2022-2023学年北京三十五中项目班八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京三十五中项目班八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（ ）
A．调查本校七年级（1）班学生每天完成数学作业所用的时间
B．调查全市中学生对电影《长津湖之水门桥》的喜爱程度
C．调查“神舟十四号”运载火箭发射前零部件质量状况
D．调查某封控区全体人员核酸检测情况
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．225B．200C．150D．无法计算
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝2，DA＝，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．2B．C．D．
4．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．13B．19C．25D．169
5．2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了2020年北京市居民人均可支配收入．下面是小明同学根据2016﹣2020年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．
根据统计图提供的信息，下面四个判断中合理的是（ ）
A．2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16004元
B．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入有增有降
C．2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为8.9%
D．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长率最大的年份是2020
6．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西30°B．南偏西30°C．南偏东60°D．南偏西60°
二、填空题（共4个小题，请将正确答案填写在答题卡相应位置处。）
7．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是 ．
8．某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，已知参加人数最少的小组有50人，则参加人数最多的小组人数为 ．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为 ．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′，如果点B′落在直角边AC的中点上，则CE的长为 ．
三、解答题
11．如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1
（1）分别求出线段AB、CD的长度；
（2）在图中画线段EF、使得EF的长为，以AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
12．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
13．观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？第n组呢？
第1组：3＝2×1+14＝2×1×（1+1）5＝2×1×（1+1）+1
第2组：5＝2×2+112＝2×2×（2+1）13＝2×2×（2+1）+1
第3组：7＝2×3+124＝2×3×（3+1）25＝2×3×（3+1）+1
第4组：9＝2×4+140＝2×4×（4+1）41＝2×4×（4+1）+1
…
第7组：abc
14．为了解某校学生在五一假期阅读的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得他们的阅读时间（单位：h），并对数据（时间）进行整理、描述．给出了部分信息：图1是阅读时间频数分布直方图（数据分成5组：2≤t＜4，4≤t＜6，6≤t＜8，8≤t＜10，10≤t≤12），图2是阅读时间扇形统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ；
（2）补全图1；
（3）图2中，2≤t＜4所在的扇形的圆心角的度数是 ；
（4）已知该校共有1800名学生，估计该校学生在五一假期阅读时间不少于6h的人数．
15．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作AM⊥CP于点M，过点B作BN⊥CP于点N．
（1）求证：CM＝BN；
（2）取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明．
2022-2023学年北京三十五中项目班八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6个小题，每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）
1．下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（ ）
A．调查本校七年级（1）班学生每天完成数学作业所用的时间
B．调查全市中学生对电影《长津湖之水门桥》的喜爱程度
C．调查“神舟十四号”运载火箭发射前零部件质量状况
D．调查某封控区全体人员核酸检测情况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．
【解答】解：A．调查本校七年级（1）班学生每天完成数学作业所用的时间，适合全面调查，故选项不符合题意；
B．调查全市中学生对电影《长津湖之水门桥》的喜爱程度，适合抽样调查，故选项符合题意；
C．调查“神舟十四号”运载火箭发射前零部件质量状况，适合全面调查，故选项不符合题意；
D．调查某封控区全体人员核酸检测情况，适合全面调查，故选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．225B．200C．150D．无法计算
【分析】根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝152＝225，从而得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝2，DA＝，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ACD中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，两直角三角形面积之和即为四边形ABCD的面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝1，
根据勾股定理得：AC＝＝，
在△ACD中，CD＝2，AD＝，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
则S＝S△ABC+S△ACD＝×1×1+×2×＝+．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
4．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．13B．19C．25D．169
【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：c2＝a2+b2＝13，4×ab＝13﹣1＝12，即2ab＝12，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5．2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了2020年北京市居民人均可支配收入．下面是小明同学根据2016﹣2020年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．
根据统计图提供的信息，下面四个判断中合理的是（ ）
A．2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16004元
B．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入有增有降
C．2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为8.9%
D．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长率最大的年份是2020
【分析】根据统计图中给出的数据对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了69434﹣52530＝16904（元），原叙述错误，故本选项不合题意；
B、2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入逐年增长，原叙述错误，故本选项不合题意；
C、2017年北京市居民人均可支配收入的增长率×100%≈8.9%，正确，故本选项符合题意；
D、2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长幅度最大的年份是2019年，原叙述错误，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．
6．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西30°B．南偏西30°C．南偏东60°D．南偏西60°
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【解答】解：甲的路程：40×15＝600m，
乙的路程：20×40＝800m，
∵6002+8002＝10002，
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
∵甲客轮沿着北偏东30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
二、填空题（共4个小题，请将正确答案填写在答题卡相应位置处。）
7．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是 4或 ．
【分析】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．
【解答】解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长＝＝4，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；
当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长＝＝，三角形的边长分别为3，5，亦能构成三角形；
综合以上两种情况，第三边的长应为4或．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
8．某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，已知参加人数最少的小组有50人，则参加人数最多的小组人数为 90 ．
【分析】根据参加足球的人数除以参加足球人数所占的百分比，可得参加兴趣小组的总人数，参加兴趣小组的总人数乘以参加乒乓球所占的百分比可得答案．
【解答】解：∵总人数为＝200人，
∴参加人数最多的小组人数为（1﹣30%﹣25%）×200＝90人，
故答案为：90．
【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为 ．
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．
【解答】解：AC＝＝＝，
则AM＝，
∵A点表示﹣1，
∴M点表示﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′，如果点B′落在直角边AC的中点上，则CE的长为 ．
【分析】设CE＝x，则BE＝8﹣x，根据折叠的性质，利用勾股定理即可得答案．
【解答】解：因为点B'是AC的中点，
所以CB'＝AC＝3，
设CE＝x，则BE＝8﹣x，
由题意得B′E＝BE＝8﹣x，
由勾股定理得x2+32＝（8﹣x）2，
解得x＝，
即CE的长为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键．
三、解答题
11．如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1
（1）分别求出线段AB、CD的长度；
（2）在图中画线段EF、使得EF的长为，以AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB、CD的长即可；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可作出判断．
【解答】解：（1）AB＝＝；CD＝＝2．
（2）如图，EF＝＝，
∵CD2+EF2＝8+5＝13，AB2＝13，
∴CD2+EF2＝AB2，
∴以AB、CD、EF三条线可以组成直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键．
12．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
【分析】连接AC，由已知和等腰三角形的性质可知∠BAC＝45°，在△DAC中利用勾股定理的逆定理可∠DAC＝90°，从而求出∠DAB的度数．
【解答】解：连接AC．
设DA＝k，则AB＝2k，BC＝2k，CD＝3k．
∵∠B＝90°，AB：BC＝2：2，
∴∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝4k2+4k2＝8k2，
∵（3k）2﹣k2＝8k2，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及勾股定理的逆定理的应用．本题将∠DAB分成∠BAC，∠DAC是解题的关键．
13．观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？第n组呢？
第1组：3＝2×1+14＝2×1×（1+1）5＝2×1×（1+1）+1
第2组：5＝2×2+112＝2×2×（2+1）13＝2×2×（2+1）+1
第3组：7＝2×3+124＝2×3×（3+1）25＝2×3×（3+1）+1
第4组：9＝2×4+140＝2×4×（4+1）41＝2×4×（4+1）+1
…
第7组：abc
【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数及第n组勾股数．
【解答】解：∵第一组：3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1，
第二组：5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1，
第三组：7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，
第四组：9＝2×4+1，40＝2×4×（4+1）41＝2×4×（4+1）+1，
∴第七组勾股数是a＝2×7+1＝15，b＝2×7×（7+1）＝112，c＝2×7×（7+1）+1＝113，即15，112，113；
第n组勾股数是2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．
【点评】此题考查的是勾股数，关键是通过观察找出规律求解．
14．为了解某校学生在五一假期阅读的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得他们的阅读时间（单位：h），并对数据（时间）进行整理、描述．给出了部分信息：图1是阅读时间频数分布直方图（数据分成5组：2≤t＜4，4≤t＜6，6≤t＜8，8≤t＜10，10≤t≤12），图2是阅读时间扇形统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 96 ；
（2）补全图1；
（3）图2中，2≤t＜4所在的扇形的圆心角的度数是 30° ；
（4）已知该校共有1800名学生，估计该校学生在五一假期阅读时间不少于6h的人数．
【分析】（1）由4≤t＜6的人数及其所占百分比可得样本容量；
（2）根据各组人数之和等于总人数求解可得8≤t＜10的人数；
（3）用360°乘以2≤t＜4人数所占比例即可；
（4）用总人数乘以样本中阅读时间不少于6h的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是24÷25%＝96，
故答案为：96；
（2）8≤t＜10的人数为96﹣（8+10+24+30）＝24（人），
补全图形如下：
（3）2≤t＜4所在的扇形的圆心角的度数是360°×＝30°，
故答案为：30°；
（4）1800×＝1200（名），
答：估计该校学生在五一假期阅读时间不少于6h的人数为1200名．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作AM⊥CP于点M，过点B作BN⊥CP于点N．
（1）求证：CM＝BN；
（2）取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意补全图形，证明△ACM≌△CBN（AAS），由全等三角形的性质可得出CM＝BN．
（2）连接OC，证明△OCM≌△OBN（SAS），由全等三角形的性质可得出OM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，由等腰直角三角形的性质得出MN＝OM，则可得出结论．
【解答】解：（1）补全图形如图，
证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
∴∠ACM+∠CAM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，
∴∠CAM＝∠BCN，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN．
（2）依题意补全图形如图，
结论：AM﹣BN＝OM．
证明：连接OC，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，
∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°，
∵△ACM≌△CBN，
∴AM＝CN，∠OCM+∠ACO＝∠CBO+∠OBN，
∴∠OCM＝∠OBN，
∵CM＝BN，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，
∵∠COM+∠MOB＝90°，
∴∠BON+∠MOB＝90°，
∴∠MON＝90°，
∴MN＝OM，
∴AM＝CN＝CM+MN＝BN+OM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．