值集合为______．
五、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和．
18．（12分）
在四棱锥中，底面ABCD是矩形，E，F分别是棱BC，PD的中点．
（1）证明：平面PAE：
（2）若平面ABCD，且，，求二面角的余弦值．
19．（12分）
已知椭圆的右焦点为，且经过点
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
20．（12分）
在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且为锐角．在梯形ABEF中，，，，平面平面ABCD．
（1）证明：平面ACF：
（2）若，，是否存在实数，使得直线CG与平面CEF所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由．
21．（12分）
已知数列满足：．
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．
22．（12分）
在平面直角坐标系xy中，已知点，A，B为抛物线上不同的两点，，且于点D．
（1）求P的值；
（2）过x轴上一点的直线l交C于，两点，M，N在C的准线上的射影分别为P，Q，F为C的焦点，若，求MN中点E的轨迹方程．
三明市2023-2024学年第一学期普通高中期末质量检测
高二数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．BD 10．BCD 11．ACD 12．AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．14．
15．16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）设等差数列的公差为d，由题意得，
解得，
所以．
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
所以，
所以
．
18．解：（1）证明：如图，取PA中点G，连接FG，EG，
因为点F为PD中点，所以且，
又因为四边形ABCD为矩形，E为BC的中点，
所以且，
所以且，所以四边形FGEC为平行四边形，所以，
又因为平面PAE，平面PAE，所以平面PAE．
（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
所以，，设平面FAE的一个法向量为，
则，即，
令，得，
易知平面DAE的一个法向量为，
易知二面角为锐二面角，设其二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
19．解：（1）由题意得，
解得，
故椭圆的标准方程为．
（2）联立，消去y得，
设，，则，
故
．
20．解：（1）证明：因为平面平面ABCD，，平面ABEF，
平面平面，所以平面ABCD，
又因为平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD为菱形，所以，
又，AF，平面ACF，所以平面ACF，
（2）设，
因为，
所以．
因为为锐角，所以，所以为等边三角形，
所以，．
以O为原点，OC，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面CEF的一个法向量，则，
即，
取，可得，，故，
假设存在实数，使得直线CG与平面CEF所成角的正弦值为，设，由
得，则．
设直线CG与平面CEF所成的角为，
则，
解得，即或，又因为，所以，
故存在实数，使得直线CG与平面CEF所成角的正弦值为．
21．解：（1）证明：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列．
所以，
当时，，
所以，
当时，也满足上式，
故数列的通项公式为，
（2）解：由题意可知，
所以，
所以，
所以①
将①式两边同时乘以，得，②
①-②得：
所以
故数列的前n项和，
22．解：（1）由及，得直线AB的斜率，
则AB的方程为，即，
设，，
联立消去x得，，
由韦达定理得，于是，
由，得，即xxg+YJY%=0，
由OA⊥OB，得OA-OB=0，即，
即，解得．
（2）由（1）得抛物线的焦点，设C的准线与x轴的交点为G，
设，，
则，，
由，得，所以或又因为，所以．
设MN的中点E的坐标为，
当MN与x轴不垂直，即时，由，可得，
即，即，即，
即，
当MN与x轴垂直时，E与T重合，所以
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