《角平分线与全等三角形》精选典型题训练2025-2026人教版八年级上学期数学期末复习

这是一份《角平分线与全等三角形》精选典型题训练2025-2026人教版八年级上学期数学期末复习，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE是∠BAD的平分线，且AE⊥DE．若AD=a，四边形ABCD的面积为m，则点E到CD的距离为（ ）
A．2maB．3m2aC．maD．m2a
2．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠ACP=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，在ΔOAB和ΔOCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=30°连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM，则下列结论中：①AC=BD；②∠AMB=30°；③ΔOME≅ΔOFM；④MO平分∠BMC，正确的个数有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
4．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中：①若∠BAD=72°，则∠EBC=6°；②AB=BG+AD；③S△ABC>2S△ACE；④2EFFD=ABAD．其中正确的结论有 （填写序号即可）．
5．如图，△ABC中，∠ACB=60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有 .（请填写序号）
①若∠BAD=70°，则∠EBC=5°；
②BE=CE；
③AB=BG+AD；
④S△BFGS△AFD=BFAF.
6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）分别在坐标轴的正半轴上．设AB＝c. 当∠ABO的平分线经过点D（3，−3），则a－b＋c的值为 ．
7．如图，在△ABC中，∠ACB=36°，∠BAC=117°，过A作AD⊥BC于点D，CO为△ABC的角平分线，连接OD，过O作OE⊥AB交BC于点E，交AD延长线于点F．则下列四个结论，其中一定正确的是 ．（填写正确序号）
①∠AOC=45°；②ACBC=OEBE；③∠COD=∠B；④BC−AC=AF．
8．如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠A=60°，角平分线BD、CE交于点O，OF⊥AB于点F，OF=2．下列结论：①点O在∠A的平分线上；②∠BOC=120°；③AD−AE=EF；④S△ABC=a+b+c，其中正确的结论是 （填序号）
三、解答题
9．如图，O是△ABM内一点，OB=OM，∠BAM=α，∠BOM=β．
（1）已知，△ABC为等边三角形．
①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：β=______°，可得结论：OA=OB=OM；
②如图2，若点C在边AM上，在①补充的条件下，结论OA=OB=OM是否仍成立？并说明理由；
（2）如图3，请探究当α与β之间满足什么数量关系时，结论OA=OB=OM仍然成立，并说明理由．
10．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°.
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）求∠AEB的度数；
（4）若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求△ABE的面积.
11．请阅读以下材料，并解决问题：
（1）如图2，已知AB=AD，BC=DC，求证：AE平分∠BAD；
（2）如图4，已知OA=OC，OB=OD，AE=CE，BF=DF.若∠AOD=120°，则∠DOC= °；
（3）利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点E与点F之间的距离等于OA时，可求得∠AOD的度数.在图6中，已知OA=OC=OB=OD=AE=CE=BF=DF，且点E与点F之间的距离等于OA，请求出∠AOD的度数.
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：DC=EB；
（2）若点F是AB的中点，连接CF，FD，并延长FD交BC于点G，如果∠DAC=α，求∠BGF的度数（用含α的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若DE=2BE，求△CDF的面积S1与△ADF的面积S2之比．
13． 如图，已知在△ABC中，AB＞AC，BD，CE是△ABC的高，点M在高BD上，BM=AC.
（1）如图(1)，求证∠ABD=∠ACE；
（2）如图(2)，点N在CE的延长线上，CN=AB，求证AN⊥AM；
（3）如图(3)，P是△ABC外一点，∠P=∠B，∠BAC+∠PAC=180°，求证PC=BC.
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点A(m，m+1)在第一象限，点B在x轴的负半轴上，AB交y轴于D，AC交x轴于E，∠ODE=2∠AED，点F在y轴上，且在点D的上方．
（1）如图1，求证：DA平分∠EDF；
（2）如图2，连接OA，求证：AO=AE；
（3）直接写出点C的坐标 （用含m的式子表示）．
15．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E为AB的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：CE平分∠BCD；
（2）如图2，若将“∠A=∠B=90°”改为“∠A+∠B=180°”，其他条件不变．BC=5+m，CD=7+m，则AD=________．
16．如图1，线段AD∥BC，连接AB，CD，取CD的中点E，连接AE，AE平分∠BAD．
（1）线段AB，AD，BC之间存在怎样的等量关系？ 请写出并证明你的结论．
（2）如图2，如果点C在AB 的左侧，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？ 如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并给予证明．
17．如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点M，N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
（1）求证：OP平分∠AOB；
（2）若MN=8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
四、实践探究题
18．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC的延长线于点E．由∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠D=90°，得∠BAC=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=______，BC=______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A为平面内任一点，点B的坐标为5,1，若△AOB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标．
【深入探究】
（3）如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G，求证：点G是DE的中点．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】①②④
5．【答案】①③④
6．【答案】23
7．【答案】①③④
8．【答案】①②④
9．【答案】（1）①120；
②OA=OB=OM依然成立，理由如下；
如图，连接OC，过O作OT⊥AC于点T，过O作OH⊥BC于点H，设OM与BC交于点N，则∠OHB=∠OTM=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AC=BC，
∴∠MCN=120°=∠BOM，
∵∠ONB=∠CNM，
又∠OBN=180°−∠BOM−∠ONB,∠CMN=180°−∠MCN−∠CNM，
∴∠OBN=∠CMN，
在△OBH和△OMT中，
∠OHB=∠OTM∠OBH=∠OMTOB=OM，
∴△OBH≌△OMT(AAS)，
∴HO=TO，
∵OH⊥BC,OT⊥AC，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
在△ACO和△BCO中，
AC=BC∠ACO=∠BCOOC=OC，
∴△ACO≌△BCO(SAS)，
∴OA=OB，
∴OA=OB=OM．
（2）解：当β=2α时，OA=OB=OM依然成立，
理由如下：如图，在AM上取点K，使∠BKM=2α，
∵β=2α，
∴∠BOM=∠BKM，
作OJ⊥BK于点J,OG⊥AM于点G，
∵∠OPB=∠KPM，
∴∠OBP=∠KMP，
在△BOJ和△MOG中
∠BJO=∠MGO∠OBJ=∠OMGOB=OM，
∴△BOJ≌△MOG(AAS)，
∴OJ=OG，
∴OK平分∠AKB，
∴∠BKO=∠AKO，
∵∠BKM=2α,∠BAK=α，
∴∠ABK=∠BKM−∠BAK=α=∠BAK，
∴KB=KA，
在△AOK和△BOK中，
KA=KB∠AKO=∠BKOOK=OK，
∴△AOK≌△BOK(SAS)，
∴OA=BO，
∴OA=OB=OM．
10．【答案】（1）解：∵∠ACB=100°，
∴∠ACD=180°-100°=80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE=90°，
∵∠CEH=50°，
∴∠ECH=90°-50°=40°，
∴∠ACE=80°-40°=40°
（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=EH，
∵∠ACE=∠ECH=40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
∴AE平分∠CAF
（3）解：设∠ABE=x
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC=2∠ABE=2x
∵∠ACD=80°
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°-2x
∵∠CAF=∠ABC+∠ACB=2x+100°，AE平分∠CAF
∴∠CAE=12∠CAF=x+50°
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=130°-x
∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=50°
（4）解：∵AC+CD=14，S△ACD=21，EM=EN=EH，
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=12AC•EN+12CD•EH=12（AC+CD）•EM=21，
即12×14⋅EM=21，
解得EM=3，
∵AB=8.5，
∴S△ABE=12AB•EM=12×8.5×3=514．
11．【答案】（1）∵AC=AC，AB=AD，BC=DC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即AE平分∠BAD
（2）40
（3）解：如图，
由(2)得∠DOC=∠EOF=∠AOE，
设∠DOC=∠EOF=∠AOE=x
∵OC=CE，
∴∠CEO=∠COE=x，
∴∠FCE=∠COE+∠CEO=2x，
∵EF=CE，
∴∠CFE=∠FCE=2x，
∵OB=BF，
∴∠BFO=∠BOF=x
∵BF=EF，
∴∠FEB=∠FBE，
∴∠FEB=∠FBE=∠BOF+∠BFO=2x，
∴∠FEC=∠FEB−∠CEO=x，
又∠FOE+∠CFE+∠BEF=180∘，
∴x+2x+2x=180∘，
解得：x=36∘，
∴∠AOD=3x=108∘.
12．【答案】（1）证明：∵BE⊥CE,AD⊥CE
∴∠BEC=∠CDA=90°
∵BE⊥CE,∠ACB=90°
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∠BCE+∠DCA=90°
∴∠CBE=∠DCA
在△BEC和△DCA中
∠BEC=∠CDA∠CBE=∠DCABC=CA
∴△BEC≌△DCA(AAS)
∴DC=EB
（2）解：过点F分别作FM⊥AD,FN⊥CE于点M、N，如图所示：
∵F为AB的中点，AC=BC，
∴CF⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴CF=12AB=AF，
∵AD⊥CE，
∴∠ADC=∠AFC=90°，
∴∠FCD=∠FAD，
在△CFN和△AFM中
∠FNC=∠FMA∠FCD=∠FADCF=AF，
∴△CFN≌△AFM(AAS)，
∴FN=FM，
∴DF平分∠ADE，
∴∠FDN=12∠ADE=45°，
∴∠GDC=∠FDN=45°，
∴∠BGF=∠DCB+∠GDC，
由（1）可知∠DCB=∠DAC=α，
∴∠BGF=45°+α
（3）解：由（2）可知FN=FM,CE=AD,CD=BE
∵DE=2BE，
∴CE=CD+DE=3BE=AD，
∵S1=12CD⋅FN，S2=12AD⋅FM，
∴S1S2=CDAD=BE3BE=13，
13．【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，
∴∠ABD=∠ACE
（2）在△ABM和△NCA中，
BM=AC∠ABM=∠NCAAB=NC
∴△ABM≌△NCA，
∴∠MAB=∠ANC，
∵∠ANC+∠NAB=90°，
∴∠MAB+∠NAM=90°，
即∠NAB=90°，
∴AN⊥AM
（3）过点C分别做CG⊥AB于点G，CH⊥PA交PA的延长线于点H，
∵∠BAC+∠PAC=180°，∠HAC+∠PAC=180°，
∴∠BAC=∠HAC，
∵CG⊥AB，CH⊥PA，
CG=CH，∠BGC=∠H=90°，
在△BGC和△PHC中，
∠BGC=∠H∠B=∠PCG=CH
∴△BGC≌△PHC，
∴BC=PC
14．【答案】（1）解：证明：设∠AED＝x，则∠ODE＝2x.
在Rt△ADE中，∠ADE＝90−x，
∴∠ADF＝180°−∠ODE−∠ADE＝180°−2x−（90°−x）
＝90°−x＝∠ADE，
∴DA平分∠EDF.
（2）解：作AM⊥DE于M，AN⊥y轴于N，作AG⊥x轴于G，交DE于点P，如图所示：
∵A（m，m＋1），
∴AN＝OG＝m，
∵DA平分∠EDF，
∴AM＝AN＝m，
∵AG∥y轴，
∴∠APD＝∠ODE＝2∠AED，
∵∠APD＝∠AED＋∠PAE，
∴∠AED＝∠PAE，
∴PA＝PE，
∴△PMA≌△PGE（AAS），
∴AM＝EG，
∴EG＝AN＝OG＝m，
∵AG⊥OE，
∴AG垂直平分OE，
∴AO＝AE.
（3）C(2m+1，−m+1m)​​​​​​​
15．【答案】（1）证明：如图1，作EF⊥DC于点F，则∠CFE=90°，
∵∠A=∠B=90°，
∴EA⊥DA，∠CFE=∠B，
∵E为AB的中点，DE平分∠ADC，
∴EB=EA，EF=EA，
∴EF=EB，
∵CE=CE，
∴Rt△FCE≌Rt△BCEHL，
∴∠FCE=∠BCE，
∴CE平分∠BCD；
（2）2
16．【答案】（1）解：AB=AD+BC．
证明如下：如图，延长AE，BF交于点F，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BAF=∠AFB=∠DAF，
∴AB=BF，
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠EFC∠AED=∠FECDE=CE，
∴△ADE≌△FCEAAS，
∴CF=AD，
∵BF=BC+CF，
∴AB=BC+AD；
（2）解：不成立，新结论为：AB=AD−BC．
证明：延长AE，BF交于点F，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BAF=∠AFB=∠DAF，
∴AB=BF，
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠EFC∠AED=∠FECDE=CE，
∴△ADE≌△FCEAAS，
∴CF=AD，
∵BF+BC=CF，
∴AB=AD−BC．
17．【答案】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E.
∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC=PD.
∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∴PC=PE，
∴OP平分∠AOB；
（2）解：∵△PMN的面积是16，MN=8，
∴12MN⋅PD=16，
∴12×8⋅PD=16，
∴PD=4，
∴PD=PC=PE=4.
∵△OMN的面积是24，
∴四边形MONP的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+24=40，
∴△POM 的面积+△PON的面积=40，
∴12OM⋅PC+12ON⋅PE=40，
∴12OM·4+12ON·4=40，
∴OM+ON=20，
∴线段OM与ON的长度之和为20.
18．【答案】解：（1）DE，AE.
（2）如图，当点A在第一象限时，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，
∴∠C=90°，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAD+∠BAC=90°，
∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠BAC=∠AOD，
在△AOD与△BAC中，
∠C=∠ADO∠BAC=∠AODOA=AB，
∴△AOD≌△BACAAS，
∴AD=BC，OD=AC，
设AD=x，则BC=AD=x，
∴AC=OD=CE=x+1，
∴AD+AC=x+x+1=OE=5，
∴x=2，x+1=3，
∴点A的坐标2,3；
如图，当点A在第四象限时，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与BE相交于C，
∴∠C=90°，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAD+∠BAC=90°，
∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠BAC=∠AOD，
在△AOD与△BAC中，
∠C=∠ADO∠BAC=∠AODOA=AB，
∴△AOD≌△BACAAS，
∴AD=BC，OD=AC，
设AD=x，则BC=AD=x，
∴AC=OD=CE=x−1，
∴AD+AC=x+x−1=OE=5，
∴x=3，x−1=2，
又∵此时点A在第四象限，点A的坐标3,−2，
综上所述，点A的坐标为2,3或3,−2
（3）如图，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，
∵BC⊥AF，
∴∠BFA=∠AMD=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠1，
在△ABF与△DAM中，
∠BFA=∠AMD∠ABF=∠1AB=DA，
∴△ABF≌△DAMAAS，
∴AF=DM，
∵BC⊥AF，
∴∠CFA=∠ANE=90°，
∵∠CAE=90°，
∴∠CAF+∠EAN=∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠EAN=∠ACF，
在△ACF与△EAN中，
∠CFA=∠ANE∠ACF=∠EANAC=EA，
∴△ACF≌△EANAAS，
∴AF=EN，
又∵AF=DM，
∴EN=DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD=∠GNE=90°，
在△DMG与△ENG中，
∠DMG=∠ENG∠MGD=∠NGEDM=EN，
∴△DMG≌△ENGAAS，
∴DG=EG，
∴点G是DE的中点．探索角平分仪
素材1
图1是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.
素材2
图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽.四根棒在O处相连并可绕O点转动，点A，B，C，D固定，点E，F可以在凹槽处滑动，且OA=OC，OB=OD，AE=CE，BF=DF.
图5中的“三等分角仪”满足OA=OC=OB=OD=AE=CE=BF=DF.