2022-2023学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．心形线B．蝴蝶曲线
C．四叶玫瑰线D．等角螺旋线
2．（2分）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
3．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠AOB＝120°，则∠P的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，2），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
5．（2分）某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，将厨余垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，若加工处理量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．1000（1﹣x）2＝1200B．1000（1+x）2＝1200
C．1200（1﹣x）2＝1000D．1200（1+x）2＝1000
6．（2分）一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写着数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，小乐随机从中抽取一张卡片，放回摇匀，再随机抽取一张，则小乐抽到的两张卡片上的数字都是奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为（ ）
A．2mB．3mC．4mD．5m
8．（2分）下面的三个问题中都有两个变量y与x：
①王阿姨去坡峰岭观赏红叶，她登顶所用的时间y与平均速度x；
②用一根长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与矩形的一边长x；
③某篮球联赛采用单循环制（每两队之间都赛一 场），比赛的场次y与参赛球队数x．
其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条抛物线表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣4）与点Q（﹣5，a）关于原点对称，则a＝ ．
10．（2分）一元二次方程x2+5x＝0的根是 ．
11．（2分）已知某函数当x＞1时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是 ．
12．（2分）若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：b＝ ，c＝ ．
13．（2分）为了认真学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题的党史知识竞赛活动，答题后随机抽取了100名学生答卷，统计他们的得分情况如下：
据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于90分的概率为 ．
14．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝34°，则∠ABD＝ °．
15．（2分）如图，已知⊙O的半径为3，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB＝30°，则的长是 ．
16．（2分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+n（k≠0）如图所示，有下面四个推断：
①二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值；
②抛物线C关于直线x＝对称；
③关于x的方程ax2+bx+c＝kx+n的两个实数根为x＝﹣4，x＝0；
④若过动点M（m，0）垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点P（m，y1）和Q（m，y2），则当y1＜y2时，m的取值范围是﹣4＜m＜0．
其中所有正确推断的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，
17．（5分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
18．（5分）已知m是方程3x2﹣2x﹣5＝0的一个根，求代数式（2m+1）（2m﹣1）﹣（m+1）2的值．
19．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，0），B（﹣1，3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将该抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为 ．
20．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接BE．若BC＝1，求线段BE的长．
21．（5分）下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B，连接PA，PB；
②分别作线段PA，AB的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
③以点O为圆心，OA长为半径作圆；
④以点A为圆心，PB长为半径作弧，与⊙O在l上方交于点Q；
⑤作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AQ，
∵点A，B，P，Q都在⊙O上，AQ＝PB，
∴＝ ，
∴∠APQ＝∠PAB，（ ）（填推理的依据）
∴PQ∥l．
22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（4﹣m）x+3﹣m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
23．（6分）2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动．
（1）小宇从四个实验中任意抽取﹣一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是 ；
（2）若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率．
24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的长．
25．（6分）如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔AD水平距离为x（单位：m）的地点，主索距桥面的竖直高度为y（单位：m），则y与x之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．
小石通过测量获得y与x的几组数据如下：
根据上述数据，解决以下问题：
（1）主索最低点P与桥面的距离PO为 m．
（2）求出主索抛物线的解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）；
（3）若与点P水平距离为12m处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）则为抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上任意两点，其中x1＜x2．
（1）求该抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）；
（2）当M，N的坐标分别为（0，﹣3），（2，﹣3）时，求m的值；
（3）若对于x1+x2＞4，都有y1＜y2，求m的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，作∠CAD的角平分线AE交BC的延长线于点E，连接CD，DE．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEC的度数；
（2）用等式表示线段AE，BE，DE之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN＝90°，且MP＝MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”．
（1）已知点A（0，4），B（4，4），
①在点M1（﹣2，2），M2（0，2），M3（2，2）中，是点O关于点A的“旋垂点”的是 ；
②若点M（m，n）是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为，圆心为T（t，0）．若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ＝，直接写出t的取值范围．
2022-2023学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．心形线B．蝴蝶曲线
C．四叶玫瑰线D．等角螺旋线
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（2分）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．
【解答】解：∵点P在⊙O上，
∴OP＝r＝5cm，
故选：B．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
3．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠AOB＝120°，则∠P的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】利用切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，然后利用四边形内角和是360°，进行计算即可解答．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
4．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，2），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
【分析】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A′作A′C⊥x轴，垂足为C，然后利用一线三等角构造全等模型证明△ABO≌△OCA′，从而利用全等三角形的性质可得OC＝AB＝2，A′C＝OB＝3，即可解答．
【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A′作A′C⊥x轴，垂足为C，
∴∠ABO＝∠OCA′＝90°，
∴∠BAO+∠AOB＝90°，
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴OB＝3，AB＝2，
由旋转得：
OA＝OA′，∠AOA′＝90°，
∴∠AOB+∠A′OC＝180°﹣∠AOA′＝90°，
∴∠BAO＝∠A′OC，
∴△ABO≌△OCA′（AAS），
∴OC＝AB＝2，A′C＝OB＝3，
∴点A'的坐标为（2，3），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2分）某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，将厨余垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，若加工处理量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．1000（1﹣x）2＝1200B．1000（1+x）2＝1200
C．1200（1﹣x）2＝1000D．1200（1+x）2＝1000
【分析】设月平均增长率为x，根据将厨余垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，列方程即可．
【解答】解：设月平均增长率为x，可列方程为1000（1+x）2＝1200，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2分）一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写着数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，小乐随机从中抽取一张卡片，放回摇匀，再随机抽取一张，则小乐抽到的两张卡片上的数字都是奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，从中找到抽到的两张卡片上的数字都是奇数的有4种结果，
所以抽到的两张卡片上的数字都是奇数的概率为，
故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为（ ）
A．2mB．3mC．4mD．5m
【分析】由垂径定理得AD＝4m，设该桨轮船的轮子半径为rm，则OD＝（r﹣2）m，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：AB＝8m，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4m，
设该桨轮船的轮子半径为rm，则OD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即该桨轮船的轮子半径为5m，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
8．（2分）下面的三个问题中都有两个变量y与x：
①王阿姨去坡峰岭观赏红叶，她登顶所用的时间y与平均速度x；
②用一根长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与矩形的一边长x；
③某篮球联赛采用单循环制（每两队之间都赛一 场），比赛的场次y与参赛球队数x．
其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条抛物线表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据题意写出两个变量之间的函数关系即可判断．
【解答】解：①王阿姨去坡峰岭观赏红叶，她登顶所用的时间y与平均速度x之间的函数关系为y＝（S为王阿姨家与坡峰岭之间的路程），为反比例函数关系，不符合题意；
②用一根长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与矩形的一边长x之间的函数关系为y＝x（）（L为铁丝的长），为二次函数关系，符合题意；
③某篮球联赛采用单循环制（每两队之间都赛一 场），比赛的场次y与参赛球队数x的函数关系为y＝，为二次函数关系，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是判断两个变量之间所满足的函数关系．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣4）与点Q（﹣5，a）关于原点对称，则a＝ 4 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【解答】解：平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣4）与点Q（﹣5，a）关于原点对称，则a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
10．（2分）一元二次方程x2+5x＝0的根是 x1＝0，x2＝﹣5 ．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：x2+5x＝0，
x（x+5）＝0，
∴x＝0或x+5＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣5．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．
11．（2分）已知某函数当x＞1时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是 y＝﹣（答案不唯一） ．
【分析】根据反比例函数的增减性求解即可．
【解答】解：根据某函数当x＞1时，y随x的增大而增大，
这个函数可以是y＝﹣，
故答案为：y＝﹣（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质等，熟练掌握这些函数的增减性是解题的关键．
12．（2分）若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：b＝ 2 ，c＝ 1 ．
【分析】利用方程有两个相等的实数根得到Δ＝b2﹣4c＝0，于是得到结论．
【解答】解：答案不唯一，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
则b＝2，c＝1，
故答案为：2，1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．（2分）为了认真学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题的党史知识竞赛活动，答题后随机抽取了100名学生答卷，统计他们的得分情况如下：
据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于90分的概率为 0.48 ．
【分析】用不低于90分的人数除以总人数即可求得答案．
【解答】解：∵100名学生答卷中有48名学生不低于90分，
∴随机抽取一名学生答卷，得分不低于90分的概率为48÷100＝0.48，
故答案为：0.48．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度较小．
14．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝34°，则∠ABD＝ 34 °．
【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．
【解答】解：由垂径定理可知，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD＝∠CEA＝34度．
故答案为：34．
【点评】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答本题的关键是掌握圆周角定理．
15．（2分）如图，已知⊙O的半径为3，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB＝30°，则的长是 π ．
【分析】先求出圆心角∠AOB的度数，再根据弧长公式求出的长度即可．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，圆心角为n°，半径为r的弧的长度是．
16．（2分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+n（k≠0）如图所示，有下面四个推断：
①二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值；
②抛物线C关于直线x＝对称；
③关于x的方程ax2+bx+c＝kx+n的两个实数根为x＝﹣4，x＝0；
④若过动点M（m，0）垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点P（m，y1）和Q（m，y2），则当y1＜y2时，m的取值范围是﹣4＜m＜0．
其中所有正确推断的序号是 ①③ ．
【分析】由抛物线C开口向下，可以判断①；由抛物线与x轴的交点可以求出抛物线对称轴；由抛物线与直线的交点可以判断③；根据题意做出直线x＝m，结合图象可以判断④．
【解答】解：由图象可知，抛物线C开口向下，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值，
故①正确；
∵抛物线C与x轴的交点为（﹣4，0）和（1，0），
∴对称轴为直线x＝﹣，
故②错误；
∵抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+n（k≠0）的交点为（﹣4，0）和（0，4），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝kx+n的两个实数根为x＝﹣4或x＝0，
故③正确；
如图所示：
由图象可知，当y1＜y2时，m的取值范围是m＞0或m＜﹣4，
故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数与一次函数的交点，二次函数的性质等，关键是掌握二次函数的性质和数形结合的思想方法．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，
17．（5分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
【分析】分解因式后得到（x+4）（x﹣2）＝0，推出方程x+4＝0，x﹣2＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x+4＝0，x﹣2＝0，
解方程得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴方程的解是x1＝﹣4，x2＝2．
【点评】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．（5分）已知m是方程3x2﹣2x﹣5＝0的一个根，求代数式（2m+1）（2m﹣1）﹣（m+1）2的值．
【分析】根据题意可知3m2﹣2m﹣5＝0，然后将原式化简后代入即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：3m2﹣2m﹣5＝0，
即3m2﹣2m＝5，
原式＝4m2﹣1﹣（m2+2m+1）
＝4m2﹣1﹣m2﹣2m﹣1
＝3m2﹣2m﹣2，
＝5﹣2
＝3．
【点评】本题考查整式的化简，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．
19．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，0），B（﹣1，3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将该抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为 y＝x2﹣1 ．
【分析】（1）将点A，B的坐标代入解析式得出关于a，b的方程组，解之可得；
（2）根据平移的规律：左加右减，上加下减即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，0），B（﹣1，3）．
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．
（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴将该抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1+1）2﹣1，即y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接BE．若BC＝1，求线段BE的长．
【分析】由旋转的性质可得AB＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，由直角三角形的性质可得AB的长，最后利用勾股定理可得答案．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝2，
由旋转的性质可得AB＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝90°，AB＝2．AE＝，
∴BE＝＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
21．（5分）下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B，连接PA，PB；
②分别作线段PA，AB的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
③以点O为圆心，OA长为半径作圆；
④以点A为圆心，PB长为半径作弧，与⊙O在l上方交于点Q；
⑤作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AQ，
∵点A，B，P，Q都在⊙O上，AQ＝PB，
∴＝ ，
∴∠APQ＝∠PAB，（ 在同圆中，相等的弧所对圆周角相等 ）（填推理的依据）
∴PQ∥l．
【分析】（1）根据作图过程即可完成作图；
（2）结合（1）即可完成证明．
【解答】（1）解：如图所示即为补全的图形；
（2）证明：连接AQ，
∵点A，B，P，Q都在⊙O上，AQ＝PB，
∴＝，
∴∠APQ＝∠PAB，（在同圆中，相等的弧所对圆周角相等），
∴PQ∥l．
故答案为：，在同圆中，相等的弧所对圆周角相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（4﹣m）x+3﹣m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式≥0，即可得证；
（2）利用因式分解法求得方程的解，根据题意得到m﹣3≥0，解不等式即可求出m的去值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（4﹣m）2﹣4×1×（3﹣m）＝（m﹣2）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：x2+（4﹣m）x+3﹣m＝0，
（x+1）（x+3﹣m）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝m﹣3，
∵该方程恰有一个实数根为非负数，
∴m﹣3≥0，
∴m≥3．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了解一元二次方程以及解不等式．
23．（6分）2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动．
（1）小宇从四个实验中任意抽取﹣一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是 ；
（2）若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公司求解即可．
【解答】解：（1）小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的有2种结果，
所以他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的长．
【分析】（1）连接OE，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝BD，然后再利用等腰三角形的性质证明OE∥AB，即可解答；
（2）根据CD为⊙O的直径，∠DEC＝90°，然后证明DE是△ABC的中位线，再利用相似三角形对应边成比例即可解答．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
又∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠BCD，
∴∠OEC＝∠B，
∴AB∥OE，
又∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：连接DE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DE∥AC，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，
∵CD为斜边中线，CD＝5，
∴AB＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝＝8，
∴BE＝＝4，
∵∠B＝∠B，∠BFE＝∠BCA，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∴，
∴EF＝2.4．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线，直线和圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（6分）如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔AD水平距离为x（单位：m）的地点，主索距桥面的竖直高度为y（单位：m），则y与x之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．
小石通过测量获得y与x的几组数据如下：
根据上述数据，解决以下问题：
（1）主索最低点P与桥面的距离PO为 2 m．
（2）求出主索抛物线的解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）；
（3）若与点P水平距离为12m处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
【分析】（1）由表格数据知，抛物线的对称轴为x＝（24+40）＝32，即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）设点Q在P点左侧12m处，则xQ＝32﹣12＝20，当x＝20时，y＝（20﹣32）2+2＝，即可求解．
【解答】解：（1）由表格数据知，抛物线的对称轴为x＝（24+40）＝32，
当x＝32时，y＝2，即PO＝2（m），
故答案为：2；
（2）抛物线的顶点坐标为（32，2），且过（0，18），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣32）2+2，
则18＝a（0﹣32）2+2，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣32）2+2；
（3）设点Q在P点左侧12m处，则xQ＝32﹣12＝20，
当x＝20时，y＝（20﹣32）2+2＝，
则这两条吊索的总长度为：2×＝8.5（m），
∴这两条吊索的总长度为8.5m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）则为抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上任意两点，其中x1＜x2．
（1）求该抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）；
（2）当M，N的坐标分别为（0，﹣3），（2，﹣3）时，求m的值；
（3）若对于x1+x2＞4，都有y1＜y2，求m的取值范围．
【分析】（1）化成顶点式即可求解；
（2）M，N两点关于坐标轴对称，对称轴x＝m＝＝1；
（3）利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点P的坐标为（m，﹣4）；
（2）∵M，N的坐标分别为（0，﹣3），（2，﹣3），
∴对称轴为直线x＝m＝＝1，
故答案为：1；
（3）∵y1＜y2，
∴x12﹣2mx1+m2﹣4＜x22﹣2mx2+m2﹣4，
∴（x12﹣x22）＜2m（x1﹣x2），
∵x1＜x2，
∴x1+x2＞2m，
∵对于x1+x2＞4，都有y1＜y2，
∴2m≤4，
∴m的取值范围为：m≤2．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，作∠CAD的角平分线AE交BC的延长线于点E，连接CD，DE．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEC的度数；
（2）用等式表示线段AE，BE，DE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意画出图形即可，取BC中点P，连接AP，由AB＝AC，得∠BAP＝∠CAP＝∠BAC，由AE平分∠CAD，∠PAE＝∠CAP+∠CAE＝∠BAC+∠CAD＝∠BAD，即可得出答案；
（2）延长CB至F，使BF＝CE，连接AF，证明△ABF≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE，∠E＝∠F，∠CAE＝∠BAF＝α，证出∠EAF＝90°，由等腰直角三角形的性质得出EF＝AE，则可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
取BC中点P，连接AP，
∵AB＝AC，
∴∠BAP＝∠CAP＝∠BAC，∠APE＝90°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠EAD＝∠CAD，
∴∠PAE＝∠CAP+∠CAE＝∠BAC+∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠PAE＝45°，
∴∠AEC＝45°；
（2）BE+CE＝AE．
证明：延长CB至F，使BF＝CE，连接AF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABF＝∠ACE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠E＝∠F，∠CAE＝∠BAF＝α，
∵∠ABC＝45°+α，∠ABF＝∠F+∠BAF＝∠F+α，
∴∠F＝45°，
∴∠E＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∴EF＝AE，
∵EF＝BE+BF，
∴BE+CE＝AE．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN＝90°，且MP＝MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”．
（1）已知点A（0，4），B（4，4），
①在点M1（﹣2，2），M2（0，2），M3（2，2）中，是点O关于点A的“旋垂点”的是 M1，M3 ；
②若点M（m，n）是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为，圆心为T（t，0）．若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ＝，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①根据“旋垂点”的定义判断即可；
②当∠AM1O＝90°，AM1＝M1O时，m＝﹣2，当∠BM2O＝90°，BM2＝M2O时，m＝4，即可求出m的取值范围；
（2）由题可知，Q点在以T为圆心半径为2或4的圆上，当D点与Q点重合时，TD＝4，t＝﹣2；当Q点与C点重合时，OT＝2，t＝﹣2，则﹣2≤t≤﹣2；当Q点与C点重合时，OT＝6，t＝6；当TQ⊥CD时，TQ＝2，t＝2﹣2，则2﹣2≤t≤6．
【解答】解：（1）①∵A（0，4），
∴OA＝4，
设点O关于点A的“旋垂点”是M，
∴AM＝OM＝2，
∵M1（﹣2，2），M2（0，2），M3（2，2），
∴AM1＝OM1＝2，AM2＝OM1＝2，AM3＝OM1＝2，
∴M1，M3是点O关于点A的“旋垂点”，
故答案为：M1，M3；
②∵点A（0，4），B（4，4），
∴AB∥x轴，
当∠AM1O＝90°，AM1＝M1O时，m＝﹣2，
当P点从A到B移动时，﹣2≤m≤0；
当∠BM2O＝90°，BM2＝M2O时，m＝4，
当P点从A到B移动时，2≤m≤4；
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4时，点M（m，n）是点O关于线段AB的“旋垂点”；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
当y＝0时，x＝2，
∴C（2，0），
∵PQ＝，∠PQN＝90°，PQ＝QN，
∴PN＝2，
∵圆T的半径是，
∴TQ＝2或TQ＝4，
∴Q点在以T为圆心半径为2或4的圆上，
当D点与Q点重合时，TD＝4，
∴TO＝2，
∴t＝﹣2；
当Q点与C点重合时，OT＝2，
∴t＝﹣2，
∴﹣2≤t≤﹣2；
当Q点与C点重合时，OT＝6，
∴t＝6；
当TQ⊥CD时，TQ＝2，
∴OT＝2﹣2，
∴t＝2﹣2；
∴2﹣2≤t≤6；
∴t的取值范围为：﹣2≤t≤﹣2或2﹣2≤t≤6．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练等腰直角三角形的性质，圆的垂径定理，弄清定义，数形结合是解题的关键．得分
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数（人）
10
m
n
48
x（m）
0
4
8
24
32
40
48
64
y（m）
18
14.25
11
3
2
3
6
18
得分
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数（人）
10
m
n
48
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
x（m）
0
4
8
24
32
40
48
64
y（m）
18
14.25
11
3
2
3
6
18