高考数学一轮讲义-三角函数图象与性质（题型清单）（原卷版）

这是一份高考数学一轮讲义-三角函数图象与性质（题型清单）（原卷版），共24页。试卷主要包含了已知函数，设，函数等内容，欢迎下载使用。

题型1 五点作图法
1.(2023·安徽合肥·模拟预测)用“五点法”画函数(，，)在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是( )
A． B．不等式的解集为
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增
2.(2024·云南曲靖·模拟预测)已知函数.
(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象：
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.
3.(2024·上海长宁·二模)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)设，求函数的值域；
4．(2024·上海·一模)(1)在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
(2)设实数且，求证：；(可以使用公式：)
(3)证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是
5．(2025·湖北武汉·三模)已知函数，
(1)若，(ⅰ)根据如上表格，直接写出的值；
(ⅱ)利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象；
(2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围.
6．(23-24高一下·河南南阳·期中)已知函数的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)完善下面的表格，并画出在上的大致图象；
(3)当时，求的值域．
题型2 三角函数的图象变换
1.(2024·福建厦门·三模)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则( )
A． B． C． D．
2.(2024·全国·模拟预测)将函数的图象向右平移()个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为( )
A．B．C．D．
3.(23-24高三上·广东湛江·期末)已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
4.(2023·全国·模拟预测)若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为( )
A．B．C．D．
5.(23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为( )
A．B．C．D．
6.(2024·河南·模拟预测)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为( )
A．B．C．D．
7．(2022·天津·一模)将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为( )
A．B．C．0D．
8．(2024·陕西安康·模拟预测)将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则( )
A．B．C．D．
9．(2024·云南楚雄·一模)将函数()的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为( )
A．1B．2C．4D．5
10.(2024·云南·一模)为得到函数的图象，只需要将函数的图象( )
A．向左平行移动个单位B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位D．向右平行移动个单位
11.(2025·上海浦东新·模拟预测)把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 .
题型3 三角函数的奇偶性
1．(2025·全国·二模)函数是上的偶函数，则( )
A．0B．C．D．
2．(2024·山东泰安·模拟预测)已知函数，且是偶函数，则实数( )
A．B．C．D．2
3．(2024·陕西商洛·一模)已知函数，且是奇函数，则( )
A．B．C．D．
4．(2024·浙江杭州·一模)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2024·贵州铜仁·模拟预测)将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为( )
A．B．C．D．
6．(2025·四川广安·模拟预测)已知函数为偶函数，则的值为( )
A．B．C．D．
7．(2025·云南红河·模拟预测)将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为( )
A．B．C．D．
8．(2025·湖北·模拟预测)已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于轴对称，则满足条件且最小的的值为( )
A．3B．C．15D．2
9．(2025·四川德阳·三模)已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，若是奇函数，则( )
A．B．C．D．
10.(2024·辽宁·模拟预测)将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ．
11．(2024·内蒙古赤峰·三模)将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为 .
12．(2025·四川绵阳·模拟预测)若函数为奇函数，则 ．
13．(2025·甘肃白银·模拟预测)函数是偶函数，则的最小正值为 ．
题型4 三角函数的单调性
1．(2025·天津·二模)已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是( )
A． B．为奇函数
C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为，
D．在上的最小值为
2．(2025·山西·三模)已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是( )
A．B．C．D．
3．(2025·黑龙江大庆·模拟预测)已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则( )
A． B． C． D．
4．(2025·山东·二模)已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则( )
A．B．C．D．
5．(2025高三·全国·专题练习)已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．(2025·甘肃白银·三模)将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
7．(2025·天津河北·二模)已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为( )
A．B．C．D．
8．(2025·内蒙古包头·二模)已知在上单调递增，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
9．(2025·四川泸州·模拟预测)已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为( )
A．B．1C．D．2
10．(2025·贵州·模拟预测)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为( )
A． B． C． D．
11.(2025·湖北武汉·模拟预测)若函数在区间上单调，则的取值范围为 .
12．(2025·陕西汉中·二模)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 .
13．(2025·山东·模拟预测)已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为 .
14．(2025·湖南郴州·三模)已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
题型5 三角函数的周期性
1.(25-26高三上全国阶段练习)函数的最小正周期是( )
A． B． C． D．
2.(2025·浙江温州·三模)已知函数，则存在实数，使得( )
A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的最大值为0
3．(2025·天津北辰·三模)记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题：①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③的值域为；
④在区间上单调递增.
其中真命题的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.(2025·湖北武汉·三模)已知函数，则( )
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增
C．的一个对称中心为 D．图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称
5．(2025·四川成都·三模)已知函数，则( )
A．的最小正周期为B．是奇函数
C．曲线关于直线对称D．在上单调递减
6.(2025·河南·三模)函数的最小正周期为 ．
题型6 三角函数的对称性
1．(2025·广东·一模)已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则( )
A．1B．C．D．
2．(2025·河北秦皇岛·一模)已知函数，若在区间上单调，则( )
A．B．C．D．
3．(2025·福建漳州·一模)已知，若在区间上不单调，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
4．(2025·河北·模拟预测)已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
5．(2025高三·全国·专题练习)已知函数，其最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，的图象关于点对称，则当时，的最大值为( )
A．1B．2C．D．
题型7 三角函数的定义域、值域
1．(2025·安徽芜湖·模拟预测)已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．(2025·山东青岛·模拟预测)已知函数，，且，则当时，的值域为( )
A． B． C． D．
3．(2025·内蒙古呼和浩特·二模)已知函数，则下列结论正确的是( )
A．函数的值域为 B．函数的图象关于点对称
C．若函数在上单调递增，则的取值范围为
D．若，则的最小正周期为
4.(2025·四川巴中·二模)已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 .
题型8 三角函数中ω的求解
1.(2025高三上四川德阳阶段练习)函数在上单调递减，则的最大值为( )
A． B． C． D．1
2.(2025高三上广西梧州阶段练习)函数的图象关于直线对称，则的取值可能是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3.(2025辽宁二模)已知函数在区间上单调，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
4.(2025·江西·模拟预测)定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；
②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 .
5.(2025·北京大兴·三模)已知函数()，，，且的最小值为，则 ， ．
题型9 由图象研究三角函数性质
1.(2025·浙江·三模)如图是函数的图象，则的值为( )
A．B．1C．2D．3
2．(2025·河北秦皇岛·模拟预测)函数的部分图象如图所示，则( )

A．当最小时， B．的图象关于直线对称
C．不等式解集为 D．若在上有三个零点，则
3．(2025·广西柳州·模拟预测)已知函数的部分图像如图所示，则( )
A． B．
C．直线是函数图象的一条对称轴D．在的值域为
4．(2025·山东泰安·模拟预测)函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是( )
A． B．当，函数的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．若，且，则
题型10 三角函数有关的零点问题
1.(2025·山东·模拟预测)已知函数，，当时，取得最值，且当时，单调递增，则在上的零点个数为 ．
2.(多选) (2024全国模拟预测)函数f(x)=2cs(ωx+φ)00)在某区间([a,b])上单调递增，
则2kπ−π2≤ωx+φ≤2kπ+π2,k∈Z在[a,b]上恒成立；
(2)已知函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)在某区间([a,b])上单调递减，
则2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2,k∈Z在[a,b]上恒成立。
(3)已知函数y=sin(ωx+φ)的单调递增区间为([m,n])，给定区间[a,b]⊆[m,n]。
y=sin(ωx+φ)单调递增区间2kπ−π2≤ωx+φ≤2kπ+π2，解出(x)的范围为2kπ−π2−φω≤x≤2kπ+π2−φω。
若[a,b]⊆[2kπ−π2−φω,2kπ+π2−φω]，则2kπ−π2−φω≤afrac2kπ+π2−φω≥b，通过解这两个不等式组可得到ω的取值范围。
4.利用函数零点
(1)对于函数y=Asin(ωx+φ)，其零点满足ωx+φ=kπ,k∈Z，即x=kπ−φω。
(2)若已知函数的两个零点x1和x2，那么ωx1+φ=k1π，ωx2+φ=k2π，
两式相减得ω(x2−x1)=(k2−k1)π，则ω=(k2−k1)πx2−x1。
例如，已知y=sin(ωx+π6)两个相邻零点为x1=π3，x2=5π6，则ω(5π6−π3)=(k2−k1)π，
即ω×π2=(k2−k1)π，解得ω=2(k2−k1)，因为相邻零点，k2−k1=1，所以ω=2。
5.利用对称性
函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴方程为ωx+φ=kπ+π2,k∈Z，即x=kπ+π2−φω。
若已知函数的两条对称轴x1和x2，则ωx1+φ=k1π+π2，ωx2+φ=k2π+π2，
两式相减得ω(x2−x1)=(k2−k1)π，进而可求出ω的值。
比如，已知函数y=cs(ωx+π3)的两条相邻对称轴分别为x1=π6，x2=2π3，那么ω(2π3−π6)=(k2−k1)π，即ω×π2=(k2−k1)π，可得ω=2(k2−k1)，因为相邻对称轴，k2−k1=1，所以ω=2。
1.由图象求解析式：由最值确定A，由周期确定ω，由特殊点确定φ.
2.求对称性：
对y＝Asin(ωx＋φ)：由ωx＋φ＝kπ＋π2 (k∈Z)解出x即得对称轴；由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出x即得对称中心的横坐标；
对y＝Acs(ωx＋φ)：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出x即得对称轴；由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出x即得对称中心的横坐标；
对y＝Atan(ωx＋φ)：由ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)解出x即得对称中心的横坐标；无对称轴。
3.单调性
对y＝Asin(ωx＋φ)：解2kπ−π2≤ωx+φ≤2kπ+π2即得增区间；解2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2即得减区间；
对y＝Acs(ωx＋φ)：解2kπ−π≤ωx+φ≤2kπ 即得增区间；解2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π 即得减区间；
对y＝Atan(ωx＋φ)：解kπ−π20)，当ωx＋φ＝2kπ＋π2时有最大值A+m；当ωx＋φ＝2kπ＋3π2时有最小值 -A+m；
对y=Acs(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)，当ωx＋φ＝2kπ时有最大值A+m；当ωx＋φ＝2kπ+π时有最小值 -A+m；
而y=Atan(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)无最值。
结合图象来解三角函数的零点问题。
1.对于函数y=Asin(ωx+φ)，令ωx+φ=kπ，k∈Z，解出(x)，即x=kπ−φω，k∈Z，这些(x)的值就是函数y=Asin(ωx+φ)的零点。
2.对于函数y=Acs(ωx+φ)，令ωx+φ=kπ+π2，k∈Z，解出(x)，即x=kπ+π2−φω，k∈Z，这些(x)的值就是函数y=Acs(ωx+φ)的零点。
3.对于函数y=Atan(ωx+φ)，令ωx+φ=kπ，k∈Z，解出(x)，即x=kπ−φω，k∈Z，这些(x)的值就是函数y=Atan(ωx+φ)的零点。
三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性．
(1)对称性奇偶性
(若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数)；
(2)对称性周期性
(相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为)；
(3)对称性单调性
(在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设θ=maxθ1,θ2，则T4≥θ深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系)
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
时间
1
4
7
10
13
16
19
22
水深
11
12.5
14
12.5
11
12.5
14
12.5
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深/米
10
7
4
7
10
7
4
7