2022-2023学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．2，5，8C．5，5，10D．1，6，7
2．（3分）利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为0.000 004 6m，将0.000 004 6用科学记数法表示应为（ ）
A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．0.46×10﹣6D．4.6×10﹣6
3．（3分）下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．长方形D．正五边形
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a＝2aB．（a2）3＝a6C．（ab）2＝ab2D．a8÷a2＝a4
5．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，若AD＝3，S△ABC＝6，则BE的长为（ ）
A．1B．C．2D．4
6．（3分）正六边形的每个内角的度数为（ ）
A．60°B．108°C．120°D．150°
7．（3分）如图AB＝AC，下列条件①∠B＝∠C；②∠AEB＝∠ADC；③AE＝AD；④BE＝CD中，若只添加一个条件就可以证明△ABE≌△ACD，则所有正确条件的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③④
8．（3分）如图，O是射线CB上一点，∠AOB＝60°，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度运动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s），当△POQ是等腰三角形时，t的值为（ ）
A．2B．2或6C．4或6D．2或4或6
二、填空题（共24分，每小题3分）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ．
10．（3分）我国平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105t煤所产生的能量，北京陆地面积约是1.6×104km2，则在北京陆地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 t煤所产生的能量．
11．（3分）计算：a2b•ab﹣1＝ ．
12．（3分）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ ．
13．（3分）分解因式：2x2﹣8y2＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB＝BD＝CD，则∠C＝ °．
15．（3分）图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式： ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为 ．
三、解答题（共52分，第17-25题，每小题5分，第26题7分）
17．（5分）计算：x（x+4y）﹣（x﹣y）2．
18．（5分）如图，AB＝CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AB∥CD．
19．（5分）先化简，再求值：，其中a＝．
20．（5分）解方程＝+．
21．（5分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC，△EFD的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系xOy，使△ABC与△EFD关于y轴对称，点B的坐标为（﹣4，2）．
（1）在图中画出平面直角坐标系xOy；
（2）①写出点B关于x轴的对称点B1的坐标；
②画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，其中点A的对称点是A1，点C的对称点是C1．
22．（5分）阅读下面材料：
直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法．
完成下面问题：
（1）请证明方法一中的OC是∠AOB的平分线；
（2）直接写出方法二中的OC是∠AOB的平分线的依据．
23．（5分）列分式方程解应用题．
磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为30km，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的6.25倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求该磁悬浮列车的平均速度．
24．（5分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
（1）图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：5×19﹣4×20＝ ，2×16﹣1×17＝ ，不难发现，结果都等于 ．（请完成填空）
（2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
（3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数a＝ ．
25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），过点（﹣1，0）作x轴的垂线l，点A关于直线l的对称点为B．
（1）点B的坐标为 ；
（2）已知点C（﹣3，﹣2），点D（1，﹣2），在图中描出点B，C，D，顺次连接点A，B，C，D．
①在四边形ABCD内部有一点P，满足S△PAD＝S△PBC且S△PAB＝S△PCD，则此时点P的坐标为 ，S△PAB＝ ；
②在四边形ABCD外部是否存在点Q，满足S△QAD＝S△QBC且S△QAB＝S△QCD，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（7分）在△ABC中，AC＝BC，0°＜∠ACB＜120°，CD是AB边的中线，E是BC边上一点，∠EAB＝∠BCD，AE交CD于点F．
（1）如图①，判断△CFE的形状并证明；
（2）如图②，∠ACB＝90°，
①补全图形；
②用等式表示CA，CD，CF之间的数量关系并证明．
2022-2023学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共24分，每小题3分）
1．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．2，5，8C．5，5，10D．1，6，7
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．
【解答】解：A、3+4＞5，故能构成三角形，故此选项符合题意；
B、2+5＜8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C、5+5＝10，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
D、1+6＝7，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三角形三边关系定理是解题的关键．
2．（3分）利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为0.000 004 6m，将0.000 004 6用科学记数法表示应为（ ）
A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．0.46×10﹣6D．4.6×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 004 6＝4.6×10﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．长方形D．正五边形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：等腰三角形只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴，长方形有两条对称轴，正五边形有五条对称轴．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a＝2aB．（a2）3＝a6C．（ab）2＝ab2D．a8÷a2＝a4
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a＝a3，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B符合题意；
C、（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；
D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，若AD＝3，S△ABC＝6，则BE的长为（ ）
A．1B．C．2D．4
【分析】利用三角形的面积公式可求出BC＝4，然后再利用三角形的中线定义即可解答．
【解答】解：∵AD⊥BC，AD＝3，S△ABC＝6，
∴BC•AD＝6，
∴BC•3＝6，
∴BC＝4，
∵AE是BC边上的中线，
∴BE＝BC＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
6．（3分）正六边形的每个内角的度数为（ ）
A．60°B．108°C．120°D．150°
【分析】多边形的外角和等于360°，正多边形的每个内角，每个外角相等；每个内角，每个外角互为补角，由此即可求解．
【解答】解：∵正六边形的每个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角的度数为180°﹣60°＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的外角和等于360°．
7．（3分）如图AB＝AC，下列条件①∠B＝∠C；②∠AEB＝∠ADC；③AE＝AD；④BE＝CD中，若只添加一个条件就可以证明△ABE≌△ACD，则所有正确条件的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③④
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：添加的条件为①②③，
理由是：∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△ACD，
∠AEB＝∠ADC，∠A＝∠A，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△ACD，
AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△ACD，
BE＝CD，AB＝AC，∠A＝∠A，不符合全等三角形的判定，不能推出△ABE≌△ACD，
即能证明△ABE≌△ACD的序号是①②③，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
8．（3分）如图，O是射线CB上一点，∠AOB＝60°，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度运动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s），当△POQ是等腰三角形时，t的值为（ ）
A．2B．2或6C．4或6D．2或4或6
【分析】分点P在线段CO上、点P在射线OB上两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意得：CP＝2tcm，OQ＝tcm，
则当点P在线段CO上时，OP＝（6﹣2t）cm，当点P在射线OB上时，OP＝（2t﹣6）cm，
当点P在线段CO上，OP＝OQ时，6﹣2t＝t，
解得：t＝2，
点P在射线OB上，OP＝OQ时，2t﹣6＝t，
解得：t＝6，
如图，点P在射线OB上，QO＝PQ时，过点P作PH⊥OP于H，
则OH＝OP＝（2t﹣6）＝t﹣3，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OQH＝30°，
∴OQ＝2OH，
∴t＝2（t﹣3），
解得：t＝6，
综上所述：当△POQ是等腰三角形时，t的值为2或6，
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
二、填空题（共24分，每小题3分）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 x≠3 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案是：x≠3．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
10．（3分）我国平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105t煤所产生的能量，北京陆地面积约是1.6×104km2，则在北京陆地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 2.08×109 t煤所产生的能量．
【分析】首先根据题意列出代数式为1.3×105×1.6×104，然后根据同底数幂的乘法进行计算即可．
【解答】解：由题意可得：1.3×105×1.6×104＝2.08×109（t），
答：在北京陆地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧2.08×109t煤所产生的能量．
故答案为：2.08×109．
【点评】本题考查了列代数式及同底数幂的乘法法则，熟记同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．
11．（3分）计算：a2b•ab﹣1＝ a3 ．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【解答】解：a2b•ab﹣1＝a3．
故答案为：a3．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12．（3分）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 360° ．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
故答案为：360°．
【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
13．（3分）分解因式：2x2﹣8y2＝ 2（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】观察原式2x2﹣8y2，找到公因式2，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：2x2﹣8y2＝2（x2﹣4y2）＝2（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（平方差公式）．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB＝BD＝CD，则∠C＝ 36 °．
【分析】设∠C＝α，根据角平分线定义得出∠ABD＝∠C＝α．根据等边对等角以及三角形外角的性质得出∠CBD＝∠C＝α，∠ADB＝∠CBD+∠C＝2α，∠A＝∠ADB＝2α．然后在△ABD中，利用三内角和为180°列出方程α+2α+2α＝180°，求出α即可．
【解答】解：设∠C＝α，则∠ABD＝∠C＝α．
∵BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C＝α，
∴∠ADB＝∠CBD+∠C＝2α．
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝2α．
在△ABD中，∵∠ABD+∠A+∠ADB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠C＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，设∠C＝α，利用α表示∠ABD，∠A，∠ADB是解题的关键．
15．（3分）图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式： （a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq（答案不唯一） ．
【分析】根据图形列出算式即可．
【解答】解：根据题意得：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq（答案不唯一）．
故答案为：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq（答案不唯一）．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握运算法则是关键．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为 4 ．
【分析】先构造矩形，再证明线段相等，再根据两点之间线段最短求解．
【解答】解：如图：
构造矩形ACBF，连接DF，EF，CF交AB于点O，
则OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF，
∵AD＝BF，
∴OD＝OE，
∴四边形CEFD为平行四边形，
∴DF＝CE，
∴CD+CE＝CD+DF≥CF，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴CD+CE≥4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了最短路径问题，转换思想是解题的关键．
三、解答题（共52分，第17-25题，每小题5分，第26题7分）
17．（5分）计算：x（x+4y）﹣（x﹣y）2．
【分析】直接利用单项式乘多项式以及完全平方公式化简，进而合并同类项得出答案．
【解答】解：原式＝x2+4xy﹣（x2﹣2xy+y2）
＝x2+4xy﹣x2+2xy﹣y2
＝6xy﹣y2．
【点评】此题主要考查了单项式乘多项式以及完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（5分）如图，AB＝CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AB∥CD．
【分析】（1）由AF＝CE可得AE＝CF，利用HL可证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由HL证明三角形全等是解决问题的关键．
19．（5分）先化简，再求值：，其中a＝．
【分析】先算除法，再算加法，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝+•（a﹣2）
＝+
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝3．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（5分）解方程＝+．
【分析】变形后方程两边都乘4（x﹣1）得出x＝8+3（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：＝+，
＝+，
方程两边都乘4（x﹣1），得x＝8+3（x﹣1），
解得：x＝﹣2.5，
检验：当x＝﹣2.5时，4（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣2.5是原分式方程的解，
即原分式方程的解是x＝﹣2.5．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
21．（5分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC，△EFD的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系xOy，使△ABC与△EFD关于y轴对称，点B的坐标为（﹣4，2）．
（1）在图中画出平面直角坐标系xOy；
（2）①写出点B关于x轴的对称点B1的坐标；
②画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，其中点A的对称点是A1，点C的对称点是C1．
【分析】（1）根据点不对坐标解决问题即可；
（2）①利用轴对称变换的性质解决问题即可；
②根据轴对称变换的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系即为所求；
（2）①如图，B1（﹣4，﹣2）；
②如图，△A1B1C1即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（5分）阅读下面材料：
直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法．
完成下面问题：
（1）请证明方法一中的OC是∠AOB的平分线；
（2）直接写出方法二中的OC是∠AOB的平分线的依据．
【分析】（1）根据全等三角形 的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据全等三角形 的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，
在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC为∠AOB的平分线；
（2）在Rt△OMC和Rt△ONC中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△ONC（HL），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC为∠AOB的平分线；
故方法二中的OC是∠AOB的平分线的依据是角平分线的判定．
【点评】本题考查了角平分线的判定和全等三角形的判定和性质的应用，关键是正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定方法．
23．（5分）列分式方程解应用题．
磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为30km，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的6.25倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求该磁悬浮列车的平均速度．
【分析】设地铁的平均速度为x千米/小时，则磁悬浮列车的平均速度为6.25x千米/小时，由题意：A，B两站之间的距离为30km，乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设地铁的平均速度为x千米/小时，则磁悬浮列车的平均速度为6.25x千米/小时，
由题意得：﹣＝，
解得：x＝36，
经检验，x＝36是原方程的解，且符合题意，
则6.25x＝6.25×36＝225，
答：磁悬浮列车的平均速度为225千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（5分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
（1）图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：5×19﹣4×20＝ 15 ，2×16﹣1×17＝ 15 ，不难发现，结果都等于 15 ．（请完成填空）
（2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
（3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数a＝ 11 ．
【分析】（1）两式计算得到结果，归纳总结即可得到结果；
（2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为x﹣8，x﹣7，x+7，x+8，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可证明；
（3）中间位置上的数为a，则最小的数为a﹣8，最大的数为a+8，根据题意列出关系式，即可求解．
【解答】（1）解：5×19﹣4×20＝15，2×16﹣1×17＝15，不难发现，结果都是：15；
故答案为：15，15，15；
（2）证明：设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为x﹣8，x﹣7，x+7，x+8，
由题意得，
（x﹣7）（x+7）﹣（x﹣8）（x+8）
＝（x2﹣49）﹣（x2﹣64）
＝x2﹣49﹣x2+64
＝15；
（3）解：中间位置上的数为a，则最小的数为a﹣8，最大的数为a+8，
由题意得，
（a﹣8）（a+8）＝57，
a2﹣64＝57，
a2＝121，
a＝11或﹣11（负值舍去），
∴a＝11，
故答案为：11．
【点评】此题考查了列代数式，整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），过点（﹣1，0）作x轴的垂线l，点A关于直线l的对称点为B．
（1）点B的坐标为 （﹣2，2） ；
（2）已知点C（﹣3，﹣2），点D（1，﹣2），在图中描出点B，C，D，顺次连接点A，B，C，D．
①在四边形ABCD内部有一点P，满足S△PAD＝S△PBC且S△PAB＝S△PCD，则此时点P的坐标为 （﹣1，﹣） ，S△PAB＝ ；
②在四边形ABCD外部是否存在点Q，满足S△QAD＝S△QBC且S△QAB＝S△QCD，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先作轴对称，再写坐标；
（2）先描点，再连线；
①根据三角形的面积公式求解；
②根据三角形的面积公式求解；
【解答】解：（1）B（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）；
（2）如图：
①∵S△PAD＝S△PBC且S△PAB＝S△PCD，BC＝AD，CD＝2AB，
∴点P在直线l上，且到AB的距离是到CD距离的2倍，
∵P在四边形ABCD的内部，
∴2﹣×（2+2）＝﹣，
∴P（﹣1，﹣）；
S△PAB＝×2×（2+）＝，
故答案为：（﹣1，﹣），
②∵S△PAD＝S△PBC且S△PAB＝S△PCD，BC＝AD，CD＝2AB，
∴点P在直线l上，且到AB的距离是到CD距离的2倍，
∴Q在四边形ABCD的外部，
∴﹣2﹣（2+2）＝﹣6，
∴Q（﹣1，﹣6）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
26．（7分）在△ABC中，AC＝BC，0°＜∠ACB＜120°，CD是AB边的中线，E是BC边上一点，∠EAB＝∠BCD，AE交CD于点F．
（1）如图①，判断△CFE的形状并证明；
（2）如图②，∠ACB＝90°，
①补全图形；
②用等式表示CA，CD，CF之间的数量关系并证明．
【分析】（1）设∠EAB＝α，得出∠CFE＝90°﹣α，再表示出∠B＝90°﹣2α，进而得出∠CFE＝∠CEF，即可得出结论；
（2）①根据要求补全图形即可；
②2CD＝AC+CF；先判断出AB＝2CD，BH＝EH，再判断出△AEC≌△AEH（AAS），得出AC＝AH，CE＝EH，借助（1）的结论，即可得出结论．
【解答】解：（1）△CEF是等腰三角形，
证明：∵AC＝BC，CD是AB边的中线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ADC＝90°，
设∠EAB＝α，
∴∠CFE＝∠AFD＝90°﹣∠EAB＝90°﹣α，
∵∠EAB＝∠BCD，
∴∠BCD＝2∠EAB＝2α，
∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣2α，
∴∠CEF＝∠EAB+∠B＝α+90°﹣2α＝90°﹣α，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）①补全图形如图②所示，
②2CD＝AC+CF；
证明：如图③，
在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
过点E作EH⊥AB于H，
∴∠BHE＝90°，
∴∠BEH＝45°＝∠B，
∴BH＝EH，
在Rt△ABC中，AC＝BC，CD是AB边的中线，
∴AB＝2CD，∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠EAB＝∠BCD＝22.5°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝22.5°＝∠EAB，
∵∠ACB＝∠AHE＝90°，
∵AE＝AE，
∴△AEC≌△AEH（AAS），
∴AC＝AH，CE＝EH，
由（1）知，CE＝CF，
∴CF＝BH，
∴AB＝AH+BH＝AC+CF，
∴2CD＝AC+CF．方法一利用直尺和圆规作角的平分线．
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：如图①，
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
方法二利用三角板画角的平分线．
画已知∠AOB的平分线．
画法：
（1）将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在∠AOB的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M，N；较长的两条直角边在∠AOB的内部相交于点C，且CM＝CN．
（2）画射线OC，射线OC即为所求．
方法一利用直尺和圆规作角的平分线．
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：如图①，
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
方法二利用三角板画角的平分线．
画已知∠AOB的平分线．
画法：
（1）将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在∠AOB的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M，N；较长的两条直角边在∠AOB的内部相交于点C，且CM＝CN．
（2）画射线OC，射线OC即为所求．