《一线三等证全等》精选典型题训练2025-2026人教版八年级上学期数学期末复习

这是一份《一线三等证全等》精选典型题训练2025-2026人教版八年级上学期数学期末复习，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．如图，小明用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙AD,CE，两堵木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点B 在DE上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合．若两堵木块墙的高度关系为AD=2CE,DE=36cm，则AD= cm．
二、解答题
2．学完等腰直角三角形后，小葱归纳了等腰直角三角形的两种常见题型的特征和解法.
题型①：斜中和三线合一的组合.已知特点：等腰直角三角形+斜边中点：图形特征：如图1，解题方法是连结斜边中线.
题型②： “K”型全等.已知特点： 如图2， AB=AC， ∠BAC=90°； 图形特征： 如图2， 解题方法是构造内“K”或外“K”全等，或者一内一外的“K”型全等.
请借鉴以上方法，解决下列问题：
（1）如图3，在Rt△ABC中，AC=BC=4，点D为AB中点，点E在边AC上，连结DE，作DF⊥DE交BC于点 F， 连结EF， 若CE=1， 则EF= ； DE= .
（2） 如图4， 在△ABC中， ∠ACB=90°， AB=5， 点D是BC边上一点， BD=AC=3， 连结AD， 将AD 绕点 D 逆时针旋转90°到 ED处， 连结 CE， 求CE 的长.
3．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图2，若BC交x轴于点M，过C点作CD⊥BC交y轴于D点．求证：BC−CD=MC；
（3）如图3，若点A是x轴负半轴上的一个点，坐标为−m,0，点B是y轴正半轴上的一个点，坐标为0,n，以OB为直角边在第二象限作等腰直角△OBE，连接CE交y轴于P点，求点P的坐标（用含m，n的式子表示）
4．如图1，在平面直角坐标系中，点Aa,0，C0,c满足a+2c+c2−6c+9=0，点B在第四象限，∠ACB=90°，AC=BC．
（1）a=______，c=______，OA=______；
（2）求点B的坐标；
（3）如图2，点M为点C上方的y轴上一点，以点C为直角顶点作等腰Rt△CMN，CM=CN，点N在点C的右侧，连BN交x轴于点E，若CE=5，求AM的长．
5．羊羊同学对教材中用图形的面积说明平方差公式和完全平方公式的内容很感兴趣．他继续钻研，开展数学活动．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l，过A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．设AD=a，CD=b，AC=c，记四边形ADEB的面积为S．
（1）用含c的式子表示△ABC的面积： ；
（2）羊羊查阅相关资料，知道S=12AD+BE⋅DE．请用含a，b的式子表示S；
（3）羊羊又发现S还可以用三个三角形的面积相加来计算．按照这个思路，结合问题（2），你能得到a，b，c之间满足怎样的等量关系呢？请说明理由．
6．已知：实数m满足m2+16=8m．
（1）直接写出m的值为_____；
（2）如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上的点，D是x轴正半轴上的点．
①如图1，B是y轴正半轴上O，A之间的点，C是x轴正半轴上O，D之间的点，若∠CBD=45°，∠BCO=∠DAO，AD=2m，BC=2，求△CBD的面积．
②如图2，若AO=m，DO=32m，在坐标系中第二、四象限夹角平分线上一点P的坐标为(n,−n)，以AP为斜边作等腰Rt△APQ（A，P，Q按逆时针排列）．
（Ⅰ）求点Q的纵坐标；
（Ⅱ）连接DQ，当DQ的值最小时，直接写出n的值为______．
7． 在平面直角坐标系中，A(2，0)，C(0，-4）.
（1）如图(1)，若点B在第四象限，∠BAC=90°，AB=AC，直接写出B的坐标；
（2）y轴正半轴上有一点D，△DAC沿AC翻折得到△EAC. △DAC沿DA翻折得△DAF，
DP，CE交点为Q.
①如图(2)，若∠DAC=140°，直接写出∠DQC的度数；
②如图(3)，若D(0，m)，EC⊥DF，EF与x轴相交于点H，求点H的坐标 (用含m的式子表示).
8．【问题提出】
（1）如图1，直线l经过点A，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE；
【变式探究】
（2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果∠CEA=∠BAC=∠ADB，AB=AC，求证：DE=BD+CE；
【拓展应用】
（3）如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD=∠CAE=90∘，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH=5，AG=12，求△DAE的面积．
9．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥CE于点D,BE⊥DE于点E，则CD与BE的数量关系是 ；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，过点C作直线CE,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E,AD=2cm,DE=1.6cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，A−1.5,0,C1.5,3.5,△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=BC，求B点坐标．
10．妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形“和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通.于是撰写了一篇数学作文.请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容.“一线三垂直“模型的探索与拓展
【模型呈现】”一三垂直”模型是“一线三等角“模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为”一线三垂直模型”.若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.例如：如图1，∠ACB=90°，过点C作任意一条直线m，AD⊥m于点D，BE⊥m于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直“模型：如果AC=BC，那么由∠1+∠2=∠2+∠B=90°，可得∠1=∠B，又∵∠ADC=∠CEB=90°，∴△ADC≌△CEB.
【模型探索】问题1：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=7，CF=2.求：线段EF的长，写出详细解答过程.
【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，A（-3，0）B（0，6），若△ABP是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标.
【模型迁移】问题3：如图4，△ABC为等边三角形，点D，E，F在三边上，BD=CF，∠EDF=∠B.求证：△DEF是等边三角形.
11．
（1）【尝试探索】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°,CB=CA，直线
ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）【拓展提升】如图2，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD=90°,AC=AD,∠DBA=∠DAB，AB=23，求点C到AB边的距离．
12．
（1）【基础回顾】
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）【变式探究】
如图2，在△ABC中，AB=AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA=∠ADB=∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明；
（3）【拓展应用】
小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由．
13．如图，等腰直角△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为0,3，点C坐标为9,0．过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）求OD的长及点A的坐标；
（2）取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；
（3）连接OA，已知OA=15，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
14．在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限，且AB⊥AC，AB=AC．
（1）如图1，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(2,0)，则C点的坐标为 ；
（2）如图2，OB=OE，求证：∠ACE=∠ABE；
（3）在（2）的条件下，如图3，CD=DE，CD⊥DE，M为线段BE的中点，连接AM，MD，求证：AM⊥MD．
15．如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为−3，点B的坐标为______；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，OB=BF，∠OBF=90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
16．综合与实践：
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点E为△ABC外一点，AE⊥CE，过B作BF⊥AE，垂足分别为E、F．求证：EF=BF−CE．
独立思考：（1）请证明王老师提出的问题．
实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答．
“如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC上一点，BA=BD，CE⊥AD于E，求证：AD=2CE”．
问题解决：
（3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现：
“如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为BC上一点，AE⊥CE，过点A作AM⊥AE，且AM=AE，连接BM．若CE=2，请直接写出AG的值为 ▲ ．”
17．如图，在平面直角坐标系中，已知Aa,0，B0,b分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若a、b满足a−82+b−6=0，以B点为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，直接写出点C的坐标是 ．
（2）如图2，若a=b，D是OA延长线上一点，以点D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDM，连接AM，求∠MAD的大小．
（3）如图3，若a=b，P、E是x轴上两动点，P在点A右边，E在O点左边，且AP=OE，过点O作EB的垂线交AB的延长线于点F，连接PF，求证：AF平分∠PFO．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A(a,0)，点B(0,b)，且a，b满足a−b2+b−4=0．
（1）直接写出△AOB的面积；
（2）如图1，若点C为线段OB上一点，连接AC，作CD⊥AC，且CD=AC，连接BD．求∠DBA的度数；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接OD，点E，F分别为OD，AB的中点，连接CE，EF，请探究线段CE与EF之间的关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】24
2．【答案】（1）10；5
（2）解：过点E作EK⊥BC，交BC的延长线于点K，
由旋转的性质可知：AD=ED，∠ADE=90°，
∴∠ADC+∠EDK=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠EDK，
在△ACD和△DKE中，
∠ACD=∠DKE=90°∠CAD=∠EDKAD=ED，
∴△ACD≌△DKE(AAS)，
∴AC=DK=3，CD=EK，
在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=4，
∴CD=BC−BD=1，
∴CD=EK=1，
∴CK=DK−CD=2，
在Rt△EKC中，
CE=EK2+KC2=5．
3．【答案】（1）解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠BDC=90°，CD=5，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠DCB，
在△AOB和△BDC中，
∠OBA=∠DCB∠AOB=∠BDCAB=BC，
∴△AOB≌△BDCAAS，
∴OB=CD=5，
∴点B的坐标为0,5．
（2）证明：∵CD⊥BC，∴∠BCD=90°，
∴∠ABM=∠BCD，
∵∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°，
∠ABO+∠BAO=180°−∠AOB=90°，
∴∠BAM=∠CBD，
在△ABM和△BCD中，
∠BAM=∠CBDAB=BC∠ABM=∠BCD，
∴△ABM≌△BCDASA，
∴BM=CD，
∴BC−CD=BC−BM=MC．
（3）解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
由（1）知，△AOB≌△BDC，
∴AO=BD，BO=DC，
∵点A−m,0且在x轴负半轴上，点B0,n且在y轴正半轴上，
∴AO=BD=−m=m，BO=DC=n=n，
∴点C的坐标为n,n−m，
∵以OB为直角边在第二象限作等腰直角△OBE，
∴BE=BO=DC，
∴点E的坐标为−n,n，
在△BEP和△DCP中，
∠BPE=∠DPC∠EBP=∠CDP=90°BE=DC，
∴△BEP≌△DCPAAS，
∴BP=PD=12BD=12m，OP=BP−BO=12m−n，
∵直线CE与y轴的交点为P，且在y轴负半轴上，
∴点P的坐标为0,n−12m．
4．【答案】（1）−6；3；6
（2）解：由（1）可知：OA=6，OC=3，
如图，作BH⊥y轴于点H，
∴∠BHC=90°，
∵∠ACB=∠BHC=90°，
∴∠ACO+∠HCB=∠HCB+∠CBH=90°，
∴∠ACO=∠CBH，
在△AOC和△CHB中，
∠AOC=∠CHB∠ACO=∠CBHAC=CB，
∴△AOC≌△CHBAAS，
∴OC=HB=3，OA=CH=6，
∴OH=3，
∴B3,−3
（3）解：如图，过B作BP⊥x轴，垂足为P，过N作NQ⊥x轴，垂足为Q，
∴∠BPE=∠NQE=90°，
∵NQ=BP=3，∠BEP=∠NEQ，
∴△BPE≌△NQEAAS，
∴BE=NE，
延长CE至H点，使EH=CE=5，连接BH，
∴CH=10，
在△CNE和△HBE中，
CE=HE∠CEN=∠HEBEN=EB，
∴△CNE≌△HBESAS，
∴∠NCE=∠BHE，CN=HB，
∴CN∥BH，
∴∠NCB+∠CBH=180°，
∵△ABC和△CMN是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠MCN=90°，CM=CN，
∴∠ACM+∠BCN=180°，
∴∠ACM=∠CBH，
∵CN=HB，CM=CN，
∴CM=BH，
在△ACM和△CBH中，
AC=CB∠ACM=∠CBHCM=BH，
∴△ACM≌△CBHSAS，
∴AM=CH，
∴AM=10
5．【答案】（1）S△ABC=12c2
（2）解：∵AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC=∠ECB=90°−∠ACD，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEBAAS，
∴AD=CE=a，CD=BE=b，
∵四边形ADEB的面积为S，
∴S=12AD+BE⋅DE=12a+ba+b=12a2+12b2+ab，
∴S=12a2+12b2+ab
（3）解：a2+b2=c2，
理由：∵S=S△ADC+S△CEB+S△ABC，且S△ADC=S△CEB=12ab，S△ABC=12c2，
∴12a2+12b2+ab=12ab+12ab+12c2，
∴a2+b2=c2．
6．【答案】（1）4
（2）解：①由（1）知：m=4，∴AD=2m=8，
如图1，过点D作DE⊥BC于E，延长DE交y轴于G，
∴∠BED=∠BEG=90°，
∵∠CBD=45°，
∴∠BDE=∠CBD=45°，
∴BE=DE，
∵∠BOC=∠CED=90°，∠OCB=∠ECD，
∴∠OBC=∠CDE，
∴△CED≌△GEB，
∴CE=EG，∠ECD=∠BGE=∠BCO，
设CE=x，则BE=DE=x+2，
∵∠BCO=∠OAD，
∴∠OAD=∠BGE，
∴GD=AD=8，
∴x+x+2=8，
∴x=3，
∴DE=x+2=5，
∴S△CBD=12⋅BC⋅DE=12×2×5=5；
②（Ⅰ）如图2，过点Q作GH∥y轴，过点A作AG⊥GH于G，过点P作PH⊥GH于H，
∵AO=m，DO=32m，m=4，
∴AO=4，DO=6，
设AG=a，GQ=b，
∴G=∠H=90°，
∴∠AQG+∠GAQ=90°，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ=PQ，∠AQP=90°，
∴∠AQG+∠PQH=90°，
∴∠PQH=∠GAQ，
∴△AGQ≌△QHP，
∴AG=QH=a，GQ=PH=b，
∵P(n,−n)，
∴4−a−b=−n，b−a=−n，
∴4−a−b=b−a，
∴b=2，
∴点Q的坐标为(n+2,2)，即点Q的纵坐标为2；
（Ⅱ）4
7．【答案】（1）B（6，-2）
（2）①∠DQC=100°
②∵EC⊥DF，
∴∠DQC=90°，
∴∠QDC+∠QCD=180°−90°=90°，
∴∠ADC+∠ACD=45°
∴∠DAC=180°−(∠ACD+∠ADC)=135°，
由折叠的性质可得∠EAC=∠DAC=135°，∠DAF=∠DAC=135°，
AD=AE，AC=AF，
∴∠DAE=360°−135°−135°=90°，∠CAF=360°−135°−135°=90°；
如图所示，过点F作FM⊥x轴于M，过点E作EN⊥x轴于N，
同理可证明△AOC≌△FMA，△AOD≌△ENA，
∴OA=MF=2，AN=OD，NE=OA=2，AM=OC=4，
∴MF=NE；
∵∠FMH=90°=∠ENH，∠EHN=∠FHM，
∴△FMH≌△ENH(AAS)，
∴MH=NH=12MN；
∵D(0,m)，
∴AN=OD=m，
∴MN=AN−AM=m−4，
∴MH=m−42，
∴OH=OA+AM+MH=2+4+m−42=m+82，
∴H(m+82,0)
8．【答案】解：（1）证明：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD+∠BDA=180°,∠BDA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°．
又∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AEC=90°AB=AC，
∴△ABD≌△CAEAAS
（2）DE=BD+CE，
证明：∵∠CAD=∠BAC+∠BAD=∠CEA+∠ACE,∠CEA=∠BAC
∴∠ACE=∠BAD
在△CAE和△ABD中，
∠AEC=∠ADB∠ACE=∠BADAB=AC
∴△CAE≌△ABDAAS，
∴AD=CE,AE=DB，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）如图，过点E作EM⊥HG于点M，作DN⊥GH，交GH的延长线于点N，
∴∠EMH=∠DNH=90°．
与（1）同理可得△DNA≌△AGB，△EMA≌△AGC，
∴DN=AG，EM=AG，
∴DN=EM=AG=12，
∵S△ADE=S△ADH+S△AEH=12AH⋅DN+12AH⋅EM
∴S△ADE=12×5×12+12×5×12=60
9．【答案】（1）CD=BE
（2）解：∵AD⊥CE,BE⊥CE,∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠E=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
∠CAD=∠BCE∠ADC=∠EAC=BC
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴BE=CD,CE=AD=2cm，
又∵DE=1.6cm，
∴BE=CD=CE−DE=2−1.6=0.4cm；
（3）解：过点B作EF∥y轴，过点A作AD∥y轴，过点C作DE∥x轴，EF、DE、AD分别交于点E、D，
∵AD∥y轴，DE∥x轴，EF∥y轴，
∴AD⊥CE,BE⊥CE，
又∵∠ACB=90°，
∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
∠CAD=∠BCE∠D=∠EAC=BC，
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴DC=BE,AD=EF，
∵A−1.5,0,C1.5,3.5，
∴AD=EF=CE=3.5,DC=BE=3
∴BF=EF−BE=0.5,OF=1.5+3.5=5
∴B点坐标为5,0.5
10．【答案】解：问题1：∵∠BAC=90°， BE⊥AD， CF⊥AD
∴ ∠AEB=∠AFC， ∠ABE+∠BAE= ∠BAE+∠CAF=90°
∴∠ABE=∠CAF
∵ AB=AC
∴△ABE≌△CAF
∵BE=7，CF=2
∴AE=CF=2，BE=AF=7
∴EF=AF-AE=5
问题2：点P的坐标为（-6，9）或（6，3）或（-9，3）或（3，-3）或（-4.5，4.5）或（1.5，1.5）；
问题3：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠EDF=∠B=60°，
∴∠EDB+∠FDC=180°-∠EDF=120°，
又∵∠EDB+∠DEB=180°-∠B=120°，
∴∠DEB=∠FDC，
在△EBD和△DCF中，
∠DEB=∠FDC∠B=∠CBD=CF，
∴△EBD≌△DCF（AAS），
∴ED=DF，
∵∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形．
11．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠BCE+∠ACD=180°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC=∠CDA=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△BEC和△CDA中，
∠CDA=∠BEC=90°∠ACD=∠EBCCB=CA，
∴△BEC≌△CDA；
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，
∵∠DBA=∠DAB，
∴AD=BD，
∴AF=BF=12AB=3，
∵∠CAD=90°，
∴∠DAF+∠CAE=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠CAE=∠ADF，
在△CAE和△ADF中，
∠CEA=∠AFD=90°∠CAE=∠ADFAC=AD，
∴△CAE≌△ADF，
∴CE=AF=3，
即点C到AB的距离为3；
12．【答案】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
∠BDA=∠AEC=90°∠DBA=∠EACAB=AC，
△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）解：DE，BD，CE的数量关系是：DE=BD+CE，证明如下：
∵∠EAB是△ABD的外角，
∴∠EAB=∠ADB+∠DBA，
∴∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA，
∵∠ADB=∠BAC，
∴∠EAC=∠DBA，
在△EAC和△DBA中，
∠EAC=∠DBA∠CEA=∠ADBAB=AC，
∴△EAC≌△DBA（AAS），
∴CE=AD，AE=BD，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）解：S1，S2大小关系是：S1=S2，理由如下：
过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示：
∵AG⊥BC，
∴∠AGB=∠M=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAG+∠DAM=90°，
∴∠ABG=∠DAM，
在△ABG和△DAM中，
∠AGB=∠M=90°∠ABG=∠DAMAB=AD ，
∴△ABG≌△DAM（AAS），
∴DM=AG，
同理可证明：△AGC≌△ENA，
∴EN=AG，
∴DM=EN，
∵S1=12AH⋅DM，S2=12AH⋅EN
∴S1=S2.
13．【答案】（1）解：∵点B坐标为0,3，点C坐标为9,0，
∴OB=3，OC=9，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO+∠ACD=90°，
且∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠ACD=∠OBC，
且AC=BC，
∠BOC=∠ADC=90°，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴CD=OB=3，
∴OD=OC+CD=12，AD=OC=9，
∴点A的坐标12,9；
（2）解：OE=DE且OE⊥DE；
证明：过E作EF⊥y轴于F，并交AD于G，
则FG=OD=12且FG⊥AD，
∵B0,3，A12,9，E为AB中点，
∴E6,6，
∴EF=EG=6，OF=DG=6，
又∵∠EFO=∠EGD=90°，
∴△EFO≌△EGD，
且△EFO和△EGD都为等腰直角三角形，
∴OE=DE，∠FEO=∠GED=45°，
∴∠OED=180°−∠FEO−∠GED=90°，
∴OE⊥DE；
（3）解：①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，∵AD⊥x轴，
∴点Q1，O关于直线AD对称，即：Q124,0；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，则OQ2=OA=15，
∴Q215,0；
③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，则OQ3=OA=15，
∴Q3−15,0，
综上所述：Q的坐标为：24,0或15,0或−15,0．
14．【答案】（1）(4,6)
（2）证明：过C作CH⊥y轴于H，设AB，CE交于P，如图：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAH=90°−∠OAB=∠ABO，
∵∠CHA=90°=∠AOB，AC=AB，
∴△ACH≌△BAOAAS，
∴CH=OA，AH=OB，
∵OB=OE，∠BOE=90°，
∴AH=OE，∠BEO=45°，
∴AH+AE=OE+AE，即HE=OA，
∴CH=HE，
∵∠CHE=90°，
∴∠HEC=45°，
∴∠CEB=180°−∠HEC−∠BEO=180°−45°−45°=90°，
∴∠CEB=∠BAC，
∵∠APC=∠BPE，
∴∠ACE=∠ABE；
（3）证明：连接OM，设AM交ED于N，如图：
∵CD=DE，CD⊥DE，
∴∠CED=45°，CE=2ED，
由（2）知∠CEB=90°，
∴∠DEM=∠CEB−∠CED=45°，
∵OB=OE，∠BOE=90°，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∵M为BE中点，
∴∠AOM=45°，EM=BM=OM=12BE，
∴∠DEM=∠AOM，
由（2）知CH=HE，OA=HE，
∴CE=2HE=2OA，
∴ED=OA，
在△DEM和△AOM中，
OA=ED∠AOM=∠DEMOM=EM，
∴△DEM≌△AOMSAS，
∴∠OAM=∠EDM，
∵∠ANE=∠DNM，
∴∠AEN=∠DMN，
∵∠AEN=∠HEC+∠CED=45°+45°=90°，
∴∠DMN=90°，
∴AM⊥DM．
15．【答案】（1）解：如图①，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠BHC=90°=∠ABC
∴∠BCH+∠CBH=∠ABH+∠CBH=90°
∴∠BCH=∠ABH
∵点C的横坐标为−3，
∴CH=3
在△ABO和△BCH中，
∠BCH=∠ABO∠BHC=∠AOBBC=AB
∴△ABO≌△BCH(AAS)
∴CH=BO=3
∴B0,3，
故答案为：0,3；
（2）解：AM=2CD，
如图②，延长AB，CD交于点N，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADN和△ADC中，
∠BAD=∠CADAD=AD∠ADN=∠ADC，
∴△ADN≌△ADCASA，
∴CD=DN，
∴CN=2CD，
∵∠N+∠BAD=90°，∠N+∠BCN=90°
∴∠BAD=∠BCN
在△ABM和△CBN中，
∠BAM=∠BCNBA=BC∠ABM=∠CBN，
∴△ABM≌△CBN(ASA)
∴AM=CN
∴AM=2CD；
（3）解：△BPC与△AOB的面积比不会变化，
理由∶如图③，作CG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠CBG=90°
∴∠BAO=∠CBG
在△BAO和△CBG中，
∠AOB=∠BGC=90°∠BAO=∠CBGBA=BC
∴△BAO≌△CBG(AAS)
∴BG=AO，CG=OB
∵OB=BF
∴BF=GC
在△CGP和△FBP中，
∠CPG=∠FPB∠CGP=∠FBP=90°CG=BF
∴△CGP≌△FBP(AAS)
∴PB=PG
∴PB=12BG=12AO
∵S△AOB=12×OB×OA，S△PBC=12×PB×GC=12×12AO×BO
∴S△PBC:S△AOB=12．
16．【答案】证明：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AE⊥CE，BF⊥AE，
∴∠CEA=∠AFB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵AB=AC，∠CEA=∠AFB，
∴△AEC≌△BFA，
∴CE=AF，AE=BF，
∵EF=AE−AF，
∴EF=BF−CE．
证明：（2）过B作BF⊥AE，
由（1）可知△AEC≌△BFA
∴AF=CE，
∵BA=BD，BF⊥AE，
∴AD=2AF，
∴AD=2CE，
（3）1
17．【答案】（1）6,14
（2）解：如图，作ME⊥x轴于E，则∠MED=∠BOD=90°，
，
∵△BDM为等腰直角三角形，
∴BD=DM，∠BDM=90°，
∴∠BDO+∠DBO=90°，∠BDO+∠MDE=90°，
∴∠MDE=∠DBO，
∴△OBD≌△EDMAAS，
∴OB=DE，OD=ME，
∵a=b，
∴OA=OB，
∴AE=DE+AD=OA+AD=OD=ME，
∴△AEM为等腰直角三角形，
∴∠MAD=45°；
（3）证明：如图：作AG⊥x轴交FO的延长线于G，
，
则∠GAO=∠EOB=90°，
∴∠EOF+∠FOB=90°，
∵BE⊥OF，
∴∠EBO+∠FOB=90°，
∴∠EBO+∠FOB=90°，
∵∠GOA=∠EOF，
∴∠GOA=∠EBO，
∵OB=OA，
∴△OBE≌△OAGASA，∠OAB=45°，
∴AG=OE，∠FAG=∠FAO+∠OAG=135°，∠FAP=180°−∠FAO=135°，
∴∠FAP=∠FAG，
∵OE=AP，
∴AG=AP，
∵AF=AF，
∴△FAG≌△FAPSAS，
∴∠GFA=∠PFA，
∴AF平分∠PFO．
18．【答案】（1）8
（2）解：如图1，过点D作DM⊥y轴于M，
∴∠DMC=90°，
∴∠MCD+∠CDM=90°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°=∠ACO+∠DCM，
∴∠CDM=∠ACO，
∵AC=CD，∠AOC=∠DMC=90°，
∴△DMC≌△COAAAS，
∴CM=AO=4，DM=CO，
∵AO=OB=4，
∴OB=MC，
∴OB−BC=MC−BC，
即OC=BM，
∵DM=OC，
∴DM=BM，
∵∠DMB=90°，
∴△DMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM=45°，
∵AO=OB，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∴∠DBA=180°−45°−45°=90°；
（3）解：CE⊥EF，CE=EF，证明如下：
如图2，连接OF，CF，延长FE交BD于G，连接CG，设AB与CD交于点H，
∵OB=OA，F是AB的中点，
∴OF⊥AB，
∴∠OFB=90°，
∵∠AFO=90°，∠OAB=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴OF=AF，
由（2）知：∠DBA=90°，
∴∠OFB=∠DBA，
∴BD∥OF，
∴∠BDE=∠DOF，
∵E是OD的中点，
∴OE=DE，
∵∠DEG=∠OEF，
∴△DEG≌△OEFASA，
∴OF=DG，EF=EG，
∵∠DBH=∠ACD=90°，∠DHB=∠AHC，
∴∠BDC=∠BAC，
∵DG=OF，OF=AF，
∴DG=AF，
∵CD=AC，
∴△AFC≌△DGCSAS，
∴CG=CF，∠GCD=∠FCA，
∴∠GCD+∠FCD=∠ACF+∠DCF=90°，
∴∠GCF=90°，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∵EG=EF，
∴CE⊥EF，CE=EF．