2022-2023学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（ ）
A．14×10﹣6B．1.4×10﹣5C．1.4×10﹣4D．0.14×10﹣4
3．（2分）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．13cm
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝aD．（2a）3＝6a3
5．（2分）等腰三角形的一个角是80°，它的底角的大小为（ ）
A．80°B．50°C．80°或20°D．80°或50°
6．（2分）若a≠b，则下列分式变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线B．AD＝BD
C．D．
8．（2分）我们在观看台球比赛时，发现选手们常常会用反弹的技巧击打目标球．在此过程中，撞击路线与桌边的夹角等于反射路线与桌边的夹角，如图1，∠1＝∠2．如图2，建立平面直角坐标系xOy，已知A球位于点（1，2）处，B球位于点（6，1）处．现击打A球，使A球向桌边的整点位置（横纵坐标均为整数，球洞位置不可反弹）撞击，若A球最多在台球桌边反弹两次后击中B球，则满足条件的桌边整点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）分式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是 ．
11．（2分）分解因式：m﹣m3＝ ．
12．（2分）如图，已知∠B＝∠D＝90°，请添加一个条件（不添加辅助线） ，使△ABC≌△ADC，依据是 ．
13．（2分）一个多边形每个外角都是30°，这个多边形的边数是 ．
14．（2分）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为 ．
15．（2分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝ ．
16．（2分）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：＝
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当r＝0时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算：＝ ．
三、解答题（本题共68分，第17-18题，每小题5分，第19-24题，每小题5分，第25题7分，第26题8分，第27题7分）
17．（5分）计算：|﹣4|+3﹣2﹣（π﹣2022）0．
18．（5分）计算：（a+5）（a﹣5）﹣3a（a﹣1）．
19．（6分）计算：．
20．（6分）已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE，∠B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
21．（6分）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x＝．
22．（6分）解方程：．
23．（6分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程．
已知：如图1，∠AOB．
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB，且点D在射线OA上．
作法：
①如图2，在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线MN，交OA于点D；
③连接DC．
则∠ADC即为所求作的角．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝ （ ）（填推理的依据）．
∴∠AOB＝∠DCO（ ）（填推理的依据）．
∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
24．（6分）观察下列算式，完成问题：
算式①：42﹣22＝12＝4×3
算式②：62﹣42＝20＝4×5
算式③：82﹣62＝28＝4×7
算式④：102﹣82＝36＝4×9
…
（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤： ；
（2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n和2n+2（n为整数），请证明上述命题成立；
（3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例．
25．（7分）小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如表所示：
（续航里程指车辆在最大的能源储备下可连续行驶的总里程）
（1）表中的新能源车每千米行驶费用为 元（用含a的代数式表示）；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出两款车每千米行驶费用；
（3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，每年行驶里程至少超过 千米时，使用新能源车的年费用更低（年费用＝年行驶费用+年其它费用）．
26．（8分）在△ABC中，∠BAC＝110°，AC＝AB，射线AD，AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连结CG．
（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC的内部．
①设∠BAD＝α，则∠CAG＝ （用含有α的式子表示）；
②作点B关于直线AD的对称点B′，则线段B′G与图1中已有线段 的长度相等；
（2）如图2，射线AE在∠BAC的内部，射线AD在∠BAC的外部，其他条件不变，用等式表示线段BF，BG，CG之间的数量关系，并证明．
27．（7分）在平面中，对于点M，N，P，若∠MPN＝90°，且PM＝PN，则称点P是点M和点N的“垂等点”．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知点M（﹣3，2），点N（1，0），则点P1（0，3），P2（﹣2，﹣1），P3（﹣5，﹣2）中是点M和点N的“垂等点”的是 ；
（2）已知点A（﹣4，0），B（0，b）（b＞0）．
①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点”，写出点C的坐标（用含b的式子表示），并说明理由；
②当b＝4时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重合）．若点F是点D和点E的“垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围．
2022-2023学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（ ）
A．14×10﹣6B．1.4×10﹣5C．1.4×10﹣4D．0.14×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000014用科学记数法表示为1.4×10﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2分）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．13cm
【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，
∴第三边的长度可能是：6cm．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝aD．（2a）3＝6a3
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a+a＝2a，故A不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；
C、a3÷a2＝a，故C符合题意；
D、（2a）3＝8a3，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2分）等腰三角形的一个角是80°，它的底角的大小为（ ）
A．80°B．50°C．80°或20°D．80°或50°
【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角＝×（180°﹣80°）＝50°；
②底角是80°．
所以底角是50°或80°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6．（2分）若a≠b，则下列分式变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：A、≠，故A不符合题意；
B、≠，故B不符合题意；
C、≠，故C不符合题意；
D、＝，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
7．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线B．AD＝BD
C．D．
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；由于∠ABD＝∠CBD＝30°，所以∠ABD＝∠A，则根据等腰三角形的判定方法可对B选项进行判断；根据含30度角的直角三角形三边的关系可对C选项进行判断；由于CD＝＝BD＝AD，则根据三角形面积公式得到＝，则可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得BP平分∠ABC，所以A选项不符合题意；
∵∠C＝90°，∠A＝30°．
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵∠ABD＝∠A，
∴DA＝DB，所以B选项不符合题意；
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
∴CD＝BD，所以C选项不符合题意；
∴CD＝AD，
∴＝＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系．
8．（2分）我们在观看台球比赛时，发现选手们常常会用反弹的技巧击打目标球．在此过程中，撞击路线与桌边的夹角等于反射路线与桌边的夹角，如图1，∠1＝∠2．如图2，建立平面直角坐标系xOy，已知A球位于点（1，2）处，B球位于点（6，1）处．现击打A球，使A球向桌边的整点位置（横纵坐标均为整数，球洞位置不可反弹）撞击，若A球最多在台球桌边反弹两次后击中B球，则满足条件的桌边整点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】A点有（1，2）运动到点（3，4），然后反弹可后击中B球．
【解答】解：如图，球A在桌边P点反弹后击中B球．
故选：A．
【点评】本题考查了生活中的轴对称现象，利用入射角等于反射角画图是解决问题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）分式有意义，则x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，解得x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
11．（2分）分解因式：m﹣m3＝ m（1﹣m）（1+m） ．
【分析】直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝m（1﹣m2）
＝m（1﹣m）（1+m）．
故答案为：m（1﹣m）（1+m）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
12．（2分）如图，已知∠B＝∠D＝90°，请添加一个条件（不添加辅助线） AD＝AB ，使△ABC≌△ADC，依据是 HL ．
【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一条对应边或者另一个对应角相等即可．
【解答】解：添加AD＝AB．理由如下：
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
故答案为：AD＝AB，HL．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．（2分）一个多边形每个外角都是30°，这个多边形的边数是 12 ．
【分析】利用任何多边形的外角和是360°除以外角度数即可求出答案．
【解答】解：多边形的外角的个数是360÷30＝12，所以多边形的边数是12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
14．（2分）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为 a2﹣9＝（a+3）（a﹣3） ．
【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可．
【解答】解：图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣9，
图2拼成的是长为a+3，宽为a﹣3的长方形，因此面积为（a+3）（a﹣3），
因此有a2﹣9＝（a+3）（a﹣3），
故答案为：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
15．（2分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝ 15° ．
【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
16．（2分）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：＝
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当r＝0时，常数p的值为 0 ．
（2）利用欧拉公式计算：＝ 6063 ．
【分析】（1）将r＝0代入，可得++，再通分化简即可求解；
（2）根据所求式子的特点，可知a＝2022，b＝2021，c＝2020，r＝3，再结合公式求解即可．
【解答】解：（1）当r＝0时，
＝++
＝﹣+
＝0，
∴p＝0，
故答案为：0；
（2）当a＝2022，b＝2021，c＝2020，r＝3时，
＝2022+2021+2020＝6063，
故答案为：6063．
【点评】本题考查分式的化简求值，弄清欧拉公式的特点，选取恰当的a、b、c、r的值进行代入是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-18题，每小题5分，第19-24题，每小题5分，第25题7分，第26题8分，第27题7分）
17．（5分）计算：|﹣4|+3﹣2﹣（π﹣2022）0．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：|﹣4|+3﹣2﹣（π﹣2022）0．
＝4+﹣1
＝3+
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（5分）计算：（a+5）（a﹣5）﹣3a（a﹣1）．
【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝a2﹣25﹣3a2+3a
＝﹣2a2+3a﹣25．
【点评】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征以及单项式乘多项式的计算方法是正确解答的前提．
19．（6分）计算：．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（6分）已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE，∠B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
【分析】由条件证得△ABC≌CDE，由全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：∵AB∥EC，
∴∠A＝∠ECA，
在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌CDE（AAS），
∴BC＝DE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应角相等、对应边相等）．
21．（6分）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x＝．
【分析】根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，
＝x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1
＝﹣5x+1
当x＝时，
原式＝﹣5×+1
＝﹣．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式．
22．（6分）解方程：．
【分析】变形后方程两边都乘2（x+1）得出2x+2（x+1）＝5，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
+1＝，
方程两边都乘2（x+1），得2x+2（x+1）＝5，
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（x+1）≠0，
所以x＝是原分式方程的解，
即原分式方程的解是x＝．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
23．（6分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程．
已知：如图1，∠AOB．
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB，且点D在射线OA上．
作法：
①如图2，在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线MN，交OA于点D；
③连接DC．
则∠ADC即为所求作的角．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝ DC （ 线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 ）（填推理的依据）．
∴∠AOB＝∠DCO（ 等边对等角 ）（填推理的依据）．
∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OD＝DC，则根据等腰三角形的性质得到∠O＝∠DCO，然后根据三角形外角性质得到∠ADC＝2∠AOB．
【解答】解：（1）如图，
∠ADC即为所求作：
（2）证明：∵ED是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝DC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
∴∠O＝∠DCO（等边对等角），
∵∠ADC＝∠O+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB，
故答案为：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．（6分）观察下列算式，完成问题：
算式①：42﹣22＝12＝4×3
算式②：62﹣42＝20＝4×5
算式③：82﹣62＝28＝4×7
算式④：102﹣82＝36＝4×9
…
（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤： 122﹣102＝44＝4×11 ；
（2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n和2n+2（n为整数），请证明上述命题成立；
（3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例．
【分析】（1）根据题意即可得出答案；
（2）根据平方差公式（2n+2）2﹣（2n）2＝4（2n+1），即可得出答案；
（3）先设两个连续奇数为2n+1和2n﹣1，再由平方差公式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n＝4×2n，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意，可得算式⑤：122﹣102＝44＝4×11，
故答案为：122﹣102＝44＝4×11；
（2）由题意可得，
（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝（4n+2）×2＝4（2n+1），
∵4（2n+1）能被4整除，且2n+1为奇数，
∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍，成立；
（3）设两个连续奇数为2n+1和2n﹣1，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝4×2n，
∵2n是偶数，
∴任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍，不成立．
例如：72﹣52＝12×2＝24＝4×6，即72﹣52是4的6倍，6是偶数，不是奇数．
【点评】本题考查了命题与定理，因式分解﹣平方差公式的应用，有理数的混合运算，合理应用公式是解决本题的关键．
25．（7分）小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如表所示：
（续航里程指车辆在最大的能源储备下可连续行驶的总里程）
（1）表中的新能源车每千米行驶费用为 元（用含a的代数式表示）；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出两款车每千米行驶费用；
（3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，每年行驶里程至少超过 5000 千米时，使用新能源车的年费用更低（年费用＝年行驶费用+年其它费用）．
【分析】（1）根据表中数据，每千米行驶费用＝电池电量×电价÷续航里程即可求解；
（2）由题意可得，由燃油车的每千米行驶费用﹣新能源车每千米行驶费用＝0.54即可求解；
（3）设每年行驶里程为x千米，根据题意可列出关于x的不等式，求解即可．
【解答】解：（1）根据表格数据可得，
新能源车每千米行驶费用为：
＝（元）；
故答案为：；
（2）∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴＝0.54，
解得：a＝600，
∴＝0.6（元），
＝0.06（元），
∴燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用0.06元；
（3）设每年行驶里程为x千米，
根据题可得，
0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得：x＞5000，
∴每年行驶里程至少超过5000千米时，使用新能源车的年费用更低．
【点评】本题主要考查列代数式、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
26．（8分）在△ABC中，∠BAC＝110°，AC＝AB，射线AD，AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连结CG．
（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC的内部．
①设∠BAD＝α，则∠CAG＝ 55°﹣α （用含有α的式子表示）；
②作点B关于直线AD的对称点B′，则线段B′G与图1中已有线段 CG＝B'G 的长度相等；
（2）如图2，射线AE在∠BAC的内部，射线AD在∠BAC的外部，其他条件不变，用等式表示线段BF，BG，CG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①根据∠BAD+∠CAE＝55°，可求∠CAG＝55°﹣α；
②连接AB'，证明△CAG≌△B'AG（SAS），即可得到CG＝B'G；
（2）作B点关于AD的对称点B'，连接AB'，设∠BAF＝β，证明△CAG≌△B'AG（SAS），即可得CG＝B'G＝2BF+BG．
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝110°，∠DAE＝55°，
∴∠BAD+∠CAE＝55°，
∵∠BAD＝α，
∴∠CAG＝55°﹣α，
故答案为：55°﹣α；
②连接AB'，
由对称性可知，AB＝AB'，∠BAD＝∠B'AD，
∵AB＝AC，
∴AC＝AB'，
∵∠DAG＝55°，∠BAC＝110°，
∴∠BAF+∠CAG＝∠B'AD+∠GAB'，
∴∠CAG＝∠GAB'，
∴△CAG≌△B'AG（SAS），
∴CG＝B'G，
故答案为：CG＝B'G；
（2）CG＝2BF+BG，理由如下：
作B点关于AD的对称点B'，连接AB'，
由对称性可知，AB＝AB'，∠BAD＝∠B'AD，
∵AB＝AC，
∴AC＝AB'，
设∠BAF＝β，
∵∠DAG＝55°，
∴∠BAG＝55°﹣β，
∵∠BAC＝110°，
∴∠CAG＝55°+β，
∵∠GAB'＝55°+β，
∴△CAG≌△B'AG（SAS），
∴CG＝B'G，
∵B'G＝2BF+BG，
∴CG＝2BF+BG．
【点评】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键．
27．（7分）在平面中，对于点M，N，P，若∠MPN＝90°，且PM＝PN，则称点P是点M和点N的“垂等点”．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知点M（﹣3，2），点N（1，0），则点P1（0，3），P2（﹣2，﹣1），P3（﹣5，﹣2）中是点M和点N的“垂等点”的是 P1，P2 ；
（2）已知点A（﹣4，0），B（0，b）（b＞0）．
①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点”，写出点C的坐标（用含b的式子表示），并说明理由；
②当b＝4时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重合）．若点F是点D和点E的“垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围．
【分析】（1）由“垂等点”的定义，通过三角形全等即可解决问题；
（2）①由△CBK≌△BAO（AAS）可得CK＝BO，KB＝AO，即可求出点C的坐标；
②，当D，E分别与A，B重合时，点F是点D和点E的“垂等点”，可求出点F的坐标，即可求出t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：MH＝OP1，∠MHP1＝∠NOP1＝90°，
HP1＝ON，
∴△MHP1≌△P1ON（SAS），
∴MP1＝NP1，∠P1MH＝∠NP1O，
∵P1MH+∠MP1H＝90°，
∴∠NP1O+∠MP1H＝90°，
∴∠MP1N＝90°，
∴点P1是点M和点N的“垂等点”，
同理点P2点M和点N的“垂等点”，
故答案为：P1，P2；
（2）①点C的坐标是（﹣b，b+4），理由如下：
∵在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∵∠CBK+∠ABO＝∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBK＝∠BAO，
∵∠CKB＝∠BOA＝90°，
∴△CBK≌△BAO（AAS），
∴CK＝BO，KB＝AO，
∵点A（﹣4，0），B（0，b）（b＞0），
∴点C的坐标是（﹣b，b+4）；
②当b＝4时，当D，E分别与A，B重合时，点F是点D和点E的“垂等点”，点F是线段AB的垂直平分线上的点，FA＝FB，∠FAB＝90°，显然点F的纵坐标是0或4，
当点F是线段AB的垂直平分线上的点，显然点F的纵坐标是﹣2，2．
∴t的取值范围是﹣2＜t＜4．
【点评】本题考查定义“垂等点”，关键是理解“垂等点”的定义．
燃油车
新能源车
油箱容积：40升
电池电量：60千瓦时
油价：9元/升
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元
每千米行驶费用： 元
燃油车
新能源车
油箱容积：40升
电池电量：60千瓦时
油价：9元/升
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元
每千米行驶费用： 元