还剩25页未读，
继续阅读
北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷（解析版）
展开
这是一份北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷（解析版），共28页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：
5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（ ）
A． B． C． D．
10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB＞AD＞，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．
13．某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：
种子总数
100
400
800
1000
3500
7000
9000
14000
发芽种子数
91
354
716
901
3164
5613
8094
12614
发芽的频率
0.91
0.885
0.895
0.901
0.904
0.902
0.899
0.901
则该玉米种子发芽的概率估计值为 （结果精确到0.1）．
14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）
你的计算结果是：出南门 步而见木．
15．老师在课堂上出了一个问题：若点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．
小明是这样思考的：当k＜0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且﹣2＜1＜4，所以y1＜y2＜y3．
你认为小明的思考 （填“正确”和“不正确”），理由是 ．
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．
已知线段a，c如图．
小芸的作法如下：
①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OB长为半径画圆；
③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；
④连接BC，AC．
则Rt△ABC即为所求．
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算： cos45°﹣tan30°•sin60°．
18．解方程：x2﹣3x﹣1=0．
19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长．
20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1．
（1）在网格中画出△AB1C1；
（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）
22．已知二次函数y=2x2﹣8x．
（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；
（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．
23．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．
24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
25．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠DAC=∠DCE；
（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的长．
26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣1
﹣
﹣
3
m
…
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： ．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C（0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求一次函数y=x+n的表达式；
（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．
28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．
（1）①依题意补全图2；
②求证：AD=BE，且AD⊥BE；
③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；
（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．
（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；
（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．
①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；
②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．
2017-2018学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y=（x﹣1）2+2，
∴当x=1时，函数有最小值2．
故选D．
2．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．
【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，
故选：D．
3．下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．
【解答】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；
B、主视图是长方形，故B选项错误；
C、主视图是三角形，故C选项正确；
D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；
故选：C．
4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：A．
5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据统计图求出总的水彩笔和蓝色水彩笔的支数，再根据概率公式进行计算即可．[来源:Z+xx+k.Com]
【解答】解：图中共有水彩笔2+3+4+3+6+2=20支，
其中蓝色水彩笔6支，
则抽到蓝色水彩笔的概率为=；
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOC=50°，
∴∠D=∠AOC=25°．
故选A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
由勾股定理，得
BC===4．
cosB==，
故选：B．
8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先设I=，再把点（4，8）代入可得k的值，进而可得函数解析式．
【解答】解：设I=，
∵图象经过点（4，8），
∴8=，
解得：k=32，
∴电流I关于电阻R的函数解析式为I=．
故选：C．
9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠AEH=45°，则∠EAH=45°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=135°，
∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=45°，
∠EAH=45°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=45°，AE=1.3米，
∴EH=AE•sin∠EAH≈1.3×0.7=0.91（米），
∵AB=1.3米，
∴AB+EH≈1.3+0.91=1.92≈2.2米．
故选B．
10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB＞AD＞，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A
【分析】观察图2，发现寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，确定出寻宝者的行进路线即可．
【解答】解：观察图2得：寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，
结合图1得：寻宝者的行进路线可能为O→D→C→B，
故选A．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣4） ．
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．
12．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 1 ，b= 2014 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到a+b﹣2015=0，于是a取1时，计算对应的b的值．
【解答】解：把x=1代入ax2+bx﹣2015=0得a+b﹣2015=0，
当a=1时，b=2014．
故答案为1，2014．
13．某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：
种子总数
100
400
800
1000
3500
7000
9000
14000
发芽种子数
91
354
716
901
3164
5613
8094
12614
发芽的频率
0.91
0.885
0.895[来源:学科网ZXXK]
0.901
0.904
0.902
0.899
0.901
则该玉米种子发芽的概率估计值为 0.9 （结果精确到0.1）．
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．
【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，
∴该玉米种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9．
14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）
你的计算结果是：出南门 315 步而见木．
【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．
【解答】解：由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，
△ACB∽△DEC，
∴=，即=，
解得，DE=1.05里=315步，
∴走出南门315步恰好能望见这棵树，
故答案为：315．
15．老师在课堂上出了一个问题：若点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．
小明是这样思考的：当k＜0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且﹣2＜1＜4，所以y1＜y2＜y3．
你认为小明的思考 不正确 （填“正确”和“不正确”），理由是 y2＜y3＜y1 ．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数中k=﹣8＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，
∴A在第二象限，点B、C在第四象限，
∴y1＞0，y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故小明的思考不正确，
故答案为：不正确，y2＜y3＜y1．
16．阅读下面材料：[来源:Zxxk.Com]
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．
已知线段a，c如图．
小芸的作法如下：
①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OB长为半径画圆；
③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；
④连接BC，AC．
则Rt△ABC即为所求．
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是 直径所对的圆周角为直角 ．
【分析】根据圆周角定理的推论求解．
【解答】解：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角．
故答案为直径所对的圆周角为直角．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算： cos45°﹣tan30°•sin60°．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：原式=×﹣•
=1﹣
=．
18．解方程：x2﹣3x﹣1=0．
【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．
【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，
∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，
∴x1=，x2=．
19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长．
【分析】求出OD，根据垂径定理得出AB=2AD，根据勾股定理求出AD，即可得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，
∴OA=OC=5，
∵CD=2，
∴OD=5﹣2=3，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AB=2AD，∠ODA=90°，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD===4，
∴AB=2AD=8．
20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵=．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1．
（1）在网格中画出△AB1C1；
（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1即可得到△AB1C1；
（2）点B旋转到B1的过程中所经过的路径为以A为圆心，AB为半径，圆心角为90°的弧，于是根据弧长公式可计算出点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）AB==5，
所以B旋转到B1的过程中所经过的路径长==π．
22．已知二次函数y=2x2﹣8x．
（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；
（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．
【分析】（1）利用配方法即可直接求解；
（2）在解析式中令y=0，求得x即可求得A和B的横坐标；
（3）根据二次函数的平移法则即可直接写出平移后的解析式．
【解答】解：（1）y=2x2﹣8x=2（x2﹣4x+4﹣4）=2（x﹣2）2﹣8；
（2）在y=2x2﹣8x中令y=0，则2x2﹣8x=0，解得：x1=0，x2=4，
则A的坐标是（0，0），B的坐标是（4，0）；
（3）y=2（x﹣2）2﹣8沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位后的解析式是：y=2x2﹣5．
23．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．
[来源:学科网]
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）联立方程，解方程组即可求得B的坐标，设直线与y轴的交点为C（0，2），根据△ABP的面积为6得出PC•|xB|+PC•|xA|=6，求出PC的长，即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数图象过A点，
∴m=1+2，解得m=3，
∴A点坐标为（1，3），
又∵反比例函数图象过A点，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数y=（k≠0）的表达式为y=．
（2）∵，
解得或
∴B（﹣3，﹣1），
设直线与y轴的交点为C（0，2），
∵△ABP的面积为6，
∴PC•|xB|+PC•|xA|=6，
∴PC（1+3）=6，
∴PC=3，
∴P（0，5）或（0，﹣1）．
24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【分析】根据题意和正切的概念分别求出CB、CD的长，计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=45°，
∴AC=BC=100≈141米，
tan∠D=，
∴CD==100≈245米，
∴BD=CD﹣CB=104米，
答：改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD为104米．
25．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠DAC=∠DCE；
（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的长．
【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；
（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．
【解答】解：（1）∵AD是圆O的切线，
∴∠DAB=90°．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠DAC=∠B．
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB．
又∵∠DCE=∠OCB．
∴∠DAC=∠DCE．
（2）∵AB=2，
∴AO=1．
∵sin∠D=，
∴OD=3，DC=2．
在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==2．
∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，
∴△DEC∽△DCA．
∴，即．
解得：DE=．
∴AE=AD﹣DE=．
26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣1
﹣
﹣
3
m
…
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： 该函数没有最大值，也没有最小值 ．
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）x≠1，
故答案为x≠1；
（2）令x=4，
∴y=+4=；
∴m=；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
该函数没有最大值，也没有最小值；
故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C（0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求一次函数y=x+n的表达式；
（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．
【分析】（1）根据A和B对称，可求得对称轴，则b的值即可求得，然后根据函数经过点（0，﹣1），代入即可求得c的值，则抛物线解析式即可求得；
（2）首先求得抛物线的顶点，代入一次函数解析式即可求得n的值，求得一次函数的解析式；
（3）首先求得抛物线上当x=﹣1和x=1时对应点的坐标，然后求得直线y=mx+n经过这两个点时对应的m的值，据此即可求解．
【解答】解：（1）二次函数的对称轴是x==1，
则﹣=1，
解得：b=﹣2，
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣1）．
∴c=﹣1，
则二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣1；
（2）二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标是（1，﹣2），
代入y=x+n得﹣2=1+n，
解得：n=﹣3，
则一次函数y=x+n的表达式是y=x﹣3；
（3）如图所示：
在y=x2﹣2x﹣1中，当x=﹣1时，y=2；
当x=1时，y=﹣2．
当直线y=mx﹣3经过点（﹣1，2）时，﹣m﹣3=2，解得：m=﹣5；
当直线y=mx﹣3经过点（1，﹣2）时，m﹣3=﹣2，解得：m=1．
则当﹣5＜m＜1时，当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方．
28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．
（1）①依题意补全图2；
②求证：AD=BE，且AD⊥BE；
③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；
（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
【分析】（1）①根据旋转的特性画出图象；②由∠ACD、∠BCE均与∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，从而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即证出AD⊥BE；③依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE，BE去表示CM；
（2）根据题意画出图形，比照（1）③的结论，套入数据即可得出结论．
【解答】解：（1）①依照题意补全图2，如下图（一）所示．
②证明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ADC和△BEC中，有，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．
∵点A，D，E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，
∴AD⊥BE．
③依照题意画出图形，如图（二）所示．
∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB，
即AC•BC+BE•CM=AE（CM+BE），
∴AC2﹣AE•BE=CM（AE﹣BE）．
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=2CM，
∴AE﹣BE=2CM，
∴CM=．
（2）依照题意画出图形（三）．
其中AB=，DP=1，BD=AB=
由勾股定理得：BP==3．
结合（1）③的结论可知：
AM===1．
故点A到BP的距离为1．
29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．
（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；
（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．
①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；
②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．
【分析】（1）利用反演点定义，先求出：ON′，OT′，OM′的长度，然后求出它们的坐标；
（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理证明△E′O′G是RT△；
②考虑两种情形，点P在直线AB左右都存在．
【解答】解：（1）∵ON•ON′=1，ON=2，
∴ON′=，∴反演点N′坐标（0，），
∵OM•OM′=1，OM=1，
∴OM′=1
反演点M′坐标（1，0）
∵，
∴，
∵T′在第一象限的角平分线上，
∴反演点T′坐标（1，1）
（2）①由题意：AB=2，r=，
∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G•EG=5，
∴，
∵OG•O′G=5，OG=2，
∴O′G=，
∵E′（﹣，2），O′（，），
∴O′E′=，
∴E′G2=E′O′2+O′G2，
∴∠E′O′G=90°
②如图：∵∠BAP1=∠OBC，∠CAP1+∠CBP1=∠CAB+∠BAP1+∠CBP1=180°，∠OBC+∠CBP1+∠P1BQ1=180°，∠CAB=45°，
∴∠P1BQ1=45°，
∵∠AP1B=∠BP1Q1=90°，
∴△PBQ1是等腰直角三角形，
由△AP1B∽△BOC得到：，
∵，
∴，BQ1=2，Q1（5，0），
∵Q1′G•GQ1=5，
∴Q1′G=，
∵∠P2AB=∠BAP1，
∴P1，P2关于直线AB对称，∵P1（4，1），易知：P2（，﹣），[来源:Zxxk.Com]
∴直线AP2：Y=﹣7X+11，∴Q2（），
由：Q2′G•Q2G=5得到：Q2′G=．
2017-2018学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：
5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（ ）
A． B． C． D．
10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB＞AD＞，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．
13．某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：
种子总数
100
400
800
1000
3500
7000
9000
14000
发芽种子数
91
354
716
901
3164
5613
8094
12614
发芽的频率
0.91
0.885
0.895
0.901
0.904
0.902
0.899
0.901
则该玉米种子发芽的概率估计值为 （结果精确到0.1）．
14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）
你的计算结果是：出南门 步而见木．
15．老师在课堂上出了一个问题：若点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．
小明是这样思考的：当k＜0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且﹣2＜1＜4，所以y1＜y2＜y3．
你认为小明的思考 （填“正确”和“不正确”），理由是 ．
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．
已知线段a，c如图．
小芸的作法如下：
①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OB长为半径画圆；
③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；
④连接BC，AC．
则Rt△ABC即为所求．
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算： cos45°﹣tan30°•sin60°．
18．解方程：x2﹣3x﹣1=0．
19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长．
20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1．
（1）在网格中画出△AB1C1；
（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）
22．已知二次函数y=2x2﹣8x．
（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；
（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．
23．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．
24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
25．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠DAC=∠DCE；
（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的长．
26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣1
﹣
﹣
3
m
…
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： ．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C（0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求一次函数y=x+n的表达式；
（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．
28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．
（1）①依题意补全图2；
②求证：AD=BE，且AD⊥BE；
③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；
（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．
（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；
（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．
①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；
②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．
2017-2018学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y=（x﹣1）2+2，
∴当x=1时，函数有最小值2．
故选D．
2．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．
【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，
故选：D．
3．下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．
【解答】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；
B、主视图是长方形，故B选项错误；
C、主视图是三角形，故C选项正确；
D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；
故选：C．
4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：A．
5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据统计图求出总的水彩笔和蓝色水彩笔的支数，再根据概率公式进行计算即可．[来源:Z+xx+k.Com]
【解答】解：图中共有水彩笔2+3+4+3+6+2=20支，
其中蓝色水彩笔6支，
则抽到蓝色水彩笔的概率为=；
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOC=50°，
∴∠D=∠AOC=25°．
故选A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
由勾股定理，得
BC===4．
cosB==，
故选：B．
8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先设I=，再把点（4，8）代入可得k的值，进而可得函数解析式．
【解答】解：设I=，
∵图象经过点（4，8），
∴8=，
解得：k=32，
∴电流I关于电阻R的函数解析式为I=．
故选：C．
9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠AEH=45°，则∠EAH=45°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=135°，
∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=45°，
∠EAH=45°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=45°，AE=1.3米，
∴EH=AE•sin∠EAH≈1.3×0.7=0.91（米），
∵AB=1.3米，
∴AB+EH≈1.3+0.91=1.92≈2.2米．
故选B．
10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB＞AD＞，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A
【分析】观察图2，发现寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，确定出寻宝者的行进路线即可．
【解答】解：观察图2得：寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，
结合图1得：寻宝者的行进路线可能为O→D→C→B，
故选A．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣4） ．
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．
12．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 1 ，b= 2014 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到a+b﹣2015=0，于是a取1时，计算对应的b的值．
【解答】解：把x=1代入ax2+bx﹣2015=0得a+b﹣2015=0，
当a=1时，b=2014．
故答案为1，2014．
13．某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：
种子总数
100
400
800
1000
3500
7000
9000
14000
发芽种子数
91
354
716
901
3164
5613
8094
12614
发芽的频率
0.91
0.885
0.895[来源:学科网ZXXK]
0.901
0.904
0.902
0.899
0.901
则该玉米种子发芽的概率估计值为 0.9 （结果精确到0.1）．
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．
【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，
∴该玉米种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9．
14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）
你的计算结果是：出南门 315 步而见木．
【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．
【解答】解：由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，
△ACB∽△DEC，
∴=，即=，
解得，DE=1.05里=315步，
∴走出南门315步恰好能望见这棵树，
故答案为：315．
15．老师在课堂上出了一个问题：若点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．
小明是这样思考的：当k＜0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且﹣2＜1＜4，所以y1＜y2＜y3．
你认为小明的思考 不正确 （填“正确”和“不正确”），理由是 y2＜y3＜y1 ．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数中k=﹣8＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，
∴A在第二象限，点B、C在第四象限，
∴y1＞0，y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故小明的思考不正确，
故答案为：不正确，y2＜y3＜y1．
16．阅读下面材料：[来源:Zxxk.Com]
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．
已知线段a，c如图．
小芸的作法如下：
①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OB长为半径画圆；
③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；
④连接BC，AC．
则Rt△ABC即为所求．
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是 直径所对的圆周角为直角 ．
【分析】根据圆周角定理的推论求解．
【解答】解：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角．
故答案为直径所对的圆周角为直角．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算： cos45°﹣tan30°•sin60°．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：原式=×﹣•
=1﹣
=．
18．解方程：x2﹣3x﹣1=0．
【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．
【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，
∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，
∴x1=，x2=．
19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长．
【分析】求出OD，根据垂径定理得出AB=2AD，根据勾股定理求出AD，即可得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，
∴OA=OC=5，
∵CD=2，
∴OD=5﹣2=3，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AB=2AD，∠ODA=90°，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD===4，
∴AB=2AD=8．
20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵=．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1．
（1）在网格中画出△AB1C1；
（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1即可得到△AB1C1；
（2）点B旋转到B1的过程中所经过的路径为以A为圆心，AB为半径，圆心角为90°的弧，于是根据弧长公式可计算出点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）AB==5，
所以B旋转到B1的过程中所经过的路径长==π．
22．已知二次函数y=2x2﹣8x．
（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；
（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．
【分析】（1）利用配方法即可直接求解；
（2）在解析式中令y=0，求得x即可求得A和B的横坐标；
（3）根据二次函数的平移法则即可直接写出平移后的解析式．
【解答】解：（1）y=2x2﹣8x=2（x2﹣4x+4﹣4）=2（x﹣2）2﹣8；
（2）在y=2x2﹣8x中令y=0，则2x2﹣8x=0，解得：x1=0，x2=4，
则A的坐标是（0，0），B的坐标是（4，0）；
（3）y=2（x﹣2）2﹣8沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位后的解析式是：y=2x2﹣5．
23．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．
[来源:学科网]
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）联立方程，解方程组即可求得B的坐标，设直线与y轴的交点为C（0，2），根据△ABP的面积为6得出PC•|xB|+PC•|xA|=6，求出PC的长，即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数图象过A点，
∴m=1+2，解得m=3，
∴A点坐标为（1，3），
又∵反比例函数图象过A点，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数y=（k≠0）的表达式为y=．
（2）∵，
解得或
∴B（﹣3，﹣1），
设直线与y轴的交点为C（0，2），
∵△ABP的面积为6，
∴PC•|xB|+PC•|xA|=6，
∴PC（1+3）=6，
∴PC=3，
∴P（0，5）或（0，﹣1）．
24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【分析】根据题意和正切的概念分别求出CB、CD的长，计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=45°，
∴AC=BC=100≈141米，
tan∠D=，
∴CD==100≈245米，
∴BD=CD﹣CB=104米，
答：改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD为104米．
25．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠DAC=∠DCE；
（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的长．
【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；
（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．
【解答】解：（1）∵AD是圆O的切线，
∴∠DAB=90°．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠DAC=∠B．
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB．
又∵∠DCE=∠OCB．
∴∠DAC=∠DCE．
（2）∵AB=2，
∴AO=1．
∵sin∠D=，
∴OD=3，DC=2．
在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==2．
∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，
∴△DEC∽△DCA．
∴，即．
解得：DE=．
∴AE=AD﹣DE=．
26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣1
﹣
﹣
3
m
…
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： 该函数没有最大值，也没有最小值 ．
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）x≠1，
故答案为x≠1；
（2）令x=4，
∴y=+4=；
∴m=；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
该函数没有最大值，也没有最小值；
故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C（0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求一次函数y=x+n的表达式；
（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．
【分析】（1）根据A和B对称，可求得对称轴，则b的值即可求得，然后根据函数经过点（0，﹣1），代入即可求得c的值，则抛物线解析式即可求得；
（2）首先求得抛物线的顶点，代入一次函数解析式即可求得n的值，求得一次函数的解析式；
（3）首先求得抛物线上当x=﹣1和x=1时对应点的坐标，然后求得直线y=mx+n经过这两个点时对应的m的值，据此即可求解．
【解答】解：（1）二次函数的对称轴是x==1，
则﹣=1，
解得：b=﹣2，
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣1）．
∴c=﹣1，
则二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣1；
（2）二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标是（1，﹣2），
代入y=x+n得﹣2=1+n，
解得：n=﹣3，
则一次函数y=x+n的表达式是y=x﹣3；
（3）如图所示：
在y=x2﹣2x﹣1中，当x=﹣1时，y=2；
当x=1时，y=﹣2．
当直线y=mx﹣3经过点（﹣1，2）时，﹣m﹣3=2，解得：m=﹣5；
当直线y=mx﹣3经过点（1，﹣2）时，m﹣3=﹣2，解得：m=1．
则当﹣5＜m＜1时，当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方．
28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．
（1）①依题意补全图2；
②求证：AD=BE，且AD⊥BE；
③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；
（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
【分析】（1）①根据旋转的特性画出图象；②由∠ACD、∠BCE均与∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，从而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即证出AD⊥BE；③依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE，BE去表示CM；
（2）根据题意画出图形，比照（1）③的结论，套入数据即可得出结论．
【解答】解：（1）①依照题意补全图2，如下图（一）所示．
②证明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ADC和△BEC中，有，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．
∵点A，D，E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，
∴AD⊥BE．
③依照题意画出图形，如图（二）所示．
∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB，
即AC•BC+BE•CM=AE（CM+BE），
∴AC2﹣AE•BE=CM（AE﹣BE）．
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=2CM，
∴AE﹣BE=2CM，
∴CM=．
（2）依照题意画出图形（三）．
其中AB=，DP=1，BD=AB=
由勾股定理得：BP==3．
结合（1）③的结论可知：
AM===1．
故点A到BP的距离为1．
29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．
（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；
（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．
①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；
②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．
【分析】（1）利用反演点定义，先求出：ON′，OT′，OM′的长度，然后求出它们的坐标；
（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理证明△E′O′G是RT△；
②考虑两种情形，点P在直线AB左右都存在．
【解答】解：（1）∵ON•ON′=1，ON=2，
∴ON′=，∴反演点N′坐标（0，），
∵OM•OM′=1，OM=1，
∴OM′=1
反演点M′坐标（1，0）
∵，
∴，
∵T′在第一象限的角平分线上，
∴反演点T′坐标（1，1）
（2）①由题意：AB=2，r=，
∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G•EG=5，
∴，
∵OG•O′G=5，OG=2，
∴O′G=，
∵E′（﹣，2），O′（，），
∴O′E′=，
∴E′G2=E′O′2+O′G2，
∴∠E′O′G=90°
②如图：∵∠BAP1=∠OBC，∠CAP1+∠CBP1=∠CAB+∠BAP1+∠CBP1=180°，∠OBC+∠CBP1+∠P1BQ1=180°，∠CAB=45°，
∴∠P1BQ1=45°，
∵∠AP1B=∠BP1Q1=90°，
∴△PBQ1是等腰直角三角形，
由△AP1B∽△BOC得到：，
∵，
∴，BQ1=2，Q1（5，0），
∵Q1′G•GQ1=5，
∴Q1′G=，
∵∠P2AB=∠BAP1，
∴P1，P2关于直线AB对称，∵P1（4，1），易知：P2（，﹣），[来源:Zxxk.Com]
∴直线AP2：Y=﹣7X+11，∴Q2（），
由：Q2′G•Q2G=5得到：Q2′G=．
相关试卷
2021-2022学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）： 这是一份2021-2022学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了根据这个法则，，求抛物线的表达式；，【答案】A，【答案】C，【答案】B，【答案】D，【答案】向上等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）： 这是一份2021-2022学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共25页。试卷主要包含了60，cs37∘≈0，【答案】C，【答案】B，【答案】6等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）： 这是一份2021-2022学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了求弦CD的长．，【答案】A，【答案】C，【答案】B，【答案】D，【答案】30等内容，欢迎下载使用。
