四川省仁寿第一中学（北校区）2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题（40分，每题5分）
1. 设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出和，再根据的定义写出运算结果.
【详解】解：，
，
，
又且，
或.
故选：B.
【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题.
2. 已知，则取得最小值时的值为（ ）
A. 3B. 2C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解.
详解】，则，当且仅当，即时等号成立.
故选：A
3. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ）
A. 命题都是真命题B. 命题是真命题，是假命题
C. 命题是假命题，是真命题D. 命题都是假命题
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题及特称命题的特征判断真假即可.
【详解】因为x=0时,,是假命题；
因为时，,是真命题；
故选：C.
4. “”是“且”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的.
【分析】令，，，则满足，但“且”不成立，
则“”不是“且”充分条件；
由且，得，因此“”是“且”的必要条件，
所以“”是“且”的必要不充分条件.
故选：A
5. 已知集合，，，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】求得集合，得到，结合和选项，即可求解.
【详解】由题意，集合，或，
所以或，
因，结合选项可得.
故选：D.
6. 不等式的最小整数解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式，可得出满足此不等式的的最小整数值.
【详解】当时，则，可得，此时，；
当时，则恒成立，此时，；
当时，则，解得，此时，.
综上所述，不等式的解集为，
则满足原不等式的最小整数解为，
故选：C.
7. 已知实数，满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，，解得，则，结合的范围即可求得．
【详解】解：令，，
则 ，
则z=9x−y=83n−53m，
∵ ，
∴ ．
又，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
8. 已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为为正实数且，
所以，
所以，
因为，当且仅当时等号成立；
所以，当且仅当时等号成立；
故选：D
二、多选题（18分，每题6分）
9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】由不等式的解集的特征可知，由韦达定理可求得，从而可判断BD正确.
【详解】因为关于x的不等式的解集为，
则必有a0，C错误；
不等式，即，解得，B正确；
不等式即为，
故不等式可化为，
解得，D正确.
故选：BD.
10. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，都有”的否定是“，使得”
C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或
D. 当时，方程组有无穷多解
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可.
【详解】解：对A，“”可以推出“”，而“”推出或者，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误；
对C，不等式成立，即或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故C正确；
对D，当时，方程组等价于，所以方程组有无穷多解，故D正确.
故选：ACD.
11. 设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可.
【详解】A：，故A对；
B：，故B错；
C：，，
而，故C对；
D：由柯西不等式，，故D错.
故选：AC.
第II卷（非选择题）
三、填空题（15分，每题5分）
12. 设全集，集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先计算出集合和，再计算即可。
【详解】由题得，或，则，
，则.
故答案为：
【点睛】本题考查集合的交集和补集，是一道基础题。
13. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.
【详解】由题意可知，题“”为真命题，
当时，由可得，不符合题意，
当时，根据题意知不等式恒成立则，
解之可得.
故答案为：
14. 若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式转化为．只要求得最大值即可．
【详解】易知，，
．
令，分式上下同除y，
则，则即可，
令，则．
可转化为：，
于是，．
∴，即时，不等式恒成立（当时等号成立）．
故答案为：
四、解答题
15. 已知集合，，．
（1）命题，都有，若命题p为真命题，求a的值；
（2）若是的必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）2或3 （2）或}
【解析】
【分析】（1）分别化简集合A，B，根据命题p为真命题，可得，通过对B分类讨论即可求a的值；
（2）若是的必要条件，可得．通过对C分类讨论，进而得出m的取值范围．
【小问1详解】
由，解得或，∴集合，，
命题，都有，若命题p为真命题，则，
①若，则，解得．
②若，则，解得．
∴a的值为2或3．
【小问2详解】
若是的必要条件，∴．
①时，此时，解得．
②时，此时有，方程组无解，m的值不存在．
③时，此时有，方程组无解，m的值不存在．
④，此时，解得．
综上可知：m的取值范围是或}．
16. 已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？
（1）是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；）
（2）请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由．
【答案】（1）不存在，理由见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据是成立的充要条件可得，再根据不等式区间端点对应相等列式求解即可；
（2）根据充分与必要条件可得集合的包含关系，再根据区间端点满足的不等式列式求解即可.
【小问1详解】
若存在实数m，使得是成立的充要条件，则.
故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件.
【小问2详解】
因为，故，故.
选①：充分不必要条件.
由题意，故，解得，故，即m的取值范围为
选②：必要不充分条件.
由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为.
17. 已知二次函数．
（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；
（2）若，，解关于的不等式．
【答案】（1），；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的解集，借助一元二次方程根与系数的关系列式计算即得.
（2）分类讨论解一元二次不等式即得.
【小问1详解】
由不等式的解集是，
得和是一元二次方程的两个实数根，且，
于是，解得，，
所以，.
【小问2详解】
，不等式化为，即，
当，即时，解不等式，得或；
当，即时，不等式的解为；
当，即时，解不等式，得或，
所以当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【解析】
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【小问1详解】
因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
【小问2详解】
根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
19. 集合A＝{x|}，B＝{x|}；
（1）用区间表示集合A；
（2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B；
（3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3），.
【解析】
【分析】（1）解分式不等式即可得集合A；（2）利用基本不等式求得b的最小值，将b代入并因式分解，即可得解；（3）由题意知A⊆B，对a分类讨论即求得范围
【详解】解：（1）由，有，解得x≤﹣2或x＞3
∴A＝(-∞, -2]∪(3, +∞)
（2）t＞2，
当且仅当t＝5时取等号，故
即为：且a＞0
∴，解得
故B＝{x| }
（3）b＜0，A∩B＝A，有A⊆B，而
可得：
a＝0时，化为：2x﹣b＜0，解得但不满足A⊆B，舍去
a＞0时，解得：或但不满足A⊆B，舍去
a＜0时，解得或
∵A⊆B
∴，解得
∴a、b 的取值范围是a∈，b∈ (- 4,0).
【点评】本题考查了集合运算性质、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.