福建省晋江市毓英中学高一下学期期中检测数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省晋江市毓英中学高一下学期期中检测数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（三角函数、平面向量、解三角形和复数）
“考试时间120分钟，试卷满分值150分 命卷：吴拓磊 审核：李福安”
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数运算得出，再应用模长公式计算求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，所以，
故选:D．
2. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的模与数量积的关系结合向量模长的坐标运算可得，从而根据投影向量的定义运算得答案.
【详解】因为，
所以，则，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C.
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两角和与差的余弦公式结合同角三角函数的基本关系，可求值.
【详解】因为；
又.
所以，.
所以.
故选：B
4. 如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ）
A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
【答案】B
【解析】
【分析】设米，结合已知条件得，，再应用余弦定理计算求解即可.
【详解】设米，在中，，则，
在中，，则，
因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得（米）.
故选：B
5. 中，若非零向量与满足，，则为（ ）
A. 等腰直角三角形B. 三边均不相等的直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用和都为单位向量，得到，再利用，得到，判断即可．
【详解】和都为单位向量，垂直平分，故，
，，
为等腰直角三角形．
故选：A．
6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理边角互化以及和差角公式可得，即可求解.
【详解】由可得,
由于，
故，
故，
由于中，，故，
，故，
故选：D
7. 在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将、向量都用、表示出来，再利用平面向量基本定理列方程组可求的取值.
【详解】因为、、三点共线，点是中点，所以,
又因为是上靠近点三等分点，所以,
且因为，则,
即,消可解得.
故选：.
8. 已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，再结合正弦函数图像及对称性求解即可.
【详解】，则，即，
即
∵，∴
令，则，
函数在上的图象如下图所示，

由图可知，与共有5个交点，
所以：
其中，
即，，
解得，
所以.
故选：C.
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项特合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得都分分，有选错的得0分）
9. 在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是直角三角形
D. 若锐角三角形，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角形的基本性质及正弦定理，二倍角公式，正弦函数的单调性，逐项分析得出结果即可．
【详解】对于A，根据正弦定理，由可得，大边对大角，所以.故A正确；
对于B，根据正弦定理，由可得，即，
则或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故B错误；
对于C，，则或，即或，
所以是直角三角形或钝角三角形，故C错误；
对于D，若为锐角三角形，则，即，
因为函数在上单调递增，所以，即，故D正确.
故选：AD.
10. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
【答案】ABC
【解析】
【分析】通过图像可以确定函数的周期和值，然后利用特定定确定值，最后根据正弦函数的性质和图像变换，逐项判断即可.
【详解】对于选项A：由题意可得，故，则，故A正确；
根据图像，可得，
即，解得，又，即，
所以，
对于选项B：当时，有，
故的图象关于点对称，故B正确；
对于选项C：令，则，
当时，，
而在单调递增，故C正确；
对于选项D：将函数的图象向由右平移个单位得到
，故D错误.
故选：ABC.
11. 如图，在长方形中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 对任意，不成立D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】先建立直角坐标系，再设点E的坐标分别计算向量判断A，根据数量积判断C，应用夹角公式判断B，结合基本不等式计算判断D.
【详解】
以分别为轴建立直角坐标系，则，设
又因为，则，所以，所以，
对于A：当时，，，A选项正确；
对于B:当时，，所以，所以，B选项错误；
对于C：当时，，所以，C选项错误；
对于D：，
所以，所以，，
所以，对称轴为时单调递增，
所以，D选项正确；
故选：AD.
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题设条件，可得且 ，解之即得.
【详解】设为与的夹角，则，
因为为锐角，所以，解得，且，
所以的取值范围是．
故答案为：.
13. 复数满足，则的最大值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值.
【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
的几何意义为所对应的点到点的距离，
因为，
所以的最大值为.
故答案为：
14. 在三角形中，已知，为三角形外接圆上一点（按逆时针方向排列），则四边形面积的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理及正弦定理求出，将问题转化为求面积的最大值，利用余弦定理及基本不等式求解.
【详解】由余弦定理可得，
,
所以，
所以，所以，
所以，，
在中，
,
即，所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以四边形面积，
所以当，即为 中点时，四边形面积最大值.
故答案为：
四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设复数，.
（1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
（2）若是纯虚数，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再由复数对应的点在实轴上，求出的值，从而可求出；
（2）先化简，再由为纯虚数可求出实数值.
【小问1详解】
因为复数，，
所以，
因为复数对应的点在实轴上，
所以，得，所以，
所以；
【小问2详解】
因为复数，，
所以
，
因为为纯虚数，所以，解得.
16. 在中，．若，
（1）求面积的最大值；
（2）求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式求出，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解；
（2）结合（1）及基本不等式求出的范围，即可得解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得：，
则，
所以，
所以，
因为为的内角，所以，所以.
又，所以.
由余弦定理，即．
因为，当且仅当时取“”，
所以．
所以．
当为等边三角形时，面积取得最大值为．
【小问2详解】
因为，
且，当且仅当时取“”，
所以，
又，所以，
所以，
所以周长的取值范围为.
17. 已知向量，函数.
（1）求的最小正周期T；
（2）求函数在的单调增区间；
（3）求函数在的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标运算以及二倍角公式、辅助角公式化简，再利用周期公式即可求出；
（2）先求范围，再结合正弦函数图象得，即可求单增区间；
（3）由的范围，再结合正弦函数图象得的范围，即可求值域.
【小问1详解】
依题意，函数
，
故最小正周期.
【小问2详解】
因为，则，
结合正弦函数图象，令，得，
所以的单调增区间为.
【小问3详解】
由（2）知，，
结合正弦函数图象得，，
则，
所以在的值域为.
18. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
（3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据边角互化，结合三角恒等变换可得，
（2）选择①，利用等面积法以及余弦定理即可求解值，即可根据面积公式求解，选择②，利用向量的模长公式以及余弦定理可得的值，即可根据面积公式求解，
（3）根据正弦定理可得外接圆半径，即可根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可结合三角函数的性质求解的范围，即可利用三角形面积公式求解.
【小问1详解】
在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
【小问2详解】
若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
【小问3详解】
由正弦定理得，
故
,
由于为锐角三角形，故,故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题.
（1）已知向量满足，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
（3）已知向量，求的最小值.
【答案】（1）2 （2）7
（3）16
【解析】
【分析】（1）借助新定义计算即可得；
（2）借助所给定义及三角函数间得关系，计算可得，代入数据计算可得；
（3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得.
【小问1详解】
由已知，得，
设的夹角为，由，可得，即，
又，所以，
所以；
【小问2详解】
设，则，，
设的夹角为，则，
，
所以，
又，
所以.
【小问3详解】
由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是16.