甘肃省武威市凉州区武威第四中学八年级下学期3月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份甘肃省武威市凉州区武威第四中学八年级下学期3月月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共30分）
1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据形如 式子叫做二次根式判断即．
【详解】解：A、，不是二次根式，不符合题意；
B、当时，不是二次根式，不符合题意；
C、，二次根式，符合题意；
D、根指数是3，不是二次根式，不符合题意．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握其性质是解决问题的关键．
2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x＜2C. x≤2D. x≥2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则，逐一进行计算判断即可．
详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
4. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义一一判断选择即可．
【详解】解：A． 与不是同类二次根式，故A不符合题意；
B． 与是同类二次根式，故B符合题意；
C．与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D．与不是同类二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的定义与二次根式的化简，最简二次根式，能够化简选项中的二次根式是解题的关键．
5. 以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A. 6B. 36C. 64D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】∵两个正方形的面积分别为8和14，
且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，
∴正方形A的面积=14-8=6．
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
6. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 5，7，9C. 6，8，10D. 7，8，9
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）

A. 的面积为10B.
C. D. 点到直线的距离是2
【答案】A
【解析】
【分析】求出，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
【详解】解：，，，
，
，故B、C正确，不符合题意；
，故A错误，符合题意；
设点到直线的距离是，
，
，
，
点到直线的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8. 若，则“”内的运算符号为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别用加、减、乘、除，结果为的即为正确答案．
【详解】解：，不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意；
，不是同类二次根式，不能合并，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的加、减、乘、除运算．二次根式进行加减运算时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；二次根式的乘除运算，要记住相应的运算法则：，
9. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为( )
A. 2B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先过点H作HM⊥BC于点M，由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，可得BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，又由H是EG的中点，易得HM是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长．
【详解】解：过点H作HM⊥BC于点M，
∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，
∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，
∴HM∥BE，
∵H是EG的中点，
∴MH＝BE＝4，BM＝GM＝BG＝3，
∴CM＝BC−BM＝8−3＝5，
在Rt△CHM中，CH＝．
故选D．
【点睛】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握旋转前后图形的对应关系．
10. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A. 当时，是矩形
B. 当时，是菱形
C. 当是正方形时，
D. 当是菱形时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个分析判断即可．
【详解】解：A、当时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意；
C、当是正方形时，由正方形的对角线可得，故该选项不符合题意；
D、当是菱形时，可得，不能得到，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（共24分）
11. 如果y＝+3+2，那么＝__．
【答案】49．
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x与y的值．
【详解】解：∵，都是二次根式，
∴，
∴x＝7，
∴y＝2，
∴原式＝
＝49，
故答案为：49．
【点睛】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 化简二次根式的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的化简公式计算即可．
【详解】解：．
故答案为
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟记化简方法是解题关键．
13. 计算：的结果为___．
【答案】1
【解析】
【分析】把除法变成乘法，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除，把运算统一到乘法上是解题的关键．
14. 已知，，则代数式的值为___________．
【答案】18
【解析】
【分析】把，直接代入代数式，利用完全平方公式求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：18
【点睛】本题主要考查因式分解和二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
15. 已知菱形的对角线的长分别是和，则菱形的周长等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．先根据题意画出示意图，再根据菱形的性质求出菱形的边长即可算出周长．
【详解】解：如图，在菱形中，，

四边形是蓄形，
，
．
菱形的周长．
故答案为：．
16. 如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC=10，BE=2，则AB2－AC2的值为 ______．
【答案】20
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到AE=AC，DE=CD，AD⊥BC，由勾股定理得到AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，两式相减，通过整式的化简即可得到结论．
【详解】∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，∴AE=AC，DE=CD，AD⊥BC，∴AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，∴AB2﹣AC2=AD2+BD2﹣AD2﹣CD2=BD2﹣CD2=（BD+CD）（BD﹣CD）=BC•BE．
∵BC=10，BE=2，∴AB2﹣AC2=10×2=20．
故答案为20．
【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理，整式的化简，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
17. 如图所示，已知中，，，，点P是边上的一个动点，点P从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设运动的时间为（），若是以为腰的等腰三角形，则运动时间____．
【答案】或或
【解析】
【分析】分情况讨论：，，画出图形分别求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
如图1，，
∴；
如图2，，
∴，
∴；
如图3，，
过点B作于D，则，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
综上所述，t的值是或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18. 如图，正方体的棱长为3 cm，已知点B与点C间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为_________．
【答案】
【解析】
【分析】要求正方体中两点之间的最短距离，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：按照正面和右面展开，如下：
∴，，
∴；
按照正面和下面展开，如下：
∴，，
∴，
按照上面和右面展开，如下：
∴，，
∴，
∵，
∴需要爬行的最短距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面展开—最短路线问题，涉及到勾股定理，将正方体侧面展开，利用两点之间线段最短是解题的关键．
三、计算题（共16分）
19. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）1 （3）5
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂：
（1）根据平方根、立方根和绝对值的知识进行化简，然后合并即可得出答案；
（2）利用平方差公式即可求解；
（3）先去括号，再合并即可求解；
（4）根据先根据二次根式的性质、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则进行化简，再合并即可；
熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
原式
．
【小问3详解】
原式
．
【小问4详解】
原式
．
四、作图题（共4分）
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段，长度为，且点B在格点上．
（2）以（1）中所画的线段为一边，另外两条边长分别为，．画一个，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）．
（3）所画出的的边上的高线长为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数．
（1）根据网格特点结合勾股定理画出即可；
（2）根据网格特点结合勾股定理作图即可；
（3）等积法求线段的长即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；
【小问3详解】
设边上的高线长为，
由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
五、解答题（共46分）
21. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件先求出，，通过变形可得，即问题随之得解．
【详解】∵，，
∴，，
∵，
∴，
即所求的值为9．
【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，根据已知条件先求出，，是解答本题的关键．
22. 若有理数x、y、z满足，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】由题中条件不难发现，等号左边含有未知数的项都含有根号，而等号右边的则没有．将等式移项后，可尝试用配方法，将等式转化为三个完全平方数之和等于0的形式，从而分别求出、、的值，再求代数式的值．
【详解】解：两边同时乘以2，得：，
移项，得：，
配方，得：，
∴，
且且，
解得，，，
．
答：的值为．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用以及二次根式的化简等知识，将已知条件移项后观察特征，选择正确的方法即配方法是关键．
23. 如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC=20 m，BC=60 m，CD=30 m，请计算A，B两个凉亭之间的距离．
【答案】A、B两个凉亭之间的距离为20m
【解析】
【分析】在直角三角形ADC和BDC中，根据勾股定理先分别计算出AD和BD，然后由线段的差求出AB即可
【详解】AD＝＝ (m)，
BD＝＝ ＝ (m)，
∴AB＝BD－AD＝ (m)，
故A、B两个凉亭之间的距离为 m
【点睛】由勾股定理解直角三角形是本题的考点，根据题意计算AD和BD是解题的关键.
24. 如图，已知，垂足为D，，，．判断的形状，并说明理由．

【答案】是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】根据勾股定理分别求出，，再根据勾股定理逆定理，即可得出结论．
【详解】解：是直角三角形．
理由：，垂足为D，，，．
，
．
，
．
是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．
25. 如图，长方形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处．

（1）当时， ；
（2）连接 ，当为直角三角形时，求的长．
【答案】（1）
（2）或3
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据折叠的性质及平角的定义求出，，根据含的直角三角形求解即可；
（2）当为直角三角形时，有两种情况：i）当点落在长方形内部时， ii）当点落在边上时，分别进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
根据折叠的性质得，，
∵，，
∴，则，
在中，，，由勾股定理可得：
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
当为直角三角形时，有两种情况：
i）当点落在长方形内部时，如图①所示，连接，
在中，，，
，
沿折叠，使点B落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
∴点A，，C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点处，
，，
，
设，则，，
在中，
，
，
解得，
；
ii）当点落在边上时，如图②所示，此时，

在矩形中，，
由折叠的性质得，，，
∴四边形为正方形，
，
综上所述，的长为或3．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠问题与勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，含的直角三角形等问题，熟练掌握折叠问题与勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键．
26. 如图，C为线段上的一个动点，分别过点B，D在两侧作，连接．已知，设．
（1）用含的代数式表示的长．
（2）当点C满足什么条件时，的值最小？
（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式的最小值．
【答案】（1）
（2）当C在上时，值最小
（3）的最小值为13
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，两点之间，线段最短，矩形的性质与判定：
（1）先求出，再利用勾股定理分别求出，的长，然后求和即可得到答案；
（2）根据两点之间，线段最短可知当C在上时，值最小；
（3）仿照题意构图其中，设，根据（1）（2）利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴；
【小问2详解】
解：∵两点之间，线段最短，
∴当C在上时，值最小；
【小问3详解】
解：构图如下，其中，设，
∴
同理得，
由两点之间，线段最短可知，当C在上时，值最小，即最小，最小值为长，
过点E作交延长线于F，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为13．
27. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O．
（1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长；
（3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1），且，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，结合正方形的性质证，得出，，再证即可；
（2）连并延长交于，可证得，进而可知，则点为的中点，在中，求出长，再根据中位线的性质求出即可；
（3）过点作于点，根据勾股定理求出，利用等面积法，求得，再利用勾股定理求得，由，可知，，即可由求得答案．
【小问1详解】
解：，且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且；
【小问2详解】
连接并延长交于G，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵点为的中点，则，
又∵，
∴，
∴，，则点为的中点，
又∵点为的中点，则，
∴为的中位线，
∴，
∵正方形的边长为4，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图3，过点B作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．