新高考数学一轮复习讲义第4章　§4.5　三角函数的图象与性质（2份打包，原卷版+含解析）

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知识梳理
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq \f(1,2)个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝cs x在第一、二象限内单调递减．( )
(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．( )
(3)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．( )
(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( )
教材改编题
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
2．函数y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4)))的单调递减区间为________．
3．函数y＝3－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的最大值为________，此时x＝________.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝eq \r(cs x－\f(\r(3),2))的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)
D．R
(2)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x的最小值为________．
(3)函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为________．
思维升华 三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝cs x－cs 2x，试判断函数的奇偶性及最大值( )
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为eq \f(9,8) D．偶函数，最大值为eq \f(9,8)
(2)函数y＝lg sin x＋eq \r(cs x－\f(1,2))的定义域为________________．
题型二 三角函数的周期性与对称性
例2 (1)已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，则下列说法正确的是( )
A．图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))对称
B．图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称
C．图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称
D．图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称
(2)函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ))＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
思维升华
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq \f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq \f(π,ω)求解．
跟踪训练2 (1)记函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))＋b(ω>0)的最小正周期为T.若eq \f(2π,3)A．1 B.eq \f(3,2) C.eq \f(5,2) D．3
(2)(多选)已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的最大值为eq \r(3)
B．f(x)的最小正周期为π
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))为奇函数
D．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(11π,12)对称
题型三 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
例3 函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))的单调递减区间为________．
延伸探究 若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间．
命题点2 根据单调性求参数
例4 (1)若函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B. eq \f(π,2) C. eq \f(2π,3) D. π
(2)已知函数f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cs ωx(ω>0)，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________．
思维升华
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝cs2x－sin2x，则( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))上单调递减
B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,12)))上单调递增
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递减
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,12)))上单调递增
(2)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)，则“函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上单调递增”是“0<ω<2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
课时精练
1．函数f(x)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,6)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,12)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,6)k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)k∈Z))))
2．已知f(x)＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－eq \f(1,2)，则f(x)是( )
A．奇函数且最小正周期为π
B．偶函数且最小正周期为π
C．奇函数且最小正周期为2π
D．偶函数且最小正周期为2π
3．若函数y＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,3)))(ω>0)两对称中心间的最小距离为eq \f(π,2)，则ω等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如果函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0))对称，则|φ|的最小值是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(4π,3)
5．(多选)已知函数f(x)＝sin x－cs x，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的最大值为eq \r(2)
B．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))上单调递增
C．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称
D．f(x)的最小正周期为π
6．(多选)对于函数f(x)＝|sin x|＋cs 2x，下列结论正确的是( )
A．f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9,8)))
B．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
C．f(x)的图象不关于直线x＝eq \f(π,4)对称
D．π是f(x)的一个周期
7．请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝________.
8．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋φ))(0≤φ≤π)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，则φ的取值范围是________．
9．已知函数f(x)＝eq \r(3)cs xsin x＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，\f(π,6)))上的最大值和最小值．
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，求g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的最大值．
条件①：f(x)的最小正周期为π；
条件②：f(x)为奇函数；
条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝eq \f(π,4).
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
11．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))，在区间(0,1)上不可能( )
A．单调递增 B．单调递减
C．有最大值 D．有最小值
12．(多选)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))中心对称，则( )
A．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,12)))上单调递减
B．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(11π,12)))上有两个极值点
C．直线x＝eq \f(7π,6)是曲线y＝f(x)的对称轴
D．直线y＝eq \f(\r(3),2)－x是曲线y＝f(x)的切线
13．已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递减．写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝________________.
14．已知sin x＋cs y＝eq \f(1,4)，则sin x－sin2y的最大值为________．
15．已知函数f(x)＝eq \f(1,x－1)＋3sin πx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为( )
A．2 B．4 C．2π D．4π
16．已知函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)|cs x|，写出函数f(x)的一个单调递增区间________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是________．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调递增区间
eq \b\lc\[\rc\] (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\(\rc\) (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))
单调递减区间
eq \b\lc\[\rc\] (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ