福建省泉州市晋江市毓英中学2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份福建省泉州市晋江市毓英中学2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足(z+2)i=1−2i，则|z|=( )
A. 5B. 2 3C. 15D. 17
2.已知向量a，b满足|a|=1，b=(1,2)，|a−b|= 7，则向量a在向量b方向上的投影向量为( )
A. (110,15)B. (15,25)C. (−110,−15)D. (−15,−25)
3.已知cs(α+β)=12，tanαtanβ=−15，则cs(α−β)=( )
A. −13B. 13C. −14D. 14
4.如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB=50米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°，∠ADB=30°，则灵运塔的高度CD是( )
A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
5.在△ABC中，若非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，AB⋅AC=0，则△ABC为( )
A. 三边均不相等的三角形B. 等腰直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形D. 等边三角形
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2acs(C−π3)，则sin2A1+cs2A=( )
A. 23B. 2C. 3D. 33
7.在△ABC中，点P是AB上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又CM=tCP，则t=( )
A. 12
B. 23
C. 34
D. −12
8.已知函数f(x)=12sin(2x+π6)，记方程f(x)=16在x∈[π6,19π8]上的根从小到大依次为x1，x2，⋯，xn，则x1+2x2+2x3+⋯+2xn−1+xn的值为( )
A. 29π3B. 32π3C. 34π3D. 37π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若acsA=bcsB，则△ABC是等腰三角形
C. 若sinA=csB，则△ABC是直角三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|π2−B，结合正弦函数在锐角范围是增函数，
可得sinA>sin(π2−B)=csB，故D项正确．
故选：AD．
根据正弦定理，结合三角形中“大边对大角”判断出A项的正误；通过举反例，结合锐角三角函数的定义加以推理，可判断出B、C两项的正误；根据锐角三角形的性质，结合正弦函数的单调性与诱导公式加以计算，即可判断出D项的正误．
本题主要考查正弦定理、三角函数的图象与性质、锐角三角形的性质等知识，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A：由题意可得T4=7π12−π3=π4，
故T=π，
则ω=2ππ=2,f(7π12)=sin(2×7π12+φ)=−1，
即7π6+φ=−π2+2kπ(k∈Z)，解得φ=−5π3+2kπ，k∈Z，
又|φ|−203．
检验：当a与b共线同向时，csθ=1>0不符合题意，
由a=(λ,4)，b=(3,5)，可知此时b=54a，结合54λ=3，解得λ=125．
所以当λ>−203且λ≠125时，a与b的夹角为锐角．
综上所述，实数λ的取值范围是(−203,125)∪(125,+∞)．
故答案为：(−203,125)∪(125,+∞)．
根据向量a与b的夹角为锐角，可得a⋅b>0，由此算出λ>−203，然后根据向量共线的条件加以检验，可得实数λ的取值范围．
本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、两个向量共线的条件等知识，属于基础题．
13.【答案】 5
【解析】解：复数z满足|z|=1，
则|z−2−i|≤|z|+|−2−i|=1+ 5，
故|z−2−i|的最大值为 5．
故答案为： 5．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模的公式，属于基础题．
14.【答案】3 34
【解析】解：因为AB=1，BC=2，∠ABC=π3，
由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcsπ3=1+4−2×1×2×12=3，
即AC= 3，
△ACD中，若AC边上的高最大，面积最大，
结合圆的性质可得，D为AC的中点时，高最大，此时AD=CD=1，∠ADC=120°，
此时AC边上的高为 1−( 32)2=12，
所以△ACD的最大面积为12×12× 3= 34，
则四边形ABCD面积的最大值为 34+12×1×2× 32=3 34．
故答案为：3 34．
由已知结合余弦定理先求出AC，然后结合圆的性质及三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
15.【答案】3−i；
2．
【解析】解：(1)复数z1=1−ai(a∈R)，z2=2+i，
则z1+z2=3+(1−a)i，
复数z1+z2对应的点在实轴上，
则1−a=0，解得a=1，
故z1z2=(1−i)(2+i)=3−i；
(2)z1z2=1−ai2+i=(1−ai)(2−i)(2+i)(2−i)=2−a5−2a+15i为纯虚数，
则2−a5=0−2a+15≠0，解得a=2．
(1)结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解；
(2)结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】4 3；
(8,12]．
【解析】解：(1)因为a=ccsB+12b，利用正弦定理，可得：
sinA=sinC⋅csB+12sinB⇒sin(B+C)=sinC⋅csB+12sinB，
所以sinBcsC+csBsinC=csBsinC+12sinB⇒sinBcsC=12sinB，
因为B为△ABC的内角，所以sinB≠0，所以csC=12，
又C∈(0,π)，所以C=π3，
在△ABC中，C=π3,c=4，
由余弦定理：c2=a2+b2−2abcsC⇒16=a2+b2−ab，
因为a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取“=“，
所以16=a2+b2−ab≥ab，
所以S△ABC=12absinC≤12×16× 32=4 3，
所以当△ABC为等边三角形时，面积取得最大值为4 3；
(2)16=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab⇒3ab=(a+b)2−16，且ab≤(a+b)24，
当且仅当a=b时取“=”，
所以3ab=(a+b)2−16≤3(a+b)24⇒(a+b)2≤64，
所以40，所以2sinC=sinA+2sinBcsA，
所以2sin(A+B)=sinA+2sinBcsA，
所以2sinAcsB+2csAsinB=sinA+2sinBcsA，
所以2sinAcsB=sinA，所以sinA(2csB−1)=0(sinA>0)，
所以csB=12，又因为B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)选①：由BD平分∠ABC得：S△ABC=S△ABD+S△BCD，
所以12acsinπ3=12×3asinπ6+12×3csinπ6，即ac= 3(a+c)，
在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsπ3，即a2+c2−ac=12，
联立ac= 3(a+c)a2+c2−ac=12，得(ac)2−9ac=36，解得ac=12，
所以S△ABC=12acsinB=12×12× 32=3 3；
选②：因为D为线段AC的中点，所以BD=12(BA+BC)，
所以BD2=14(BA+BC)2=14(BA2+2BA⋅BC+BC2)，
所以a2+c2+ac=36，
在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsπ3，即a2+c2−ac=12，
联立a2+c2+ac=36a2+c2−ac=12，得ac=12，
所以S△ABC=12acsinB=12×12× 32=3 3．
(3)由正弦定理得：2R=bsinB= 3 32=2，
所以ac=4R2sinAsinC=4sinAsinC=2[cs(A−C)−cs(A+C)]
=2cs[A−(π−A−B)]−2cs(π−B)
=−2cs(2A+π3)+1，
因为△ABC为锐角三角形，所以0