2025~2026学年四川省内江市高二上学期入学考试数学试卷（含解析）

这是一份2025~2026学年四川省内江市高二上学期入学考试数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在平面直角坐标系中，已知角始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知正三角形边长为4，那么的直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 在△中，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是
A. 3：4B. 3:2C. 1:1D. 1:3
8. 函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的一条对称轴为直线
C. 函数的一个对称中心坐标为
D. 再向左平移个单位得到函数为偶函数
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于样本数据5，2，7，9，8，11，说法正确的是（ ）
A. 中位数为7B. 中位数为7.5C. 极差为9D. 方差为2
10. 已知向量，，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则与夹角的正弦值为
C. 若，则D. 若，则或16
11. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（ ）
A. 在中，若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若在线段 上，且，则的面积为8
D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为_____.
13. 已知，则______
14. 如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积.

（1）若，求______；（2）令则最大值为______.
四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了100名同学的身高数据（单位:），制作成频率分布直方图如图所示.

（1）估计这100名同学身高的上四分位数；
（2）用分层抽样的方法从中抽出一个容量为17的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人?
16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求值；
（2）求的周长的最大值.
17. 已知函数.
（1）化简的解析式；
（2）若为锐角，且，，求的值.
18. 如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且．

（1）以，为基底表示向量与；
（2）若，，与的夹角为，求．
（3）设线段AM、HF的交点为，在（2）的条件下，求的余弦值．
19. 已知
（1）求的最小正周期；
（2）若函数在区间上恰有两个零点，
① 求m的取值范围；
② 求的值.
2025-2026学年四川省内江市高二上学期入学考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求解，利用三角函数的定义求解.
【详解】因为角终边经过点，所以，
故.
故选：C.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式及诱导公式化简求值可得结果.
【详解】
.
故选：B.
3. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案.
【详解】由题意知，则.
故选：A
4. 已知正三角形的边长为4，那么的直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以BC中点O为原点，BC为x轴建立直角坐标系，再画出直观图形，根据，，, 即可得到答案.
【详解】解：如图所示，以BC中点O为原点，BC为x轴建立直角坐标系，再即可得到的直观图如下图所示：
则的面积为：.
故选：B .
5. 在△中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理，可得，从而可设，，进而结合余弦定理，可求出答案.
【详解】由正弦定理，可得，
设，则，
由余弦定理，可得.
故选：B.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.
6. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，得到答案.
【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，
故.
故选：.
【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
7. 在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是
A. 3：4B. 3:2C. 1:1D. 1:3
【答案】D
【解析】
【详解】取 中点 ,则由 得 ,所以, 在线段上,因此 ，选D.
8. 函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的一条对称轴为直线
C. 函数的一个对称中心坐标为
D. 再向左平移个单位得到的函数为偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象求得的解析式，根据三角函数图象变换求得，根据的最小正周期、对称轴、对称中心、图象变换等知识确定正确答案.
【详解】对于，
由图可知，，
，，
由于，所以，所以.
图象上的所有点向右平移个单位得到函数，
的最小正周期为，A选项错误.
，B选项错误.
点的纵坐标是，所以不是的对称中心，C选项错误.
再向左平移个单位得到，
所得函数为偶函数，所以D选项正确.
故选：D
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于样本数据5，2，7，9，8，11，说法正确的是（ ）
A. 中位数为7B. 中位数为7.5C. 极差为9D. 方差为2
【答案】BC
【解析】
【分析】AB选项，将数据从小到大排列，从而利用中位数的定义进行求解；C选项，利用极差的定义计算即可；D选项，先计算出平均数，从而计算出方差.
【详解】AB选项，按照从小到大排序如下：2,5,7,8,9,11，共6个数据，所以第3和第4个数据的平均数为中位数，即，A错误，B正确；
C选项，极差为，C正确；
D选项，平均数为，故方差为，D错误.
故选：BC
10. 已知向量，，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则与夹角的正弦值为
C. 若，则D. 若，则或16
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，根据向量共线求出可判断；对B，根据数量积关系求出即可判断；对C，根据垂直关系求出可判断；对D，求出，根据模为13求出可判断.
【详解】对A，因为．所以．解得，A错误；
对B，若，则，，，则，B正确；
对C，因为．所以，解得，C错误；
对D，因为，所以，解得或16，D正确．
故选：BD.
11. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（ ）
A. 在中，若，则
B. 若，则等腰三角形
C. 若在线段 上，且，则的面积为8
D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】
【详解】利用正弦定理结合三角形中大边对大角，可判断A；化简条件得到，求得或，可判定B；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C；根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D．
【分析】对于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B中，由，
可得，
整理得，
由正弦定理得，可得，
因为，可得或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由在线段上，且，，，，
则，设，
在中，利用余弦定理，
整理得，解得或（舍去），
所以，
在中，可得，则，
所以的面积为，故C正确；
对于D，在中，因为，，
则点在以为弦的一个圆上，
由正弦定理可得外接圆的直径为，即，
当点在外部时，如图所示，
因为，可得，所以，
所以的长度为，
同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是，
所以动点的轨迹的长度为，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式，求出结果即可.
【详解】由扇形面积公式，得.
故答案为：.
13. 已知，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角公式和诱导公式，对已知条件进行变换，进而求出结果.
【详解】根据二倍角公式，由得，
即，
根据诱导公式，
所以.
故答案为：
14. 如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积.

（1）若，求______；（2）令则的最大值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知用表示出、，分别由、并结合三角恒等变换及正弦型函数的性质，求或面积的最大值.
【详解】因为中，，，
所以，，，
又因为为以为直径的半圆上一点，
所以，

中，，，，
作于点，则，
，
，
若，则，因为，
所以，即，整理得，
所以，；
由，则
，
因为，所以，
当时，即，有最大值．
故答案为：，
四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了100名同学的身高数据（单位:），制作成频率分布直方图如图所示.

（1）估计这100名同学身高的上四分位数；
（2）用分层抽样的方法从中抽出一个容量为17的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人?
【答案】（1）176.25
（2）7人，6人，4人
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得，再由百分位数的定义列方程求解即得；
（2）根据抽样比即可计算出各组应抽取的人数.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得，第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三组的频率为，第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10，
则解得，
因为前3组的频率和为0.7，前4组的频率和为0.9，
所以第75百分位数在第四组，不妨设，
则m−175×0.04=0.75−0.05−0.35−0.30，
解得，即第75百分位数约为176.25；
【小问2详解】
根据题意，第组应抽取人，
第组应抽取人，
第组应抽取人.
16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）求的周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化，然后再利用余弦定理可计算得角；（2）由正弦定理可表示出，然后将三角形的周长表示为角的三角函数，然后求解值域.
【详解】（1）由题意得，，
，
∴由正弦定理可得.
又.
（2）由及正弦定理得，
.
.
由得，，
∴当，即时，.
【点睛】解三角形中关于边的最值的问题的求解一般利用正弦定理边角互化，转化为角的三角函数的值域求解.
17. 已知函数.
（1）化简的解析式；
（2）若为锐角，且，，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简计算即得；
（2）利用条件先求出和，再由sinβ=sinα+β−α展开求得和，最后由两角差的正弦公式求得的值，结合角的范围即得答案.
【小问1详解】
fx=sinπ−x⋅csπ+xsin−π+x=sinx⋅(−csx)−sinx=csx；
【小问2详解】
fα=255即，fα+β=−210即csα+β=−210，
由题意，，则0