高考数学一轮讲义-三角函数图象与性质（题型清单）（解析版）

这是一份高考数学一轮讲义-三角函数图象与性质（题型清单）（解析版），共56页。

题型1 五点作图法
1.(2023·安徽合肥·模拟预测)用“五点法”画函数(，，)在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是( )
A． B．不等式的解集为
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增
【答案】AC【难度】0.65【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、解正弦不等式【分析】根据表格数据求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一分析即可.
【解】由表可知，且，解得，所以，故A正确；
令，即，即，，解得，，
所以不等式的解集为，，故B错误；
又，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
由可得，因为在上不单调，
所以在区间上不单调，故D错误.故选：AC
2.(2024·云南曲靖·模拟预测)已知函数.
(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象：
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.
【难度】0.65【知识点】五点法画正弦(型)函数的图象、求图象变化前(后)的解析式【分析】(1)由表格中所给数据计算得到其他对应数据完善表格；由五点作图法绘出函数在上的图象；
(2)函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，由图象的平移变换得到的解析式，进而得到三角不等式，由正弦函数的图象和性质解得答案.
【解】(1)表格如下：
函数在上的图象如下：
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，
则，所以，即，
则，得，
所以不等式的解集为.
3.(2024·上海长宁·二模)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)设，求函数的值域；
【难度】0.65【知识点】辅助角公式、由图象确定正(余)弦型函数解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、五点法画正弦(型)函数的图象
【分析】(1)由表得，解方程组即可得，进一步可据此完成表格；(2)由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.
【解】(1)由题意，解得，所以函数的解析式为，
令时，解得，当时，，
将表中处的数据补充完整如下表：
(2)若，
则，
因为，所以，进而，
所以函数的值域为.
4．(2024·上海·一模)(1)在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
(2)设实数且，求证：；(可以使用公式：)
(3)证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是
【难度】0.65【知识点】五点法画正弦(型)函数的图象、简单复合函数的导数、充要条件的证明
【分析】(1)根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.
(2)根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.
(3)根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.
【解】(1)“五点法”作函数的图象的5个关键点的横坐标为，
所以表格如下：
(2)实数且，则，
因此，所以.
(3)
，
依题意，对任意实数恒成立，
因此，
所以等式对任意实数恒成立的充要条件是.
5．(2025·湖北武汉·三模)已知函数，
(1)若，(ⅰ)根据如上表格，直接写出的值；
(ⅱ)利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象；
(2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围.
【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数、五点法画余弦(型)函数的图象
【分析】(1)(i)根据表格数据求；(ii)应用五点法画出函数图象；(2)由题设，讨论在、、取得最小值，分别求出对应参数范围，即可得.
【解】(1)(ⅰ)由表格，，，；
(ⅱ)五点法画出函数图象如下，
(2)当时，，
当在取得最小值时，，解得，
当在取得最小值时，，解得，
当分别在取得最小值时，，解得，
综上：的取值范围为.
6．(23-24高一下·河南南阳·期中)已知函数的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)完善下面的表格，并画出在上的大致图象；
(3)当时，求的值域．
【难度】0.65【知识点】五点法画正弦(型)函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)【分析】(1)根据题意，结合的图象，得到最小正周期，求得，结合最高点为，求得的值，即可求解；(2)完善表格，结合描点、连线，即可求得函数在上的大致图象；(2)由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【解】(1)由的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，
可得函数最小正周期，所以，
又由一个最高点为，可得的，
因为，即，
可得，解得，
又因为，可得，所以．
(2)由(1)知，函数，完善表格如下：
则函数在上的大致图象如图：
(3)因为，可得，
当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最大值为，
所以函数的值域为．
题型2 三角函数的图象变换
1.(2024·福建厦门·三模)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.85【知识点】辅助角公式、相位变换及解析式特征
【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【解】因为，所以.故选：A
2.(2024·全国·模拟预测)将函数的图象向右平移()个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、相位变换及解析式特征、三角恒等变换的化简问题【分析】利用两角差的余弦公式化简，再由诱导公式及图象平移即可得解.
【解】因为，，
所以把的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，则的最小值为，故选：B．
3.(23-24高三上·广东湛江·期末)已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D【难度】0.65【知识点】相位变换及解析式特征、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式【分析】先把，的解析式都化成或的形式，再用图象的平移解决问题.
【解】，
，
故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象.故选：D
4.(2023·全国·模拟预测)若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为( )
A．B．C．D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】相位变换及解析式特征、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
【分析】利用三角函数图象的平移变换，代入计算即可.
【解】由题可得的图象与函数的图象重合，
则，即，，
解得，，故的值可以为.故选：D．
5.(23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】相位变换及解析式特征、求图象变化前(后)的解析式
【分析】先根据条件变换得到，再根据列式计算求出的值.
【解】由已知得，
所以，解得，又，所以.故选：D.
6.(2024·河南·模拟预测)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】相位变换及解析式特征、由正弦(型)函数的奇偶性求参数
【分析】首先利用平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解的值.
【解】由题意可知，，
因为函数关于原点对称，所以，
则，,得，且，所以.故选：D
7．(2022·天津·一模)将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为( )
A．B．C．0D．
【答案】A【难度】0.85【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、相位变换及解析式特征
【分析】首先求平移后的解析式，再根据函数的性质，求的一个可能取值.
【解】函数向左平移个单位后，得到函数，函数关于奇函数，
所以当时，，解得：，当时，.故选：A
8．(2024·陕西安康·模拟预测)将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则( )
A．B．C．D．
【答案】A【难度】0.85【知识点】辅助角公式、求图象变化前(后)的解析式、描述正(余)弦型函数图象的变换过程、相位变换及解析式特征【分析】根据辅助角公式，结合三角函数平移的性质即可求解.
【解】因为，其中，
因为的图象向右平移φ个单位长度得到函数，
所以，所以.故选：A.
9．(2024·云南楚雄·一模)将函数()的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为( )
A．1B．2C．4D．5
【答案】D【难度】0.65【知识点】结合三角函数图象变换研究性质、求图象变化前(后)的解析式、相位变换及解析式特征【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得，结合即可求解.
【解】由题意可得，
∴，，解得，，
又，∴当时，取得最小值为5．故选：D.
10.(2024·云南·一模)为得到函数的图象，只需要将函数的图象( )
A．向左平行移动个单位B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位D．向右平行移动个单位
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】诱导公式一、相位变换及解析式特征
【分析】根据已知条件，逐项分析各个选项，利用诱导公式化简函数解析式即可判断.
【解】A选项，向左平行移动个单位，有，A正确；
B选项，向左平行移动个单位，有，B错误；
C选项，向右平行移动个单位，有，
，C正确；
D选项，向右平行移动个单位，有，
，D正确；故选：ACD
11.(2025·上海浦东新·模拟预测)把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 .
【答案】【难度】0.85【知识点】求图象变化前(后)的解析式、周期变换及解析式特征、相位变换及解析式特征【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案.
【解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，可得，
再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得，
即；故答案为：
题型3 三角函数的奇偶性
1．(2025·全国·二模)函数是上的偶函数，则( )
A．0B．C．D．
【答案】D【难度】0.94【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数
【分析】根据偶函数性质，结合正弦函数对称性解题即可.
【解】是上的偶函数，即关于对称，则，
则，则，解得.
，则.故选：D.
2．(2024·山东泰安·模拟预测)已知函数，且是偶函数，则实数( )
A．B．C．D．2
【答案】B【难度】0.85【知识点】辅助角公式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数、特殊角的三角函数值
【分析】利用辅助角公式得到，，从而得到的表达式，根据函数为偶函数得到方程，求出，求出答案.
【解】，其中，，
为偶函数，故，解得，则.故选：B
3．(2024·陕西商洛·一模)已知函数，且是奇函数，则( )
A．B．C．D．
【答案】A【难度】0.65【知识点】辅助角公式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数
【分析】分析可知，可求出的值，然后利用辅助角公式化简函数的解析式，验证为奇函数即可.
【解】因为函数为奇函数，即，且函数的定义域为，
所以，，可得，解得，
所以，，则为奇函数，合乎题意.
因此，.故选：A.
4．(2024·浙江杭州·一模)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、由正弦(型)函数的奇偶性求参数、求图象变化前(后)的解析式【分析】由三角函数的奇偶性，分别验证命题的充分性以及必要性，即可得到结果.
【解】由题意可得，由是偶函数可得，
且，当时，，当时，，
所以由是偶函数可得或，故充分性不满足；
当时，可得为偶函数，故必要性满足；
所以"是偶函数"是""的必要不充分条件.故选：B
5．(2024·贵州铜仁·模拟预测)将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】求图象变化前(后)的解析式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数
【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得.
【解】函数的图象向右平移，得到，
由于偶函数，所以，
由于，所以取，得.故选：D
6．(2025·四川广安·模拟预测)已知函数为偶函数，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式化简函数，利用偶函数性质，
可得，或，结合即可求解.
【解】函数为偶函数，需满足.将函数化简：.
由偶函数性质得：即
利用正弦函数的性质，可得：(舍去，因为不恒成立)，
或；解得：，即；
结合，得.故选：B.
7．(2025·云南红河·模拟预测)将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为( )
A．B．C．D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】求图象变化前(后)的解析式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数
【分析】首先根据变换规律得到图象变换后的函数解析式，再结合偶函数的特征，列式求解.
【解】将图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，得
然后再向左平移个单位长度后，得，
又因为的图象关于轴对称，所以，
所以，当时，.故选：B.
8．(2025·湖北·模拟预测)已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于轴对称，则满足条件且最小的的值为( )
A．3B．C．15D．2
【答案】A【难度】0.85【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、求图象变化前(后)的解析式
【分析】根据平移得出偶函数计算求得，再计算得出最小值求参.
【解】由题设，函数为偶函数，
所以，得，要最小，取，得，故选：A.
9．(2025·四川德阳·三模)已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，若是奇函数，则( )
A．B．C．D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质【分析】根据函数图象的平移，得到，再由是奇函数，得到，再根据，即可求值.
【解】由题意知，
因为是奇函数，则，所以，
因为，所以.故选：C
10.(2024·辽宁·模拟预测)将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ．
【答案】/【难度】0.65【知识点】由余弦(型)函数的奇偶性求参数、相位变换及解析式特征、三角恒等变换的化简问题【分析】根据题意可得，并图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，可得，从而结合题意可得的最小值.
【解】，
图像向右平移个单位长度后得到是偶函数，
，的最小值为.故答案为：.
11．(2024·内蒙古赤峰·三模)将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为 .
【答案】/【难度】0.85【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、求图象变化前(后)的解析式、辅助角公式【分析】运用辅助角公式化简函数的表达式为正弦型函数，再利用正弦型函数的奇偶性和图象变换的性质进行求解即可.
【解】，将函数的图象向左平移个单位后，
解析为，而的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，因此有，
因为，所以，即，故答案为：
12．(2025·四川绵阳·模拟预测)若函数为奇函数，则 ．
【答案】【难度】0.85【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质列式求解.
【解】依题意，，其中锐角由确定，
由为奇函数，得，即，
所以.故答案为：
13．(2025·甘肃白银·模拟预测)函数是偶函数，则的最小正值为 ．
【答案】/【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数【分析】根据偶函数定义及正弦函数性质可得当时，，则，.给赋值，即可求得的最小正值.
【解】由于是偶函数，所以，，
故，，所以当时，取最小正值，最小正值为．故答案为：.
题型4 三角函数的单调性
1．(2025·天津·二模)已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是( )
A． B．为奇函数
C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为，
D．在上的最小值为
【答案】D【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的最小正周期、求图象变化前(后)的解析式【分析】由题意先求，再逐项验证即可.
【解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴，
所以，
又在上单调递增，所以，
所以当时，，故A正确；所以，
由为奇函数，故B正确；
由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，
令，解得，，故C正确；
由，所以，当，即时，故D错误；故选：D.
2．(2025·山西·三模)已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】利用函数图象的特征，可得，，求解即可.
【解】原函数为，相当于把位于轴下方的图象翻折到上方，
则有，，
当时，.故选：D．
3．(2025·黑龙江大庆·模拟预测)已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦(型)函数的值域(最值)求参数
【分析】根据题设有，进而求得、，再求函数值.
【解】由题设或，，所以或，则(舍)或，
所以，，又，则，所以，故.
故选：A
4．(2025·山东·二模)已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则( )
A．B．C．D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】求函数值、利用正弦型函数单调性、正弦函数对称性求参数
【分析】根据给定条件，利用最小正周期及对称中心求出，进而求出函数值.
【解】由函数在上单调递增，得，
解得，由的图象关于点对称，得，
解得，于是，，
所以.故选：C
5．(2025高三·全国·专题练习)已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.4【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案.
【解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增，
所以，解得，所以.
令，则当时，.
因为在区间上单调递增且存在零点，
所以，解得，
又，时，得，时，得，其他值，均不合要求，
所以或，所以的取值范围是.故选：C
6．(2025·甘肃白银·三模)将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前(后)的解析式
【分析】利用三角函数图像变换，得到函数解析式，然后利用三角函数的性质直接求解即可.
【解】将已知函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
则可得，则.
设函数的最小正周期为，则，
所以，由，得，
因为，，
所以根据单调性可得且，解得，则的取值范围是.故选：B
7．(2025·天津河北·二模)已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】C【难度】0.4【知识点】求图象变化前(后)的解析式、利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数【分析】根据已知的一条对称轴为，一个对称中心为，结合已知区间的单调性得到，进而求得、，根据图象变换得，由单调性列不等式求参数范围即可得.
【解】由，则的一条对称轴为，一个对称中心为，
又在上单调递减，则，故，可得，
所以，可得，，则，
所以，则，
又在区间上单调递增，则，
所以，显然，故t的最大值为.故选：C
8．(2025·内蒙古包头·二模)已知在上单调递增，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】先根据题意求出，再根据求出，
再根据的范围约束出和范围，最后结合正弦函数图象即可求出的范围.
【解】由题意可知，则，
因，则，则，，
因在上单调递增，结合正弦函数图象性质可得，解得，
故的取值范围是.故选：B

9．(2025·四川泸州·模拟预测)已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为( )
A．B．1C．D．2
【答案】A【难度】0.85【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数
【分析】根据函数的图象关于点对称，得，再根据单调性可得，得到，进而得到答案.
【解】将代入，得，
所以，得．
因为函数在上为增函数，此时，
所以，解得，所以当时，，故选：A.
10．(2025·贵州·模拟预测)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数【分析】先求在上的单增区间，结合题意，可得关于与的不等式组，分，，三种情况得出的取值范围.
【解】令，则，
因在区间上单调递增，则，即且且，
若，则不等式组的解集为空集；若，则；若，则不等式组的解集为空集，
则的最大值为.故选：C
11.(2025·湖北武汉·模拟预测)若函数在区间上单调，则的取值范围为 .
【答案】【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解.
【解】当时，，依题意，，解得，
所以的取值范围为.故答案为：
12．(2025·陕西汉中·二模)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 .
【答案】【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数【分析】根据正弦函数的单调性求出的单调递增区间，然后列不等式，按照、、分类讨论求解.
【解】令，则，
因在区间上单调递增，则，即且且，
若，则不等式组的解集为空集；若，则；若，则不等式组的解集为空集，
则的最大值为.故答案为：
13．(2025·山东·模拟预测)已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】【难度】0.65【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、利用正弦型函数的单调性求参数、正弦函数图象的应用【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.
【解】
，
由，可得，则或
由可得，
由恰有5个根，可得，解得.
由，得，即函数在上单调递增，
所以，，
即，且，解得.
所以，实数的取值范围为.故答案为：.
14．(2025·湖南郴州·三模)已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】【难度】0.85【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】求得的单调递增区间，根据题目要求求得的取值范围.
【解】由解得，，令，得，
依题意，在区间上单调递增，则实数的取值范围为.故答案为：
题型5 三角函数的周期性
1.(25-26高三上全国阶段练习)函数的最小正周期是( )
A． B． C． D．
【答案】D【解】利用周期公式可得．
2.(2025·浙江温州·三模)已知函数，则存在实数，使得( )
A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的最大值为0
【答案】AC【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的最小正周期、辅助角公式【分析】取，可验证AC的真假；假设函数为偶函数，根据偶函数的性质，判断B的真假；结合二倍角公式和辅助角公式，求函数的最大值，判断D的真假.
【解】当时，，为奇函数，且，故AC正确；
若为偶函数，则，恒成立，矛盾，故B错误；
因为，所以，无解，故D错误．
故选：AC
3．(2025·天津北辰·三模)记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题：①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③的值域为；
④在区间上单调递增.
其中真命题的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【难度】0.65【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的最小正周期、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性
【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个命题.
【解】设，，
则，
函数的图象如下所示：
对于①，由图知，函数的最小正周期为，①正确；
对于②，由图知，为函数的对称轴，②正确；
对于③，，由图知，函数的值域为，③错误；
对于④，由图知，函数在区间上单调递减，④错误.
所以真命题的个数为2个.故选：B
4.(2025·湖北武汉·三模)已知函数，则( )
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增
C．的一个对称中心为 D．图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称
【答案】ABC【难度】0.85【知识点】求sinx的函数的单调性、求正弦(型)函数的最小正周期、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求图象变化前(后)的解析式【分析】由周期公式可判断A，通过代入可判断B，通过整体代入可判断C，通过平移结合诱导公式可判断D.
【解】对于A，由周期公式可得最小正周期为，A正确，
对于B，由，则，由正弦函数的单调性可知在区间上单调递增，B正确；
对于C，当时，，C正确；
对于D，图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到，显然图像关于轴不对称，D错误，故选：ABC
5．(2025·四川成都·三模)已知函数，则( )
A．的最小正周期为B．是奇函数
C．曲线关于直线对称D．在上单调递减
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】判断或证明函数的对称性、求sinx的函数的单调性、求正弦(型)函数的最小正周期、二倍角的余弦公式【分析】利用周期函数的定义判断A；利用奇函数定义判断B；利用对称性定义判断C；由复合函数的单调性即可判断D.
【解】对于A，设(是不为0的常数)是的周期，则对于，有，
可得，即，解得或.
由，可得，
若，因，即不是的周期，
又由，得，
若，因，故不是的周期，
同理不是的周期，
又因，因此函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，，函数不是奇函数，B错误；
对于C，，
即曲线关于直线对称，C正确；
对于D，，
函数在上单调递增，且，
函数在上单调递减，
因此在上单调递减，D正确.故选：ACD
6.(2025·河南·三模)函数的最小正周期为 ．
【答案】【难度】0.85【知识点】求正弦(型)函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题
【分析】由诱导公式、二倍角公式化简函数表达式，结合周期公式即可求解.
【解】的定义域为，
，
所以的最小正周期．故答案为：.
题型6 三角函数的对称性
1．(2025·广东·一模)已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则( )
A．1B．C．D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦(型)函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正(余)弦型函数解析式【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，通过最小正周期求出参数和，得到函数的解析式，代入求值即可.
【解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以.
因为是函数图像的对称轴，所以，
解得，又因为，所以.
所以，则.故选：B.
2．(2025·河北秦皇岛·一模)已知函数，若在区间上单调，则( )
A．B．C．D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求函数值
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调区间列出不等式求出，进而求出函数值.
【解】当时，，，
由在区间上单调，则，
于是，解得，
由，得，因此或，
又，则，，所以.故选：C
3．(2025·福建漳州·一模)已知，若在区间上不单调，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】结合函数图像，根据函数单调性，分析和的取值范围，最后解不等式组即可.
【解】画出函数的部分图象如图所示，
因为，所以
因为在区间上不单调，所以解得故选：B.
4．(2025·河北·模拟预测)已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、点与圆的位置关系求参数、根据极值点求参数【分析】由函数单调性得到函数的对称轴，由函数单调区间得到周期的范围，从而得到的值得到函数解析式，由图像得到距离最大和距离最小的点，则可以求出半径的范围.
【解】由已知在处取得最小值，，，
解得，
∵函数在上单调递减，，即，，
当时，，，符合条件，.
由图像知轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点，
的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离，
小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离，即，故选：B.
5．(2025高三·全国·专题练习)已知函数，其最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，的图象关于点对称，则当时，的最大值为( )
A．1B．2C．D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、求图象变化前(后)的解析式、利用正弦函数的对称性求参数【分析】根据正弦函数的图象与性质以及三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数性质计算即可求解.
【解】由题意可得，，,所以，所以．
将的图象向左平移个单位长度得的图象，则．
因为的图象关于点对称，所以，解得．
又，当时，，所以．
当时，，
根据正弦函数性质，在上单调递增，在上单调递减，
所以当，即时，取得最大值2.故选：B．
题型7 三角函数的定义域、值域
1．(2025·安徽芜湖·模拟预测)已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数
【分析】根据题意得到或，计算得到答案.
【解】由题意，函数，既有最小值也有最大值，
①当函数最值取得1，最小值为时，结合函数图象可得，即；
②当取得最大值为，最小值为－1时，结合函数图象可得，解得，
综上所述，实数的取值范围为或．故选：D.
2．(2025·山东青岛·模拟预测)已知函数，，且，则当时，的值域为( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】和差化积公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值【分析】由题及积化和差公式可得，然后由，
可得，最后由正弦函数单调性可得值域.
【解】，
由和差化积公式可得：.
因，则，因，则，
则，又，则.
则.注意到时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
则，即的值域为.故选：C
3．(2025·内蒙古呼和浩特·二模)已知函数，则下列结论正确的是( )
A．函数的值域为 B．函数的图象关于点对称
C．若函数在上单调递增，则的取值范围为
D．若，则的最小正周期为
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题【分析】通过三角恒等变换将化为，根据正弦函数的性质依次判断各个选项的正误即可.
【解】，
对于A，值域，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，在上单调递增，所以，解得，所以.故C正确；
对于D，因为的最小正周期都是，
所以的最小正周期为，故D正确.故选：ACD.
4.(2025·四川巴中·二模)已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 .
【答案】【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数
【分析】由得的范围，因此在这个范围内，从而可得的范围.
【解】由题意，在区间上的最小值为，
当时，；
当时，.
则的取值范围为或.故答案为：.
题型8 三角函数中ω的求解
1.(2025高三上四川德阳阶段练习)函数在上单调递减，则的最大值为( )
A． B． C． D．1
【答案】B【分析】求出函数的单调减区间，利用为前者的子集可求的取值范围.
【解】令，故，
所以函数的减区间为，
因为在上为减函数，故存在，使得，因为，
所以，所以，故，则的最大值为.故选：B.
2.(2025高三上广西梧州阶段练习)函数的图象关于直线对称，则的取值可能是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C【分析】依题意可知取最值，由此列出不等式求解即可.
【解】，由题意可得，
解得，当时，.故选：C
3.(2025辽宁二模)已知函数在区间上单调，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可.
【解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调，
所以，则，解得，
当时，，且，，
所以，解得，结合，得的取值范围为．故选：D．
4.(2025·江西·模拟预测)定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；
②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 .
【答案】【难度】0.4【知识点】利用正弦函数的对称性求参数
【分析】利用①得出，解得.数形结合，利用②中分析出取得最小值时所在的位置，最后利用③中解出的值,求出
【解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值，
而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期，
因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，
所以，解得，所以.不妨设，如图所示：

依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且，
若对应为点(或点之后)，则，即，不合题意；
若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大，
若对应为点，则直线为图象的对称轴，
又是函数图象的一个对称中心，且，
则，解得，则.所以取值的最大值为.故答案为：.
5.(2025·北京大兴·三模)已知函数()，，，且的最小值为，则 ， ．
【答案】/1.5；【难度】0.65【知识点】三角恒等变换的化简问题、由正弦(型)函数的周期性求值
【分析】根据两角和的正弦公式化简，求出，根据零点与极值点求出周期得出.
【解】，
所以，因为，，且的最小值为，
所以，即，解得.故答案为：；
题型9 由图象研究三角函数性质
1.(2025·浙江·三模)如图是函数的图象，则的值为( )
A．B．1C．2D．3
【答案】C【难度】0.94【知识点】由正弦(型)函数的周期性求值、利用正弦函数的对称性求参数
【分析】由对称性可知到间隔半个周期即可求解.
【解】由三角函数对称性可得，因此，故选：C.
2．(2025·河北秦皇岛·模拟预测)函数的部分图象如图所示，则( )

A．当最小时， B．的图象关于直线对称
C．不等式解集为 D．若在上有三个零点，则
【答案】BCD【难度】0.65【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的定义域、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、由图象确定正(余)弦型函数解析式【分析】对于选项，根据图象求出周期，再根据周期公式求出，再根据图像中的点将代入解析式，即可求得求得的表达式，同时可求出的解析式；选项，令，可求得的对称轴；选项，求，结合正弦函数的性质可得；选项，求出零点的表达式，将大于0的零点依次写出即可.
【解】对于选项，由图象可知： ，即，根据周期的公式可得，
因为，所以可得，将代入解析式，可得：，
即，得到，所以当最小时，，所以选项错误；
对于选项，，所以的对称轴方程为，
即，当时，，所以的图象关于直线对称，所以选项正确；
对于选项,由可得，即，解不等式可得：，所以不等式的解集为，所以选项正确；
对于选项，令，所以，解得，
的零点可以依次为：，，，，若在上有三个零点，
所以在上的三个零点为：，，， 所以，所以选项正确.
故选：
3．(2025·广西柳州·模拟预测)已知函数的部分图像如图所示，则( )
A． B．
C．直线是函数图象的一条对称轴D．在的值域为
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、由图象确定正(余)弦型函数解析式【分析】根据函数图象可确定的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断A，B；将代入验证，可判断C；利用正弦函数的值域可判断D.
【解】由图象知 ， 解得 ，A正确；
将代入中得，则 ，
因为 ，B错误；
将代入中得，直线是的一条对称轴，C正确；
因为，所以，即，D正确，
故选：ACD.
4．(2025·山东泰安·模拟预测)函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是( )
A． B．当，函数的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．若，且，则
【答案】ABD【难度】0.85【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正(余)弦型函数解析式、求图象变化前(后)的解析式、二倍角的余弦公式【分析】根据三角函数图象结合周期，特殊值得出函数解析式，再结合值域奇偶性及诱导公式判断各个选项即可.
【解】对于选项A，由于的高为，则，所以函数的周期，即，所以.又图象过点，结合五点作图法可知，
所以，所以，故A正确.
对于选项B，当，，所以函数的值域为，故B正确.
对于选项C，将函数的图象向右平移个单位长度后得到是一个奇函数，故C错误.
对于选项D，因为，，
由，所以，
故 ，故D正确.故选：ABD．
题型10 三角函数有关的零点问题
1.(2025·山东·模拟预测)已知函数，，当时，取得最值，且当时，单调递增，则在上的零点个数为 ．
【答案】4【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦(型)函数的值域(最值)求参数、由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)、求函数零点或方程根的个数【分析】根据性质得到时，取得最小值，且，结合，得到方程组，求出，，从而，故或0或或，求出零点，得到零点个数.
【解】当时，取得最值，且当时，单调递增，故当时，取得最小值，
设的最小正周期为，则，解得，故，解得，
又，故，
又，；所以，①，，②
联立①②得，，故，，则，
故或0或或，解得或或或，
故在上的零点个数为4.故答案为：4
2.(多选) (2024全国模拟预测)函数f(x)=2cs(ωx+φ)0