初中数学浙教版（2024）七年级下册（2024）平行线的判定课时训练

这是一份初中数学浙教版（2024）七年级下册（2024）平行线的判定课时训练，文件包含专题12平行线的判定八大题型举一反三浙教版2024原卷版docx、专题12平行线的判定八大题型举一反三浙教版2024解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc25500" 【题型1 平行线】 PAGEREF _Tc25500 \h 1
\l "_Tc26181" 【题型2 平行公理及其推论】 PAGEREF _Tc26181 \h 3
\l "_Tc8289" 【题型3 添加条件使两直线平行】 PAGEREF _Tc8289 \h 6
\l "_Tc14389" 【题型4 补充过程使两直线平行】 PAGEREF _Tc14389 \h 8
\l "_Tc14580" 【题型5 直接证明两直线平行】 PAGEREF _Tc14580 \h 12
\l "_Tc19957" 【题型6 旋转使两直线平行】 PAGEREF _Tc19957 \h 14
\l "_Tc14696" 【题型7 平行线的判定的应用】 PAGEREF _Tc14696 \h 17
\l "_Tc26398" 【题型8 作辅助线证平行】 PAGEREF _Tc26398 \h 20
知识点1：平行线
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”
【题型1 平行线】
【例1】（23-24七年级·吉林延边·期中）如图，在6×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作．
(1)过点A作BC的平行线．
(2)过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作平行线．熟练掌握作平行线是解题的关键．
（1）过A作水平线AE即可；
（2）格点C向上2个格点，向左2个格点为D，连接CD即可．
【详解】（1）解：过A作水平线AE，如图1，AE∥BC，AE即为所作；
图1
（2）解：如图2，格点C向上2个格点，向左2个格点为D，连接CD，CD∥AB，点D即为所作；
图2
【变式1-1】（2023七年级·浙江·专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线．
【答案】平行
【分析】根据平行线的定义，进行判断即可．
【详解】解：由平行线的定义可知，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条平行直线，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系．熟练掌握同一平面内，不相交的两条直线是平行线，是解题的关键．
【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）在同一平面内有三条不同的直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则a与b的位置关系为（ ）
A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果．
【详解】∵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
∴ a∥b，
故选：C．
【变式1-3】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线和相交线．从平行线的角度考虑，先考虑二条直线都平行，再考虑三条、四条、五条平行，
【详解】解∶这9条直线的位置关系为∶两两相交或平行，
有两种情况，分别如下∶
知识点2：平行公理及其推论
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线平行于第三条直线,那么这两条直线也平行
【题型2 平行公理及其推论】
【方法技巧】（1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性,平行公理的推论体现了平行线的传递性,它们都可以作为以后推理的依据.（2）平行公理中强调“经过直线外一点”,而垂线性质中只要求“经过一点”,不限定点是否在直线上.
【例2】（23-24七年级·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ）
过点P画与直线l垂直的直线 过点P画与直线l相交的直线 过点P画与l平行的直线
① ② ③
A．①②③B．②③C．①②D．①③
【答案】D
【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答．
【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线；
在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线；
在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线；
故选：D．
【变式2-1】（23-24七年级·全国·阶段练习）下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b,b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a⊥c
【答案】A
【分析】根据每个选项的描述，画出图形，进行判断即可．
【详解】解：根据每个选项的描述，画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行，是解题的关键．采用数形结合的思想可以快速解题.
【变式2-2】（23-24七年级·浙江·课后作业）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线m平行的，只能是一条，
图中共计4条直线，则与直线m相交的直线至少有3条．
故选：C．
【变式2-3】（23-24七年级·广东深圳·期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，AB∥CD，AB∥EO，经测量发现∠1=106°，则∠2的度数是 度．
【答案】74
【分析】本题考查邻补角的定义，平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据邻补角的定义求出∠OCD，再根据平行公理的推论得出EO∥CD，最后平行线的性质得到∠2=∠OCD，即可求解．
【详解】解：∵∠1=106°，
∴∠OCD=180°−∠1=74°
∵AB∥CD，AB∥EO，
∴EO∥CD
∴∠2=∠OCD=74°
故答案为：74．
知识点3：平行线的判定
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型3 添加条件使两直线平行】
【例3】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，已知AB∥HI，下列条件：①∠B+∠6=180°；②∠B+∠4=180°；③∠B=∠7；④∠B=∠3．其中能判断BC∥EF的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定方法逐项分析即可．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
【详解】解：∵AB∥HI，
∴∠B=∠3=∠1，
①∵∠B+∠6=180°，则∠3+∠6=180°，
∴BC∥EF，故符合题意；
②∠B+∠4=180°，无法判断BC∥EF，故不符合题意；
③∵∠B=∠7，∠B=∠3，
∴∠3=∠7，
∴BC∥EF，故符合题意；
④∠B=∠3，无法判断BC∥EF，故不符合题意；
综上，①③都能判定BC∥EF，
故选：B．
【变式3-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）．
【答案】∠BCD=∠CBE（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，根据内错角相等，两直线平行，即可求解．
【详解】解：∵∠BCD=∠CBE，
∴AB∥DC．
故答案为：∠BCD=∠CBE（答案不唯一）．
【变式3-2】（23-24七年级·四川阿坝·期末）如图，下列条件中，能判断直线AB∥CD的是（ ）
A．∠2=∠3B．∠1=∠4
C．∠BAD=∠BCD D．∠1+∠2=180°
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次分析并判断．
【详解】解：∵∠2=∠3，∴AD∥BC，故A选项不符合题意；
∵∠1=∠4，∴AB∥CD，故B选项符合题意；
由∠BAD=∠BCD，不能证明哪两条直线平行，故C选项不符合题意；
由∠1+∠2=180°不能证明哪两条直线平行，故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-3】（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，下列条件．①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°中，能判断直线 l1∥l2的有 ．（填序号即可）
【答案】①③④
【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定进行判断即可．
【详解】①∵∠1=∠3，
∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），
②∠2=∠3不能判断l1∥l2；
③∵∠4=∠5，
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行），
④∵∠2+∠4=180°，
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：①③④
【题型4 补充过程使两直线平行】
【例4】（23-24七年级·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE平分∠ABC，试说明：DF∥AB．
解：因为BE平分∠ABC，
所以 （ ）
又因为∠E=∠1（ 已 知 ） ，
所以∠E=∠2（等量代换） ．
所以 （ ），
所以∠A+∠ABC=180°（ ）．
又因为∠3+∠ABC=180°（ 已 知 ） ，
所以 （ ），
所以DF∥AB（ ）
【答案】∠1=∠2，角平分线的定义；AE∥BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠3=∠A；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可．
【详解】解：因为BE平分∠ABC，
所以∠1=∠2（角平分线的定义），
又因为∠E=∠1（ 已 知 ） ，
所以∠E=∠2（等量代换） ．
所以AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
所以∠A+∠ABC=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
又因为∠3+∠ABC=180°（ 已 知 ） ，
所以∠3=∠A（同角的补角相等），
所以DF∥AB（ 同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠1=∠2，角平分线的定义；AE∥BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠3=∠A；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．
【变式4-1】（23-24七年级·四川泸州·期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD
请将下面的推理过程补充完整．
证明：∵BE⊥FD（已知），
∴∠EGD=90°（ ），
∴∠1+ =90°，
又∵∠2和∠D互余（已知），
∴∠2+∠D= ，
∴∠1= （ ），
∵∠C=∠1（已知），
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD（ ，两直线平行）．
【答案】垂直的定义；∠D；90°；∠2；同角的余角相等；内错角相等
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．由BE⊥FD，∠2和∠D互余，利用垂直的定义和同角的余角相等得到∠1=∠2，再由∠C=∠1，可得∠C=∠2，利用内错角相等两直线平行即可得证．
【详解】证明：∵BE⊥FD（已知），
∴∠EGD=90°（垂直的定义），
∴∠1+∠D=90°，
又∵∠2和∠D互余（已知），
∴∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等），
∵∠C=∠1（已知），
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；∠D；90°；∠2；同角的余角相等；内错角相等．
【变式4-2】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）．
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）．
∴∠4＝60°（ ）．
又∵∠1＝60°（ ），
∴∠1＝∠4（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】已知；垂直定义；已知；60°；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】要证AB∥CD，只需证∠1＝∠4，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得∠4＝60°，故本题得证．
【详解】解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义）．
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°．
∴∠4＝60°（对顶角相等）．
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
【变式4-3】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F．
求证：CE∥DF．
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC=12∠__________，∠ECB=12∠__________．（ ）
又∵∠ABC=∠ACB，（已知）
∴∠__________=∠__________．（等量代换）
又∵∠DBF=∠F，（已知）
∴∠__________=∠__________．（等量代换）
∴CE∥DF．（__________）
【答案】ABC；ACB；角平分线的定义；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定，根据角平分线的定义得∠DBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，进而可证∠DBC=∠ECB，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB（角平分线的定义），
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠ECB（等量代换），
又∵∠DBF=∠F，
∴∠ECB=∠F（等量代换），
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为： ABC；ACB；角平分线的定义；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，两直线平行．
【题型5 直接证明两直线平行】
【方法技巧】（1）已知角相等导角证平行.（2）通过角的数量关系证平行.（3）通过同角(等角)的余角相等,对顶角相等,角平分线得等角,再证平行.
【例5】（23-24七年级·陕西延安·期末）如图，已知∠B=46°，EF交AB于点D，DG平分∠ADE，∠ADG=67°，求证：BC∥EF．

【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到∠ADE=2∠ADG=134°，再由平角的定义得到∠ADF=∠B=46°，则可由同位角相等，两直线平行证明BC∥EF．
【详解】证明：∵DG平分∠ADE，∠ADG=67°，
∴∠ADE=2∠ADG=134°，
∴∠ADF=180°−∠ADE=46°，
∵∠B=46°，
∴∠ADF=∠B=46°，
∴BC∥EF．
【变式5-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，试确定直线DF与AE的位置关系，并说明理由．
【答案】DF∥AE，理由见解析
【分析】本题考查垂直的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．先通过垂直和已知条件得到∠3=∠4，即可判定得出两直线平行．
【详解】解：DF∥AE，理由如下：
∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA=∠DAB=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠CDA−∠2=∠DAB−∠1，
即∠3=∠4，
∴DF∥AE．
【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：如图，∠A=∠C,∠BED+∠EBC=180°，求证：AB∥CD．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据已知得DE∥BC，从而利用平行线的性质可得∠C+∠D=180°，然后利用等量代换可得∠A+∠D=180°，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得ABCD，即可解答．
【详解】证明：∵∠BED+∠EBC=180°，
∴DE∥BC，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=180°，
∴AB∥CD．
【变式5-3】（23-24七年级·甘肃武威·期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF．
(1)求证：OC⊥OD；
(2)若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定：
（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证；
（2）根据同角的余角相等，得到∠D=∠DOB，即可得证．
【详解】（1）证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，
∴∠COF=12∠AOF,∠DOF=12∠BOF，
∵∠AOF+∠BOF=180°，
∴∠COF+∠DOF=12∠AOF+12∠BOF=90°，
即：∠COD=90°，
∴OC⊥OD；
（2）证明：∵∠COD=90°，
∴∠1+∠DOB=90°，
又∵∠D+∠1=90°，
∴∠D=∠DOB，
∴ED∥AB．
【题型6 旋转使两直线平行】
【例6】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，a,b,c三根木棒钉在一起，交点分别为A,B,∠1=70°，∠2=100°．现将木棒a,b分别绕点A,B顺时针旋转，同时开始，速度分别为12°/s和2°/s，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒a,b平行．

【答案】3s或21s或75s或165
【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．
设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当0