长乐一中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份长乐一中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了若，则的最小值为，给出下列命题错误的是，已知，，且，则.，/2.6，已知，等内容，欢迎下载使用。
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题答案
二、多项选择题
三、填空题
13. 14. 0 15. 16.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，，
则，.故选：D.
2．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，，，得，，
设是平面的一个法向量，
则即,
取，则，故，
则与共线的向量也是法向量，
经验证，只有A正确.故选：A．
3．在四面体中，，点在上，且,为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】点在线段上，且，为中点，
，，
．故选：B．
4. 已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】B
【解析】由题意可得：直线的斜率，直线的斜率，
∵，则与垂直.故选：B.

5.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【解析】向量是不共面的三个向量，
对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底；
对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底；
对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底；
对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，
整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.故选：C
6直线l过(0,-1)与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】直线l过点.
如图，由题意，直线与线段总有公共点，
即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，
直线的斜率为，直线的斜率分别为，
于是或，
而，因此或，
即k的取值范围是.故选：D.
7.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中错误的是（ ）

A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
【答案】C
【解析】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，
，设，，
所以，所以，A选项正确.
点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
要使平面，平面，
则，解得，
所以存在点，使平面，B选项正确.
若直线与直线所成角为，
则，
，无解，所以C选项错误.故选：ABD
8．若，则的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】B
【解析】题干中代数式的几何意义是空间中任意一点分别到点、、，的距离之和，如图所示，四边形是一个矩形，
易知，
当点位于矩形的中心时，其距离之和最小，
且最小值为矩形的对角线长之和，而，
所以代数式的最小值为.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．若直线与直线的斜率相等，则
C．的斜率为2，经过点，则⊥
D．过点且倾斜角为90°的直线方程为x=5
【答案】AD
【解析】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，A正确；
对于B，直线l1与l2斜率相等时，l1∥l2或l1与l2重合，∴B错误；
对于C的斜率为，由，所以不成立，故C错误
D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为x=5，D选项正确. 故选：AD
10．给出下列命题错误的是（ ）
A．若直线，则两直线的斜率相等
B．若a⋅b>0，则a,b是锐角；
C．若a是直线l的方向向量，则λaλ≠0也是l的方向向量；
D．a，b，c满足a//b，b//c，则a//c．
【答案】ABD
解析 A若直线，可能斜率都不存在，故A错误
a,b是锐角或0，故B错误
正确
b可能为；零向量，故D错误
11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AB
【解析】A项，因为，，即，且直线，不重合，所以，故A项正确；
B项，因为，，即，
所以，所以，故B项正确；
C项，因为，，即，
所以，所以，故C项错误；
D项，因为，，即，
所以，所以，故D项错误.故选：AB.
12.【答案】AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．
【详解】设点，因为点、，且，
即，所以，，解得，
故点的坐标为.
故答案为：.
14．已知，，且，则.
【答案】
【解析】，，
而，故
即，解得，
故答案为：
15．/2.6
【详解】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以直线的方向向量为，而，
所以点B到直线的距离.
故答案为：
16．
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023秋·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）已知，．
（1）求；
（2）当时，求实数的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）已知，，
则，，，
所以；
（2）因为，
所以，
解得或．
18．已知直线l1经过，直线l2经过点.
（1）若l1∥l2，求m的值；
（2）若l1⊥l2，求m的值.
【答案】（1）＝1或＝6；（2）＝3或＝－4
【解析】（1）由题知直线l2的斜率存在且，
若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，
得，解得m＝1或m＝6，
经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2
（2）若l1⊥l2，当k2＝0时，
此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；
当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，
则直线l1的斜率也存在，且k1k2＝－1，
即，解得m＝3或m＝－4，
所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2
19.如图，已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥BD，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点．

(1)记用表示；
(2)求异面直线AF和CE所成角的余弦值．
【答案】(1)(2)
【详解】
（1）因为F是CD的中点，
所以，
因为点E是AB的中点．
所以；
（2）因为和都是边长为2的正三角形
，
因为BC⊥BD，
所以，
因为，所以，即，
所以，
又，
，
所以设所求角为θ，则．
20．如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．
（1）求证：平面ABC；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图，连接．因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，所以．
又因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面ABC．
（2）由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点，
分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
不妨设，由题可知，，，，．
由，可得．
设平面的法向量为，
而，，则有,
取，得．
设平面的法向量为，
而，，
则有，
取，得．
设平面与平面夹角为，
则，所以，
即平面与平面夹角的正弦值为．
21.【详解】（1）取的中点，连接，，，
所以且，且，
所以且，
∴四边形为平行四边形，可知，
平面，平面，
∴平面.
（2）设，如图建立空间直角坐标系,

则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，由及，
即，则，
设平面的法向量为，
由及，即，则，
设二面角为，所以，
即，解得或（舍去），
所以.

22．（2022秋·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，直线与平面所成角的正弦值为
【解析】（1）在图①中，连接，交于，
四边形是边长为的菱形，，
，；
在图②中，相交直线均与垂直，
是二面角的平面角，
，，，，
平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图②所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，，
设，，
则，
设平面的一个法向量，
则，令，解得：，，；
点到平面的距离，解得：或（舍），
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
B
B
C
D
C
B
9
10
11
12
AD
ABD
AB
AC