2023-2024学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≠0C．x＝0D．x＝2
2．（2分）下面分别是表示“节能”、“可回收”、“低碳”和“绿色食品”的相关标志中的部分图形、其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于0.00000001秒，0.00000001用科学记数法可表示为（ ）
A．0.1×10﹣7B．1×10﹣8C．1×10﹣7D．0.1×10﹣8
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）4＝a8C．a﹣2＝﹣a2D．a3÷a3＝a
5．（2分）利用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）如图，△DEF可以看作是△ABC沿直线BC平移得到的．如果AB＝9，DG＝5，那么线段GE的长是（ ）
A．2.5B．4C．4.5D．5
7．（2分）甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程．若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是（ ）
A．n+（n+5）＝6B．
C．D．
8．（2分）如图，△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点F是线段AB的中点，点D在线段AF上（不与点A，F重合），连接AE，BE．给出下面四个结论：①∠ACD＝∠BCE；②∠ABE＝90°；③DF+BE＝AB；④3BE+2DF＜AE．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（共24分，每题3分）
9．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
10．（3分）分解因式：2m2﹣18＝ ．
11．（3分）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 ．
12．（3分）关于x的二次三项式x2+6x+m是完全平方式，则m的值为 ．
13．（3分）如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝PD．如果∠AOP＝20°，那么∠CPD的度数是 ．
14．（3分）如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若AB＝5，BC＝10，则△DEF的周长是 ．
15．（3分）如图，有边长分别为a，b（a＞b）的A型和B型正方形纸片，长为a，宽为b的C型长方形纸片若干张．1张A型纸片、1张B型纸片和2张C型纸片可以无缝隙，不重叠地拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 （用含a，b的式子表示）．
16．（3分）学校举办新年趣味联欢活动，学生要从贴鼻子、打地鼠、套圈、猜谜语、跳房子这5个项目中，依照个人兴趣，选择3个项目参加活动（每人都只选择3个项目）．已知某小组6名学生选择上述项目的统计结果如下表：
如果a＝3，那么b＝ ；在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中、如果三个项目都选的有1人，只选择贴鼻子、打地鼠的有1人，只选择打地鼠、套圈的有1人，只选择贴鼻子、套圈的有1人，那么b的最小值为 ．
三、解答题（共60分，第17题4分，第18-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-27题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（4分）计算：（﹣π）0+（）﹣1﹣30÷34．
18．（5分）计算：（m+n）2﹣m（m+2n）．
19．（5分）计算：．
20．（5分）解分式方程：．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E在边BC上，BD＝CE．求证：AD＝AE．
22．（5分）已知x﹣2y﹣3＝0．求代数式的值．
23．（5分）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得．
作法：如图2，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA＝ ，PA＝PB，
∴PQ⊥l（ ）（填推理的依据）．
24．（6分）北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌．基地除培育优质稻品种外，会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地．2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息：
根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量．
25．（6分）根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容．
α．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算：24×26＝624，32×38＝1216，47×43＝2021，52×58＝3016；
b．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：算式：① ；
c．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以② 作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位；
d．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律：
如果设一个两位数十位上的数是m（0＜m＜10，且m为整数），个位上的数是n（0＜n＜10，且n为整数），那么这个两位数可以表示为10m+a，则另一个两位数可以表示为③ ，上述规律可以表示为④ （用含m，n的式子表示）；
e．他们尝试对这个规律进行证明：⑤ ．
26．（7分）如图．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD．在线段AB延长线上取一点E，使得CE＝CD，∠E＝α．
（1）求∠ACB的度数（用含α的式子表示）；
（2）延长线段BC至点F，使得CF＝BE，连接FD交AC于点G，依题意补全图形，用等式表示线段CG与CB的数量关系，并证明．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点H（点H的横、纵坐标相等），给出如下定义：l1为过点H（h，h）且与x轴垂直的直线．l2为过点H（h，h）且与y轴垂直的直线，先作点P关于l1的对称点E，再作点E关于l2的对称点P′，则称点P′是点P关于点H（h，h）的“关联点”．
例如：如图，点C（2，1）关于原点O（0，0）的“关联点”是G′（﹣2，﹣1）．
（1）如果点F′（1，2）是点F（﹣3，﹣4）关于点H（h，h）的“关联点”，那么h＝ ；
（2）点A（0，4）关于点H（h，h）的“关联点”为A′，如果△OAA′是以OA为底的等腰三角形，求该三角形的面积；
（3）点B（h，2）关于点H（h，h）的“关联点”为B'，如果以BB'为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出h的取值范围．
2023-2024学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≠0C．x＝0D．x＝2
【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
【解答】解：若代数式有意义，则x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
2．（2分）下面分别是表示“节能”、“可回收”、“低碳”和“绿色食品”的相关标志中的部分图形、其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（2分）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于0.00000001秒，0.00000001用科学记数法可表示为（ ）
A．0.1×10﹣7B．1×10﹣8C．1×10﹣7D．0.1×10﹣8
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000001＝1×10﹣8．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）4＝a8C．a﹣2＝﹣a2D．a3÷a3＝a
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，负整数指数幂的定义以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（a2）4＝a8，故本选项符合题意；
C、a﹣2＝，故本选项不合题意；
D、a3÷a3＝1，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5．（2分）利用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的定义对各选项进行判断．
【解答】解：作△ABC的高，下列作法正确的是．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
6．（2分）如图，△DEF可以看作是△ABC沿直线BC平移得到的．如果AB＝9，DG＝5，那么线段GE的长是（ ）
A．2.5B．4C．4.5D．5
【分析】根据图形平移的性质得出AB＝DE，进而可得出结论．
【解答】解：∵△DEF可以看作是△ABC沿直线BC平移得到的，AB＝9，DG＝5，
∴AB＝DE，
∴GE＝DE﹣DG＝AB﹣DG＝9﹣5＝4．
故选：B．
【点评】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．
7．（2分）甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程．若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是（ ）
A．n+（n+5）＝6B．
C．D．
【分析】利用工作量＝工作效率×工作时间即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，解题的关键是了解“工作量＝工作效率×工作时间”，难度不大．
8．（2分）如图，△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点F是线段AB的中点，点D在线段AF上（不与点A，F重合），连接AE，BE．给出下面四个结论：①∠ACD＝∠BCE；②∠ABE＝90°；③DF+BE＝AB；④3BE+2DF＜AE．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
【分析】利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝45°．
∴∠ACD+∠DCB＝∠BCE+∠BCB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE．
∴①的结论正确；
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE＝45°．
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝45°+45°＝90°，
∴②的结论正确；
∵点F是线段AB的中点，
∴AF＝AB．
∵△ADC≌△BEC，
∴AD＝BE，
∵AF＝AD+DF＝DF+BE，
∴DF+BE＝AB．
∴③的结论正确；
∵AB+BE＞AE，AB＝2AF＝2（AD+DF），
∴2（AD+DF）+BE＞AE，
∴2BE+2DF+BE＞AE，
∴3BE+2DF＞AE．
∴④D结论不正确．
综上，①②③．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和确定对角线的判定定理是解题的关键．
二、填空题（共24分，每题3分）
9．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣1 ．
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【解答】解：由题意可得x+1＝0且x﹣3≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了分式的值是0的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
10．（3分）分解因式：2m2﹣18＝ 2（m+3）（m﹣3） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（3分）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 40°或100° ．
【分析】分两种情况：当40°的内角为顶角时；当40°的角为底角时，利用三角形的内角和结合等腰三角形的性质可计算求解．
【解答】解：当40° 的内角为顶角时，这个等腰三角形的顶角为40°；
当40°的角为底角时，则该等腰三角形的另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为40°或100°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，注意分类讨论．
12．（3分）关于x的二次三项式x2+6x+m是完全平方式，则m的值为 9 ．
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和3，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可．
【解答】解：∵关于x的二次三项式x2+6x+m是完全平方式，且6x＝2•x•3，
∴m＝32＝9．
故答案为：9．
【点评】本题是完全平方公式的运用，要注意：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
13．（3分）如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝PD．如果∠AOP＝20°，那么∠CPD的度数是 140° ．
【分析】由“AAS”可证△PCO≌△PDO，可得∠CPO＝∠DPO＝70°，即可求解．
【解答】解：∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC＝PD，
∴∠AOP＝∠BOP＝20°，
∴∠CPO＝70°，
在△PCO和△PDO中，
，
∴△PCO≌△PDO（AAS），
∴∠CPO＝∠DPO＝70°，
∴∠CPD＝140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14．（3分）如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若AB＝5，BC＝10，则△DEF的周长是 15 ．
【分析】根据矩形和折叠的性质易证△BAF≌△DEF，由全等三角形的性质可得它们周长相等，而两个三角形的周长为矩形的周长，进而可求出△DEF的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝90°，
∵BD为折痕，
∴CD＝DE，∠C＝∠E＝90°，
∴AB＝DE，∠A＝∠E＝90°，
在△BAF和△DEF中，
，
∴△BAF≌△DEF（AAS），
∴AF＝EF，BF＝DF，
∴△DEF的周长＝（AB+BC）＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是据几何图形的特征，通过转化的方法，化复杂为简单．
15．（3分）如图，有边长分别为a，b（a＞b）的A型和B型正方形纸片，长为a，宽为b的C型长方形纸片若干张．1张A型纸片、1张B型纸片和2张C型纸片可以无缝隙，不重叠地拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 a+b （用含a，b的式子表示）．
【分析】根据题意和图形，可以得到拼成的正方形的面积，然后即可得到这个正方形的边长．
【解答】解：由题意可得，
拼成的正方形的面积为：a2+b2+2ab＝（a+b）2，
∴这个正方形的边长为a+b，
故答案为：a+b．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
16．（3分）学校举办新年趣味联欢活动，学生要从贴鼻子、打地鼠、套圈、猜谜语、跳房子这5个项目中，依照个人兴趣，选择3个项目参加活动（每人都只选择3个项目）．已知某小组6名学生选择上述项目的统计结果如下表：
如果a＝3，那么b＝ 4 ；在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中、如果三个项目都选的有1人，只选择贴鼻子、打地鼠的有1人，只选择打地鼠、套圈的有1人，只选择贴鼻子、套圈的有1人，那么b的最小值为 2 ．
【分析】根据6名学生共18人次可得b的值；结合在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中、如果三个项目都选的有1人，只选择贴鼻子、打地鼠的有1人，只选择打地鼠、套圈的有1人，只选择贴鼻子、套圈的有1人，可得b的最小值．
【解答】解：如果a＝3，那么b＝6×3﹣4﹣4﹣3﹣3＝4；
在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中、如果三个项目都选的有1人，只选择贴鼻子、打地鼠的有1人，只选择打地鼠、套圈的有1人，只选择贴鼻子、套圈的有1人，那么这四个人中已经选贴鼻子共3次，打地鼠共3次，套圈共3次，
所以剩余两个中有一人选了贴鼻子和打地鼠，这人第三个项目可以选猜谜语或跳房子，则最后一个人只有跳房子和跳房子两个项目选择，不符合题意；
所以剩余两个中有一个人其中选择了贴鼻子，另一个人选择了打地鼠，猜谜语和跳房子他们都必须选，
所以那么b的最小值为2．
故答案为：4，2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键．
三、解答题（共60分，第17题4分，第18-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-27题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（4分）计算：（﹣π）0+（）﹣1﹣30÷34．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝1+3﹣1×
＝4﹣
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）计算：（m+n）2﹣m（m+2n）．
【分析】利用平方差公式及单项式乘多项式法则计算即可．
【解答】解：原式＝m2+2mn+n2﹣（m2+2mn）
＝m2+2mn+n2﹣m2﹣2mn
＝n2．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．（5分）计算：．
【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝x﹣2．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（5分）解分式方程：．
【分析】先确定最简公分母，然后去分母后即可求解，经检验确定分式方程的解即可．
【解答】解：，
方程两边同乘x（x﹣1）得，
x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝x（x+1），
解得，
检验：当时，x（x﹣1）≠0，即是方程的解，
所以原分式方程的解是．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E在边BC上，BD＝CE．求证：AD＝AE．
【分析】根据等角对等边可得出AB＝AC，再运用SAS证明△ABD≌△ACE，再运用全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，，全等三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相关的性质与定理．
22．（5分）已知x﹣2y﹣3＝0．求代数式的值．
【分析】由已知得出x﹣2y＝3，再把要求的代数式变形为，整体代入求值即可．
【解答】解：∵x﹣2y﹣3＝0，
∴x﹣2y＝3，
∴
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．
23．（5分）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得．
作法：如图2，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA＝ QB ，PA＝PB，
∴PQ⊥l（ 等腰三角形底边上的高与底边的中线互相重合．或：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据垂直平分线的性质即可完成证明．
【解答】解：（1）补全的图形如图所示．
（2）证明：连接QA，QB．
∵QA＝QB，PA＝PB，
∴PQ⊥l（等腰三角形底边上的高与底边的中线互相重合．或：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
故答案为：QB；等腰三角形底边上的高与底边的中线互相重合．或：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
24．（6分）北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌．基地除培育优质稻品种外，会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地．2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息：
根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量．
【分析】设普通水稻平均每亩产量为x吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为1.15x吨，根据A试验田比B试验田少20亩，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设普通水稻平均每亩产量为x吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为1.15x吨，
由题意得：﹣＝20，
解得：x＝0.5，
经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，
∴1.15x＝1.15×0.5＝0.575，
答：粳稻“天隆优717”平均每亩产量为0.575吨．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（6分）根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容．
α．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算：24×26＝624，32×38＝1216，47×43＝2021，52×58＝3016；
b．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：算式：① 34×36＝1224； ；
c．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以② 比它大1的数； 作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位；
d．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律：
如果设一个两位数十位上的数是m（0＜m＜10，且m为整数），个位上的数是n（0＜n＜10，且n为整数），那么这个两位数可以表示为10m+a，则另一个两位数可以表示为③ 10m+10﹣n； ，上述规律可以表示为④ （10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）； （用含m，n的式子表示）；
e．他们尝试对这个规律进行证明：⑤ （10m+n）（10m+10﹣n）
＝100m2+100m﹣10mn+10mn+10n﹣n2
＝100m（m+1）+n（10﹣n） ．
【分析】①通过观察所列算式左边与右边的特征可以得解；
②由①的分析可得解；
③用符号表示出题意对两乘数的特征描述即可；
④用符号表示出已经发现的规律即可；
⑤按照多项式的乘法法则计算可以得解．
【解答】①通过观察，两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘所得积的前两位为乘数十位乘以比它大1的数所得结果，后两位为乘数个位所得积，
所以可举例得：34×36＝1224；
②由①可得答案为：比它大1的数；
③由前所述另一个两位数的十位为m，个位为10﹣n，所以答案为：
10m+10﹣n；
④由前所述答案为：
（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）；
⑤证明：上式左边＝100m2+100m﹣10mn+10mn+10n﹣n2
＝100m（m+1）+n（10﹣n）＝上式右边．
【点评】本题考查多项式乘法与代数式的综合应用，熟练运用字母表示数及掌握多项式的乘法法则是解题关键．
26．（7分）如图．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD．在线段AB延长线上取一点E，使得CE＝CD，∠E＝α．
（1）求∠ACB的度数（用含α的式子表示）；
（2）延长线段BC至点F，使得CF＝BE，连接FD交AC于点G，依题意补全图形，用等式表示线段CG与CB的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据SAS证明△MCD≌△BCE和AAS证明△DGM≌△FGC，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵CE＝CD，∠E＝α，
∴∠EDC＝∠E＝α，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝α，
在△BDC中，∠BCD+∠CDB+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝180°﹣2α，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝180°﹣2α；
（2）画出图形，CG＝CB，
在CA上取一点M，使得CM＝CB，连接DM，
在△EDC中，∠E+∠EDC+∠DCE＝180°，且∠E＝∠EDC＝α，
∴∠DCE＝180°﹣2α，
∵∠ACB＝180°﹣2α，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠MCD＝∠BCE，
∵CD＝CE，
∴△MCD≌△BCE（SAS），
∴MD＝BE，∠MDC＝∠E＝α，
∵CF＝BE，
∴MD＝CF，
∵∠BCD＝α，
∴∠MDC＝∠DCB，
∴DM∥BF，
∴∠MDG＝∠CFG，
∵∠DGM＝∠FGC，
∴△DGM≌△FGC（AAS），
∴MG＝CG，
∴CG＝CM＝CB．
【点评】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形解答．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点H（点H的横、纵坐标相等），给出如下定义：l1为过点H（h，h）且与x轴垂直的直线．l2为过点H（h，h）且与y轴垂直的直线，先作点P关于l1的对称点E，再作点E关于l2的对称点P′，则称点P′是点P关于点H（h，h）的“关联点”．
例如：如图，点C（2，1）关于原点O（0，0）的“关联点”是G′（﹣2，﹣1）．
（1）如果点F′（1，2）是点F（﹣3，﹣4）关于点H（h，h）的“关联点”，那么h＝ ﹣1 ；
（2）点A（0，4）关于点H（h，h）的“关联点”为A′，如果△OAA′是以OA为底的等腰三角形，求该三角形的面积；
（3）点B（h，2）关于点H（h，h）的“关联点”为B'，如果以BB'为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出h的取值范围．
【分析】（1）设点F关于l1对称的点为E，则点F'与点E关于l2对称，据此求出点E的横坐标，然后根据对称性即可求出h的值；
（2）设点A关于l1对称的点为E，则点A'与点E关于l2对称，先求出点E的纵坐标，当△OAA′是以OA为底的等腰三角形时，点A'在线段OA的垂直平分线上，据此求出点A'的纵坐标，然后根据对称性求出h，求出点A'到OA的距离即可求出△OAA′的面积；
（3）分两种情况进行分析：①h＜2和h＞2，根据等腰直角三角形的性质和具体要求进行讨论即可求出h的取值范围．
【解答】解：（1）设点F关于l1对称的点为E，
则点F'与点E关于l2对称，
∴点E的横坐标与点F'的横坐标相同，等于1，
∵点F的横坐标为﹣3，
∴h＝（﹣3+1）÷2＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（2）设点A关于l1对称的点为E，
∵点A（0，4），
∴点E的坐标为（2h，4），
∵△OAA′是以OA为底的等腰三角形，
∴点A'在OA的垂直平分线上，
∴点A'的纵坐标为（0+4）÷2＝2，
∴点A'的坐标为（2h，2），
∵点A'与点E关于l2对称，
∴h＝（2+4）÷2＝3，
∴点A'到OA的距离＝2h＝6，
∴S△OAA′＝×4×6＝12；
（3）①当h＜2时，点B（h，2）关于直线l1对称的点是点B本身，
点B关于直线l2对称的点为B'，
则点B到直线l2的距离为2﹣h，
∴BB'＝4﹣2h，
∴点B'坐标为（h，2h﹣2），
∵以BB'为边的等腰直角三角形只在第一象限内，
∴2h﹣2＞0，
解得：h＞1，
当BB'为等腰直角三角形的底边时，2﹣h＜h，
解得：h＞1，
当BB'为等腰直角三角形的腰时，4﹣2h＜h，
解得：h＞，
∴当h＜2时h的取值范围为＜h＜2；
②当h＞2时，点B（h，2）关于直线l1对称的点是点B本身，
点B关于直线l2对称的点为B'，
则点B到直线l2的距离为h﹣2，
∴BB'＝2h﹣4，
∴点B'坐标为（h，2h﹣2），
∵以BB'为边的等腰直角三角形只在第一象限内，
当BB'为等腰直角三角形的腰时，2h﹣4＜h，
解得：h＜4，
∴当h＞2时h的取值范围为2＜h＜4；
综上所述，以BB'为边的等腰直角三角形只在第一象限内时h的取值范围为：＜h＜2或2＜h＜4．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，点的对称性以及新定义等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．项目
贴鼻子
打地鼠
套圈
猜谜语
跳房子
选择人数
4
4
3
a
b
信息一：基地有A、B两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，A试验田比B试验田少20亩；
信息二：A试验田总产量为10吨，B试验田总产量为23吨；
信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍．
项目
贴鼻子
打地鼠
套圈
猜谜语
跳房子
选择人数
4
4
3
a
b
信息一：基地有A、B两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，A试验田比B试验田少20亩；
信息二：A试验田总产量为10吨，B试验田总产量为23吨；
信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍．