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    2022-2023学年北京市燕山区九年级(上)期中数学试卷【含解析】

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    这是一份2022-2023学年北京市燕山区九年级(上)期中数学试卷【含解析】,共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(3分)下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    2.(3分)平面直角坐标系内,与点P(﹣3,2)关于原点对称的点的坐标是( )
    A.(3,﹣2)B.(2,3)C.(2,﹣3)D.(﹣3,﹣2)
    3.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点C在圆上,若∠ABC=70°,则∠BAC的度数为( )
    A.70°B.60°C.40°D.20°
    4.(3分)方程x2﹣x+1=0的根的情况是( )
    A.有两个相等实数根B.有两个不相等实数根
    C.没有实数根D.无法判断
    5.(3分)已知2a2﹣7a﹣1=0,则代数式a(2a﹣7)+5的值为( )
    A.6B.5C.4D.﹣4
    6.(3分)如图,将Rt△AOB(∠AOB=90°)绕点O逆时针旋转30°得到Rt△COD,则∠COB=( )
    A.30°B.60°C.70°D.90°
    7.(3分)将抛物线y=x2向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得到的抛物线为( )
    A.y=(x+1)2+3B.y=(x+1)2﹣3C.y=(x﹣1)2+3D.y=(x﹣1)2﹣3
    8.(3分)以下对二次函数y=x2+4x﹣5的图象和性质的描述中,不正确的是( )
    A.开口向上
    B.当x>﹣2时,y随x的增大而增大
    C.对称轴是直线x=2
    D.与y轴的交点是(0,﹣5)
    9.(3分)某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷,计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷,设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x,则可列方程为( )
    A.48(1+x)2=36B.48(1﹣x)2=36
    C.36(1+x)2=48D.36(1﹣x)2=48
    10.(3分)小明用一根长40cm的铁丝围成一个矩形(如图),他发现矩形邻边的长度a,b及面积S是三个变量.有下面三个结论:
    ①b是a的一次函数;
    ②S是a的一次函数;
    ③S是a的二次函数.
    其中所有正确结论的序号是( )
    A.①②B.①③C.②③D.①②③
    二、填空题(本题共24分,每小题3分)
    11.(3分)一元二次方程x2﹣4=0的解是 .
    12.(3分)二次函数的解析式为y=﹣2(x+1)2+3,顶点坐标是 .
    13.(3分)如果关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根为1,那么a的值为 .
    14.(3分)如图,AB为⊙O的弦,点C为⊙O上一点,∠ACB=55°,则∠AOB= °.
    15.(3分)写出一个二次函数,其图象开口向上,且与y轴交于点(0,1),这个二次函数的解析式可以是 .
    16.(3分)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 .
    17.(3分)小聪在画一个二次函数的图象时,列出了下面几组y与x的对应值:
    该二次函数的解析式是 .
    18.(3分)某件商品的销售利润y(元)与商品单价x(元)之间满足y=﹣x2+6x﹣7,不考虑其他因素,该商品的单价定为 元时,销售一件该商品获得的利润最大,最大利润为 元.
    三、解答题(本题共46分,第19题4分;第20-25题,每题各5分;第26-27题,每题各6分)
    19.(4分)解方程:x2﹣4x+1=0.
    20.(5分)如图,在半径为6的⊙O中,弦AB的长为6,求圆心角∠AOB的度数和点O到AB的距离.
    21.(5分)阅读材料,并回答问题:
    下面是小明解方程x2+4x﹣2=0的过程:
    解:移项,得
    x2+4x=2.①
    配方,得
    x2+4x+4=2,②
    (x+2)2=2.③
    由此可得
    x+2=±,④
    x1=﹣2,x2=﹣.⑤
    (1)小明解方程的方法是 ;
    A.直接开平方法
    B.配方法
    C.公式法
    D.因式分解法
    (2)上述解答过程中,从第 步(填序号)开始出现了错误,原因是 ;
    (3)请你写出正确的解答过程.
    22.(5分)某二次函数的图象的顶点坐标是(1,﹣4),且经过点(0,﹣3).
    (1)求该二次函数的解析式;
    (2)在平面直角坐标系xOy中,画出该二次函数的图象.
    23.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m=0有两个不相等的实数根.
    (1)求m的取值范围;
    (2)当m取正整数时,求此时方程的根.
    24.(5分)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接DO并延长交⊙O于点F,连接AF,∠AFD=∠CDF.
    (1)求证:=;
    (2)连接AC,若AB=12,求AC的长.
    25.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2+(m+2)x+2m.
    (1)当m=2时,求抛物线的对称轴;
    (2)若点(﹣1,y1),(m,y2),(1,y3)在抛物线上,且y1<y2<y3,求m的取值范围.
    26.(6分)如图,在正方形ABCD中,点P在直线BC上,作射线AP,将射线AP绕点A逆时针旋转45°,得到射线AQ,交直线CD于点Q,过点B作BE⊥AP于点E,交AQ于点F,连接DF.
    (1)依题意补全图形;
    (2)用等式表示线段BE,EF,DF之间的数量关系,并证明.
    27.(6分)在平面直角坐标系xOy中,点A是x轴外的一点,若平面内的点B满足:线段AB的长度与点A到x轴的距离相等,则称点B是点A的“等距点”.
    (1)若点A的坐标为(0,2),点P1(2,2),P2(1,﹣4),P3(﹣,1)中,点A的“等距点”是 ;
    (2)若点M(1,2)和点N(1,8)是点A的两个“等距点”,求点A的坐标;
    (3)记函数y=x(x>0)的图象为L,⊙T的半径为2,圆心坐标为T(0,t).若在L上存在点M,⊙T上存在点N,满足点N是点M的“等距点”,直接写出t的取值范围.
    2022-2023学年北京市燕山区九年级(上)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本题共30分,每小题3分)
    1.(3分)下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.
    【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;
    B、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
    C、是轴对称图形,也是中心对称图形.故正确;
    D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误.
    故选:C.
    【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
    2.(3分)平面直角坐标系内,与点P(﹣3,2)关于原点对称的点的坐标是( )
    A.(3,﹣2)B.(2,3)C.(2,﹣3)D.(﹣3,﹣2)
    【分析】根据关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,可得答案.
    【解答】解:与点P(﹣3,2)关于原点对称的点的坐标是(3,﹣2),
    故选:A.
    【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
    3.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点C在圆上,若∠ABC=70°,则∠BAC的度数为( )
    A.70°B.60°C.40°D.20°
    【分析】由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,即可求得∠C的度数,又由∠ABC=70°,利用直角三角形中两锐角互余,即可求得∠BAC的度数.
    【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠C=90°,
    ∵∠ABC=70°,
    ∴∠BAC=90°﹣70°=20°,
    故选:D.
    【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质.此题比较简单,注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用,注意数形结合思想的应用.
    4.(3分)方程x2﹣x+1=0的根的情况是( )
    A.有两个相等实数根B.有两个不相等实数根
    C.没有实数根D.无法判断
    【分析】计算一元二次方程根的判别式,由判别式符号即可得到答案.
    【解答】解:在x2﹣x+1=0中,
    Δ=(﹣1)2﹣4×1×1=1﹣4=﹣3<0,
    ∴x2﹣x+1=0没有实数解,
    故选:C.
    【点评】本题考查一元二次方程根的情况,解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式.
    5.(3分)已知2a2﹣7a﹣1=0,则代数式a(2a﹣7)+5的值为( )
    A.6B.5C.4D.﹣4
    【分析】利用单项式乘多项式法则化简,去括号得到最简结果,把已知等式代入计算即可求出值.
    【解答】解:原式=2a2﹣7a+5,
    由2a2﹣7a﹣1=0,得到2a2﹣7a=1,
    ∴原式=1+5=6.
    故选:A.
    【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
    6.(3分)如图,将Rt△AOB(∠AOB=90°)绕点O逆时针旋转30°得到Rt△COD,则∠COB=( )
    A.30°B.60°C.70°D.90°
    【分析】由旋转的性质可得∠BOD=∠AOC=30°,即可求解.
    【解答】解:∵将Rt△AOB绕点O顺时针旋转30°得到△COD,
    ∴∠BOD=∠AOC=30°,
    ∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=60°,
    故选:B.
    【点评】本题考查了旋转的性质,掌握旋转的性质是解题的关键.
    7.(3分)将抛物线y=x2向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得到的抛物线为( )
    A.y=(x+1)2+3B.y=(x+1)2﹣3C.y=(x﹣1)2+3D.y=(x﹣1)2﹣3
    【分析】易得新抛物线的顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式.
    【解答】解:原抛物线的顶点为(0,0),向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,那么新抛物线的顶点为(﹣1,3);
    可设新抛物线的解析式为y=(x﹣h)2+k,代入得:y=(x+1)2+3.
    故选:A.
    【点评】本题主要考查的是函数图象的平移,根据平移规律“左加右减,上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键.
    8.(3分)以下对二次函数y=x2+4x﹣5的图象和性质的描述中,不正确的是( )
    A.开口向上
    B.当x>﹣2时,y随x的增大而增大
    C.对称轴是直线x=2
    D.与y轴的交点是(0,﹣5)
    【分析】利用二次函数的性质判断即可.
    【解答】解:∵y=x2+4x﹣5=(x+2)2﹣9,
    ∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=﹣2,顶点坐标为(﹣2,﹣9),
    ∴x>﹣2时,y随x增大而增大,
    当x=0时,y=﹣5,
    ∴与y轴的交点是(0,﹣5),
    故选项C不正确,
    故选:C.
    【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系,熟知二次函数的性质是解题的关键.
    9.(3分)某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷,计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷,设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x,则可列方程为( )
    A.48(1+x)2=36B.48(1﹣x)2=36
    C.36(1+x)2=48D.36(1﹣x)2=48
    【分析】设年平均增长率为x,根据划两年后将杂交水稻种植面积增至48公顷,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
    【解答】解:设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x,
    依题意,得:36(1+x)2=48.
    故选:C.
    【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
    10.(3分)小明用一根长40cm的铁丝围成一个矩形(如图),他发现矩形邻边的长度a,b及面积S是三个变量.有下面三个结论:
    ①b是a的一次函数;
    ②S是a的一次函数;
    ③S是a的二次函数.
    其中所有正确结论的序号是( )
    A.①②B.①③C.②③D.①②③
    【分析】求出相应函数表达式,根据函数定义即可求解.
    【解答】解:①由题意得:a+b=×40=20,b=20﹣a,则b是a的一次函数,故①正确,符合题意;
    ②S=ab=a(20﹣a)=﹣a2+20a,则S是a的二次函数,故②错误,不符合题意;
    ③S是a的二次函数,由②知S是a的二次函数,故③正确,符合题意.
    故选:B.
    【点评】本题考查函数、一次函数、二次函数的应用,关键是判断两个变量之间所满足的函数关系.
    二、填空题(本题共24分,每小题3分)
    11.(3分)一元二次方程x2﹣4=0的解是 x=±2 .
    【分析】式子x2﹣4=0先移项,变成x2=4,从而把问题转化为求4的平方根.
    【解答】解:移项得x2=4,
    ∴x=±2.
    故答案为:x=±2.
    【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法.解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.
    (1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
    (2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
    12.(3分)二次函数的解析式为y=﹣2(x+1)2+3,顶点坐标是 (﹣1,3) .
    【分析】由已知和抛物线的顶点式,直接判断顶点坐标.
    【解答】解:∵二次函数的解析式为y=﹣2(x+1)2+3,
    ∴二次函数图象的顶点坐标为(﹣1,3).
    故答案为:(﹣1,3).
    【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系,抛物线的顶点式:y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标为(h,k).
    13.(3分)如果关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根为1,那么a的值为 ﹣3 .
    【分析】把x=1代入已知方程可以列出关于a的新方程,通过解新方程即可求得a的值.
    【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根为1,
    ∴1+2+a=0,
    解得,a=﹣3.
    故答案是:﹣3.
    【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
    14.(3分)如图,AB为⊙O的弦,点C为⊙O上一点,∠ACB=55°,则∠AOB= 110 °.
    【分析】利用圆周角定理解决问题即可.
    【解答】解:∵∠ACB=55°,
    ∴∠AOB=2∠ACB=110°,
    故答案为:110.
    【点评】本题考查圆周角定理,解题的关键是掌握圆周角定理解决问题.
    15.(3分)写出一个二次函数,其图象开口向上,且与y轴交于点(0,1),这个二次函数的解析式可以是 y=x2+1(答案不唯一) .
    【分析】根据二次函数的性质,开口向上,要求a值大于0即可.
    【解答】解:∵开口向上,
    ∴a>0,
    且与y轴的交点为(0,1).
    故答案为:y=x2+1(答案不唯一).
    【点评】本题考查了二次函数的性质,开放型题目,答案不唯一,所写抛物线的a值必须大于0.
    16.(3分)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 x1=﹣1,x2=3 .
    【分析】根据抛物线的对称性即可求解.
    【解答】解:根据图象可得:图象与x轴的一个交点是(﹣1,0),对称轴是:x=1,
    (﹣1,0)关于x=1的对称点是:(3,0),
    则抛物线与x轴的交点是:(﹣1,0)和(3,0),
    ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为:x1=﹣1,x2=3.
    故答案为:x1=﹣1,x2=3.
    【点评】本题考查了二次函数的性质,理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键.
    17.(3分)小聪在画一个二次函数的图象时,列出了下面几组y与x的对应值:
    该二次函数的解析式是 y=(x﹣3)2﹣4(或y=x2﹣6x+5) .
    【分析】根据待定系数法即可求得.
    【解答】解:由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(3,﹣4),
    设二次函数的表达式为y=a(x﹣3)2﹣4(a≠0),
    将(1,0)代入得4a﹣4=0,
    解得a=1,
    ∴该二次函数的表达式为y=(x﹣3)2﹣4(或y=x2﹣6x+5).
    【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式,二次函数的图象和性质,熟练掌握待定系数法是解题的关键.
    18.(3分)某件商品的销售利润y(元)与商品单价x(元)之间满足y=﹣x2+6x﹣7,不考虑其他因素,该商品的单价定为 3 元时,销售一件该商品获得的利润最大,最大利润为 2 元.
    【分析】把解析式配成顶点式,即可得到答案.
    【解答】解:∵y=﹣x2+6x﹣7=﹣(x﹣3)2+2,
    而﹣1<0,
    ∴当x=3时,y取最大值2,
    ∴商品的单价定为3元,销售一件该商品获得的利润最大,最大利润为2元,
    故答案为:3,2.
    【点评】本题考查二次函数的应用,解题的关键是掌握二次函数的性质,能求抛物线的顶点.
    三、解答题(本题共46分,第19题4分;第20-25题,每题各5分;第26-27题,每题各6分)
    19.(4分)解方程:x2﹣4x+1=0.
    【分析】根据配方法可以解答此方程.
    【解答】解:x2﹣4x+1=0
    x2﹣4x+4=3
    (x﹣2)2=3
    x﹣2=
    ∴x1=2+,x2=2﹣;
    【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法,解答本题的关键是会用配方法解方程的方法.
    20.(5分)如图,在半径为6的⊙O中,弦AB的长为6,求圆心角∠AOB的度数和点O到AB的距离.
    【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C,由在半径为6的⊙O中,弦AB的长为6,可得△OAB是等边三角形,继而求得∠AOB的度数,然后由三角函数的性质,求得点O到AB的距离.
    【解答】解:过点O作OC⊥AB于点C,
    ∵OA=OB=AB=6,
    ∴△OAB是等边三角形,
    ∴∠AOB=60°,
    ∴OC=OA•sin60°=6×=3.
    【点评】此题考查了垂径定理以及等边三角形的判定与性质.注意证得△OAB是等边三角形是关键.
    21.(5分)阅读材料,并回答问题:
    下面是小明解方程x2+4x﹣2=0的过程:
    解:移项,得
    x2+4x=2.①
    配方,得
    x2+4x+4=2,②
    (x+2)2=2.③
    由此可得
    x+2=±,④
    x1=﹣2,x2=﹣.⑤
    (1)小明解方程的方法是 B ;
    A.直接开平方法
    B.配方法
    C.公式法
    D.因式分解法
    (2)上述解答过程中,从第 ② 步(填序号)开始出现了错误,原因是 等式左边加了4,等式右边没有加4 ;
    (3)请你写出正确的解答过程.
    【分析】(1)根据解一元二次方程的方法对小明解方程的方法进行判断;
    (2)从第②步开始出现了错误,不符合等式的性质;
    (3)利用配方法得到(x+2)2=6,然后利用直接开平方法解方程.
    【解答】解:(1)小明解方程的方法是配方法;
    故选:B;
    (2)上述解答过程中,从第②步开始出现了错误,原因是等式左边加了4,等式右边没有加4;
    故答案为:②;等式左边加了4,等式右边没有加4;
    (3)正确解答为:
    移项,得x2+4x=2,
    配方,得x2+4x+4=6,
    (x+2)2=6,
    由此可得x+2=±,
    所以x1=﹣2,x2=﹣﹣2.
    【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法.
    22.(5分)某二次函数的图象的顶点坐标是(1,﹣4),且经过点(0,﹣3).
    (1)求该二次函数的解析式;
    (2)在平面直角坐标系xOy中,画出该二次函数的图象.
    【分析】(1)此题知道顶点坐标,适合用二次函数的顶点式y=a(x﹣h)2+k来解答.
    (2)求出与坐标轴的交点坐标,结合已知的顶点坐标,描点、连线.
    【解答】解:(1)已知二次函数的顶点坐标是(1,﹣4),可设解析式为y=a(x﹣1)2﹣4
    把(0,﹣3)代入上式,得:﹣3=a﹣4,即a=1,
    ∴y=(x﹣1)2﹣4,
    故该二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
    (2)当y=0时,原式化为:x2﹣2x﹣3=0
    即(x+1)(x﹣3)=0,
    解得x1=﹣1,x2=3,
    ∴与x轴交点坐标为:(﹣1,0),(3,0),
    如图:

    【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质,待定系数法求二次函数的解析式,熟知待定系数法是解题的关键.
    23.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m=0有两个不相等的实数根.
    (1)求m的取值范围;
    (2)当m取正整数时,求此时方程的根.
    【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2﹣4ac>0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围;
    (2)由(1)的结论结合m为正整数,即可得出m=1,将其代入原方程,再利用因式分解法解一元二次方程,即可求出原方程的解.
    【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m=0有两个不相等的实数根,
    ∴Δ=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×3m>0,
    解得:m<,
    ∴m的取值范围为m<;
    (2)∵m为正整数,
    ∴m=1,
    ∴原方程为x2﹣4x+3=0,即(x﹣3)(x﹣1)=0,
    解得:x1=3,x2=1,
    ∴当m取正整数时,此时方程的根为3和1.
    【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程,解题的关键是:(1)牢记“当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根”;(2)利用因式分解法求出方程的两个根.
    24.(5分)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接DO并延长交⊙O于点F,连接AF,∠AFD=∠CDF.
    (1)求证:=;
    (2)连接AC,若AB=12,求AC的长.
    【分析】(1)根据垂径定理得出=,根据圆周角定理得出=,等量代换即可得解;
    (2)根据圆周角定理得出∠AOD=∠AOC=∠COF=60°,进而得出△AOC是等边三角形,根据等边三角形的性质即可得解.
    【解答】(1)证明:∵AB为⊙O的直径,CD⊥AB,
    ∴=,
    ∵∠AFD=∠CDF,
    ∴=,
    ∴=;
    (2)解:如图,连接OC,
    ∵==,
    ∴∠AOD=∠AOC=∠COF,
    ∵DF是直径,
    ∴∠AOD=∠AOC=∠COF=60°,
    ∴△AOC是等边三角形,
    ∴AC=AO=AB=6.
    【点评】本题考查了圆周角定理,垂径定理,等边三角形的判定和性质等知识,熟记圆周角定理是解题的关键.
    25.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2+(m+2)x+2m.
    (1)当m=2时,求抛物线的对称轴;
    (2)若点(﹣1,y1),(m,y2),(1,y3)在抛物线上,且y1<y2<y3,求m的取值范围.
    【分析】(1)由抛物线的对称轴公式即可得出答案;
    (2)由二次函数的性质与不等式求解即可.
    【解答】解:(1)当m=2时,抛物线为y=x2+4x+4,
    ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2;
    (2)y=x2+(m+2)x+2m,
    整理得:y=(x+2)(x+m),
    当x=﹣1时,y1=(﹣1+2)(﹣1+m)=m﹣1,
    当x=m时,y2=(m+2)(m+m)=2m2+4m,
    当x=1时,y3=(1+2)(1+m)=3m+3,
    ∵y1<y2,
    ∴m﹣1<2m2+4m,
    解得:m>﹣或m<﹣1,
    ∵y2<y3,
    ∴2m2+4m<3m+3,
    解得:﹣<m<1,
    ∵y1<y2<y3,
    ∴﹣<m<﹣1或﹣<m<1,
    ∴m的取值范围为:﹣<m<﹣1或﹣<m<1.
    【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及对称轴、不等式等知识,熟练掌握图象上点的坐标特征和二次函数的性质是解题的关键.
    26.(6分)如图,在正方形ABCD中,点P在直线BC上,作射线AP,将射线AP绕点A逆时针旋转45°,得到射线AQ,交直线CD于点Q,过点B作BE⊥AP于点E,交AQ于点F,连接DF.
    (1)依题意补全图形;
    (2)用等式表示线段BE,EF,DF之间的数量关系,并证明.
    【分析】(1)根据要求作出图形即可.
    (2)如图,作DT⊥AP于T.证明△AEB≌△DTA(AAS),四边形DTEF是平行四边形,可得结论.
    【解答】解:(1)图形如图所示.
    (2)结论:EF=DF+BE.
    理由:如图,作DT⊥AP于T.
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AB=AD,∠BAD=90°,
    ∵DT⊥AP,BF⊥AP,
    ∴∠AEB=∠DTA=90°,
    ∴∠BAE+∠ABE=90°,∠BAE+∠DAT=90°,
    ∴∠ABE=∠DAT,
    在△AEB和△DTA中,

    ∴△AEB≌△DTA(AAS),
    ∴DT=AE,AT=BE,
    ∵∠EAF=45°,∠AEF=90°,
    ∴∠EAF=∠EFA=45°,
    ∴EA=EF,
    ∴DT=EF,
    ∵DT∥EF,
    ∴四边形DTEF是平行四边形,
    ∴DF=TE,
    ∵AE=AT+TE,EF=AE,
    ∴EF=DF+BE.
    【点评】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
    27.(6分)在平面直角坐标系xOy中,点A是x轴外的一点,若平面内的点B满足:线段AB的长度与点A到x轴的距离相等,则称点B是点A的“等距点”.
    (1)若点A的坐标为(0,2),点P1(2,2),P2(1,﹣4),P3(﹣,1)中,点A的“等距点”是 P1,P3 ;
    (2)若点M(1,2)和点N(1,8)是点A的两个“等距点”,求点A的坐标;
    (3)记函数y=x(x>0)的图象为L,⊙T的半径为2,圆心坐标为T(0,t).若在L上存在点M,⊙T上存在点N,满足点N是点M的“等距点”,直接写出t的取值范围.
    【分析】(1)利用两点间的距离公式求出AP1,AP2,AP3的值,结合点A的坐标及“等距点”的定义,即可得出结论;
    (2)由点M,N为点A的等距点可得出AM=AN,进而可得出点A在线段MN的垂直平分线上,设MN与其垂直平分线交于点C,点A的坐标为(m,n),由点M,N的坐标可得出点C的坐标及AM,CM的长度,利用勾股定理可求出AC的长度,结合点C的坐标即可得出点A的坐标;
    (3)设点M的坐标为(a,a)(a>0),则TM=,MD=a,MN=﹣2,由“等距点”的定义可得出MD=MN,进而可得出关于a的一元二次方程,由该方程有解可得出关于t的一元二次不等式,解之即可得出t的取值范围,由当t=﹣2时a2=0可得出t=﹣2不合适,此题得解.
    【解答】解:(1)∵AP1=2﹣0=2,AP2==,AP3==2,
    ∴点A的“等距点”是P1,P3.
    故答案为:P1,P3.
    (2)∵点M(1,2)和点N(1,8)是点A的两个“等距点”,
    ∴AM=AN,
    ∴点A在线段MN的垂直平分线上.
    设MN与其垂直平分线交于点C,点A的坐标为(m,n),如图1所示.
    ∵点M(1,2),点N(1,8),
    ∴点C的坐标为(1,5),AM=AN=n=5,
    ∴CM=3,AC==4,
    ∴m=1﹣4=﹣3或m=1+4=5,
    ∴点A的坐标为(﹣3,5)或(5,5).
    (3)设点M的坐标为(a,a)(a>0),则TM=,MD=a,MN=﹣2.
    依题意,得:MD=MN,即a=﹣2,
    整理,得:a2﹣(t+2)a+t2﹣4=0,
    ∵关于a的一元二次方程有解,
    ∴△=[﹣(t+2)]2﹣4×1×(t2﹣4)≥0,即t2﹣2t﹣8≤0,
    解得:﹣2≤t≤4.
    当t=﹣2时,a2=0,不合题意,舍去.
    ∴t的取值范围为﹣2<t≤4.
    【点评】本题考查了两点间的距离、线段的垂直平分线、一次函数的性质、勾股定理以及解一元二次不等式,解题的关键是:(1)利用两点间的距离公式求出AP1,AP2,AP3的值;(2)利用“等距点”的定义找出点A在线段MN的垂直平分线上;(3)由存在“等距点”,找出关于t的一元二次不等式.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/7/11 11:42:14;用户:笑涵数学;邮箱:15699920825;学号:36906111x

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