四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

这是一份四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了 已知数列， 曲线在点处的切线斜率为（等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．注意事项：
答题前，务必将⾃⼰的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．
答选择题时，必须使⽤ 2B 铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊，如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号．
答⾮选择题时，必须使⽤ 0.5 毫⽶⿊⾊签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．
所有题⽬必须在答题卡上作答，在试题卷上答题⽆效．
考试结束后，只将答题卡交回．⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的．
某种细菌在⽣⻓过程中，每 10 分钟分裂⼀次（由⼀个分裂为两个），经过 50 分钟后，此细菌可由⼀个分裂成（）
A. 个B. 个C. 个D. 个
已知随机变量 X 服从正态分布，则（）
曲线在点处的切线斜率为（ ）
A. 2B. 1C. D.
已知随机变量服从⼆项分布，且，则（）
A. 10B. 16C. 18D. 20
抛掷甲、⼄两枚质地均匀的骰⼦，在已知甲骰⼦的点数为偶数的条件下，⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点
（参考数据：
，
）
A. 0.3413
B. 0.4772
C. 0.6826
D. 0.9544
3. 已知数列
满⾜对任意的
，都有
．若
，则（）
A. 1
C. 3
B. 2
D. 4

数的概率为（）
B. C. D.
⼀植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（）
A. 8 种B. 48 种C. 192 种D. 384 种
已知数列满⾜，，，若数列的前项和为，不等式恒成⽴，则的取值范围为（）
B.
C. D.
⼆、选择题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法正确的是（）
若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
已知 X 是随机变量，则
在残差图中，残差点分布的⽔平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越⾼
若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1
已知，若
，则正确的是（）
B.
C.除以 6 所得余数5D.
已知，下列说法正确的是（）
在处的切线⽅程为B. 的单调递减区间为
C. 的极⼤值为D. ⽅程有两个不同的解
三、填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分．
已知为等差数列，，则．
已知某地市场上供应的⼀种电⼦产品中，甲⼚产品占 80%，⼄⼚产品占 20%，甲⼚产品的合格率是 70%，
⼄⼚产品的合格率是 80%，则从该地市场上买到⼀个合格产品的概率是.
若不等式（ 是⾃然对数的底数）对任意恒成⽴，则当取最⼤值时，实数.
四、解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
已知等差数列的公差不为零，，且，，成等⽐数列．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，数列的前项和为，若，求的最⼤值．
某种机械设备随着使⽤年限的增加，它的使⽤功能逐渐减退，使⽤价值逐年减少，通常把它使⽤价值逐年减少的“量”换算成费⽤，称之为“失效费”．某种机械设备的使⽤年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱．
（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性⼀般； ，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到 0.0001）
求 关于的线性回归⽅程，并估算该种机械设备使⽤ 10 年的失效费．
使⽤年限（单位：年）
2
4
5
6
8
失效费（单位：万元）
3
4
5
6
7
附：样本的相关系数，经验回归⽅程的
斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为，．
据世界⽥联官⽅⽹站消息，原定于 2023 年 5 ⽉⽇在中国⼴州举办世界⽥联接⼒赛延期⾄ 2025
年 4 ⽉⾄ 5 ⽉举⾏.据了解，甲､⼄､丙三⽀队伍将会参加 2025 年 4 ⽉⾄ 5 ⽉在⼴州举⾏的⽶接⼒的
⻆逐.接⼒赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进⼊决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和；⼄队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和 .
甲､⼄､丙三队中，谁进⼊决赛的可能性最⼤；
设甲､⼄､丙三队中进⼊决赛的队伍数为，求的分布列.
已知（e 为⾃然对数的底数）
求曲线在点处切线⽅程；
恒成⽴；
时，
求证：当时，
已知，如果当
恒成⽴，求 的最⼤值.
⻢尔可夫链是因俄国数学家安德烈·⻢尔可夫得名，其过程具备“⽆记忆” 性质，即第次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，⻝堂从开学第⼀天起，每餐只推出即点即取的⽶饭套餐和⾯⻝套餐．已知某同学每天中午会在⻝堂提供的两种套餐中选择，已知他第⼀天选择⽶饭套餐的概率为，⽽前⼀天选择了⽶饭套餐后⼀天继续选择⽶饭套餐的概率为，前⼀天选择⾯⻝套餐后继续选择⾯⻝套餐的概率为，如此往复．
求该同学第⼆天中午选择⽶饭套餐概率；
记该同学第天选择⽶饭套餐的概率为；
①证明：为等⽐数列；
②当时，恒成⽴，求取值范围．
2024 级⾼⼆ 12 ⽉⽉考数学试题
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．注意事项：
答题前，务必将⾃⼰的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．
答选择题时，必须使⽤ 2B 铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊，如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号．
答⾮选择题时，必须使⽤ 0.5 毫⽶⿊⾊签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．
所有题⽬必须在答题卡上作答，在试题卷上答题⽆效．
考试结束后，只将答题卡交回．⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的．
1. 某种细菌在⽣⻓过程中，每 10 分钟分裂⼀次（由⼀个分裂为两个），经过 50 分钟后，此细菌可由⼀个分裂成（）
A 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得分钟后共有个，将代⼊求解即可.
【详解】由题意可得⼀个细菌 10 分钟后共有个，20 分钟后共有个，……，从⽽得到分钟后共有个，
【分析】根据正态分布的性质写出，再根据正态分布知识即可求解.
所以经过 5 次分裂(即 50 分钟后)，有
个.
故选；D.
2. 已知随机变量 X 服从正态分布
，则
（
）
（参考数据：
，
）
A. 0.3413B. 0.4772
【答案】B
C. 0.6826
D. 0.9544
【解析】

【详解】随机变量 X 服从正态分布,
,
,
根据正态分布对称性可得
故选：B.
3. 已知数列满⾜对任意 ，都有
．若
，则（）
A. 1
C. 3
【答案】D
B. 2
D. 4
【解析】
【分析】根据已知条件赋值可求得结果.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
4. 曲线在点处的切线斜率为（
）
A. 2B. 1
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】利⽤商的导数来求切线斜率即可.
【详解】求导得：
，
当时，切线斜率，
故选：A.
5. 已知随机变量 服从⼆项分布，且
，则
（
）

抛掷甲、⼄两枚质地均匀的骰⼦，在已知甲骰⼦的点数为偶数的条件下，⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】⾸先确定甲骰⼦的点数为偶数的可能情况和概率，然后求甲骰⼦的点数为偶数的每种情况下⼄骰
⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数可能情况和概率，最后相加即是最后结果.
【详解】设事件A 为“甲骰⼦的点数为偶数”，那么点数的可能性为 2，4，6，
⽽且每种可能性的概率为.
当甲骰⼦的点数为 2 时，要使得⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数，此时⼄骰⼦的点数只能是 1，此种情况概率为.
当甲骰⼦的点数为 4 时，要使得⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数，此时⼄骰⼦的点数是 1，2，3，
此种情况概率为.
当甲骰⼦的点数为 6 时，要使得⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数，此时⼄骰⼦的点数是 1，2，3，4，5，此种情况概率为.
所以甲骰⼦的点数为偶数的条件下，⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数的概率为：
.
A. 10
B. 16
C. 18
D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】应⽤⼆项分布的⽅差
，计算求得
，结合⼆项分布的期望计算可得结果.
【详解】因为
，解得
，
所以，则
.
故选：D
故在已知骰⼦甲骰⼦的点数为偶数的条件下，⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数的概率为
故选：C.
⼀植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（）
A. 8 种B. 48 种C. 192 种D. 384 种
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，要全部参观并且路线不重复，分为四步，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，若要全部参观并且路线不重复，可得分为四步：
第 1 步，选择四个“ 环形” 路线中的⼀个，有 4 种选法，再按顺时针和逆时针⽅向参观有 2 种选法，共有
；
第 2 步，选择三个“ 环形” 路线中的⼀个，有 3 种选法，再按顺时针和逆时针⽅向参观有 2 种选法，共有
；
第 3 步，选择两个“ 环形” 路线中的⼀个，有 2 种选法，再按顺时针和逆时针⽅向参观有 2 种选法，共有
；
第 4 步，最后⼀个“ 环形” 路线，按顺时针和逆时针⽅向参观有 2 种选法，共有，由分步计数原理，则不同的参观路线共有种不同的路线.
故选：D.
8. 已知数列
满⾜
，
，
，若数列的前项和为，
不等式
A.
恒成⽴，则
的取值范围为（
B.
）
⼆、选择题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法正确的是（）
若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
已知 X 是随机变量，则
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得数列的通项公式，进⽽可得
，进⽽分
为偶数与奇数两种情况求
得，进⽽可得，求解即可．
【详解】因为数列满⾜，，
所以数列是以为⾸项，2 为公差的等差数列，
所以，
所以
，记
，
则
，即
当为偶数时，，
当为奇数时，，
因为不等式恒成⽴，即
，
所以，
所以，，
所以解得，所以的取值范围为．
故选：D．
在残差图中，残差点分布的⽔平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越⾼
若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据等差数列的性质可判断A，根据⽅差的性质可判断B，根据残差图的性质可判断C，根据相关系数的性质可判断D．
【详解】对于A，对于等差数列，⽆论项数 n 为奇数或偶数，中位数均为⾸项与末项的平均数，根据等差数列的性质可知，⾸项与末项的平均数即为整体的平均数，
所以等差数列的中位数和平均数相等，故A 正确；
对于B，由⽅差的性质可知，，所以，故B 正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的⽔平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越⾼，故C 正确；
对于D，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1，故D 错误．故选：ABC．
已知，若
，则正确的是（）
B.
C. 除以 6 所得余数为 5D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，已知式变为，可求得判断A；令，⼆项式化为，可求得判断B；
,利⽤⼆项式展开式可判断除以 6 所得余数，判断C；
⼆项式两边都对 求导后令可求得，从⽽判断D．
【详解】令，得∴，所以A 正确；
令∴ ，所以，所以B 错误；由A 知，
所以，
所以除以 6 的余数为 5，C 正确；
对于D，由，
两边求导可得，
令，得，所以D 正确．
故选：ACD
已知，下列说法正确的是（）
在处的切线⽅程为B. 的单调递减区间为
C. 的极⼤值为D. ⽅程有两个不同的解
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利⽤导数的⼏何意义求解，对于B，求导后，由导数⼩于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断
【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线⽅程为，所以A 错误，
对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B 正确，
对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极⼤值，所以C 正确，
对于D，由C 选项可知的最⼤值为，且当时，，当时，
， 所以函数与的交点个数为 1，所以有 1 个解，所以D 错误，故选：BC

三、填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分．
已知为等差数列，，则．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利⽤等差数列的下标性质求解即可.
【详解】因为是等差数列且，
所以，由等差数列的性质可得,故答案为 2.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属容易题．等差数列的性质:若，则 ．
已知某地市场上供应的⼀种电⼦产品中，甲⼚产品占 80%，⼄⼚产品占 20%，甲⼚产品的合格率是 70%，
⼄⼚产品的合格率是 80%，则从该地市场上买到⼀个合格产品的概率是.
【答案】0.72##
【解析】
【分析】利⽤全概率公式求解从该地市场上买到⼀个合格产品的概率，需要先确定不同⼚家产品的概率以及在各⼚家产品条件下买到合格产品的概率，再根据全概率公式计算最终结果.
【详解】设“买到的产品是甲⼚产品”为事件，“买到的产品是⼄⼚产品”为事件.
已知甲⼚产品占，⼄⼚产品占，所以，.
记“从该地市场上买到⼀个合格产品”为事件.
因为甲⼚产品合格率是，所以在买到甲⼚产品的条件下，产品合格的概率；
⼜因为⼄⼚产品的合格率是，所以在买到⼄⼚产品的条件下，产品合格的概率.
根据全概率公式.
将，，，代⼊上式可得：
故答案为：.
若不等式（ 是⾃然对数的底数）对任意恒成⽴，则当取最⼤值时，实数.

当时，，所以函数单调递增，所以函数有最⼩值为，
⽽为单调递减的直线，如图，
此时不恒成⽴，不符合题意；当时，，
令，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
且由于函数有最⼩值为，所以当时，⽅程有解，设解为，则，且，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，令
，可知当
时符合题意，利⽤导数可得函数的单
调性和最⼩值
，其中，令最⼩值⼤于或等于 0，
进⽽得解.
【详解】由题意可知
，令
，
当时，研究函数
与
的图象，
因为，当
时，
，所以函数
单调递减，
所以的最⼩值为，
由题意恒成⽴，所以，所以，
当且仅当时取等号，此时.
【点睛】关键点点睛：利⽤导数可知⽅程有解，设解为，则，从⽽表示出的最⼩值，进⽽求解.
四、解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
已知等差数列的公差不为零，，且，，成等⽐数列．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，数列的前项和为，若，求的最⼤值．
【答案】（1）
（2）98
【解析】
【分析】（1）利⽤等差数列性质列⽅程，设公差求解，舍去，再⽤通项公式求.
（2）先求，对裂项，⽤裂项相消法算，根据解不等式求最⼤值.
【⼩问 1 详解】
设的公差为，则
，解得或（舍去）
即的通项公式为；
【⼩问 2 详解】
，，
由，即，解得 的最⼤值为 98．
某种机械设备随着使⽤年限的增加，它的使⽤功能逐渐减退，使⽤价值逐年减少，通常把它使⽤价值逐年减少的“量”换算成费⽤，称之为“失效费”．某种机械设备的使⽤年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱．
（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性⼀般； ，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到 0.0001）
求关于的线性回归⽅程，并估算该种机械设备使⽤ 10 年的失效费．
附：样本的相关系数，经验回归⽅程的
斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为，．
【答案】（1），线性相关性很强
（2），8.5 万元
【解析】
【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代⼊公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可；
使⽤年限（单位：年）
2
4
5
6
8
失效费（单位：万元）
3
4
5
6
7
（2）根据第⼀问求得的值，结合线性回归⽅程求解公式求得参数，写出回归⽅程，并预测 10 年的失效费即可.
【⼩问 1 详解】
由表知，，，
，
，，
，
故，认为与线性相关性很强；
【⼩问 2 详解】
由（1）知，，
⼜，，
故关于的线性回归⽅程为，
当时，，即估算 10 年的失效费为 8.5 万元．
据世界⽥联官⽅⽹站消息，原定于 2023 年 5 ⽉⽇在中国⼴州举办的世界⽥联接⼒赛延期⾄ 2025
年 4 ⽉⾄ 5 ⽉举⾏.据了解，甲､⼄､丙三⽀队伍将会参加 2025 年 4 ⽉⾄ 5 ⽉在⼴州举⾏的⽶接⼒的
⻆逐.接⼒赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进⼊决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和；⼄队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和 .
甲､⼄､丙三队中，谁进⼊决赛的可能性最⼤；
设甲､⼄､丙三队中进⼊决赛的队伍数为，求的分布列.
【答案】（1）⼄进⼊决赛的可能性最⼤
（2）答案⻅解析
【解析】
【分析】（1）根据相互独⽴事件同时发⽣的概率公式计算得解；
（2）根据（1）及相互独⽴事件同时发⽣的概率公式计算，列出分布列.
【⼩问 1 详解】
甲队进⼊决赛的概率为，
⼄队进⼊决赛的概率为，
丙队进⼊决赛的概率为，
显然⼄队进⼊决赛的概率最⼤，所以⼄进⼊决赛的可能性最⼤．
【⼩问 2 详解】
由（1）可知：甲､⼄､丙三队进⼊决赛的概率分别为，的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
已知（e 为⾃然对数的底数）
求曲线在点处的切线⽅程；
0
1
2
3
求证：当时，恒成⽴；
已知，如果当时，恒成⽴，求的最⼤值.
【答案】（1）
（2）证明⻅解析（3）
【解析】
【分析】（1）求导，然后利⽤导数的⼏何意义求切线⽅程；
将不等式转化为恒成⽴，构造函数，，然后求其最⼩值即可；
将不等式转化为恒成⽴，构造函数，然后求导研究其最值即可.
【⼩问 1 详解】
由已知，
则，，
所以曲线在点处的切线⽅程为；
【⼩问 2 详解】
，
设，，
则，所以在上单调递增，
所以，即，所以当时，恒成⽴；
【⼩问 3 详解】
当，时，，
令，，则，
令，则，所以在上单调递增，
令，得，令，得，
当，即时，在上单调递增，所以，即恒成⽴，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合恒成⽴，
所以，
所以当时，恒成⽴，的最⼤值为 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是等价转化为证明在上恒成⽴，然后再设新函数，利⽤导数得到范围.
⻢尔可夫链是因俄国数学家安德烈·⻢尔可夫得名，其过程具备“⽆记忆”性质，即第次状态的概
率分布只跟第 次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，⻝堂从开学第⼀天起，每餐只推出即点即取的⽶饭套餐和⾯⻝套餐．已知某同学每天中午会在⻝堂提供的两种套餐中选择，已知他第⼀天选择⽶饭套餐的概率为，⽽前⼀天选择了⽶饭套餐后⼀天继续选择⽶饭套餐的概率为，前⼀天选择⾯⻝套餐后继续选择⾯⻝套餐的概率为，如此往复．
求该同学第⼆天中午选择⽶饭套餐的概率；
记该同学第天选择⽶饭套餐的概率为；
①证明：为等⽐数列；
②当时，恒成⽴，求取值范围．
【答案】（1）
（2）①证明⻅解析；②
【解析】
【分析】（1）设为“第 天选择⽶饭套餐”，为“第天选择⽶饭套餐”，根据条件求出
，再利⽤全概率公式，即可求解；
（2）①设为“第天选择⽶饭套餐”，根据条件得到，
，利⽤全概率公式得到，即可证明结果；②由①得到，再对分类讨论，利⽤单调性，即可求解.
【⼩问 1 详解】
设为“第 天选择⽶饭套餐”，为“第天选择⽶饭套餐”，则为“第 1 天不选择⽶饭套餐”，
当为正偶数时，
因此，当时，，所以．
【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的第①问，利⽤全概率公式得到，即可求解.根据题意
，
由全概率公式得：
【⼩问 2 详解】
①设为“第天选择⽶饭套餐”，则
，
.
根据题意，
由全概率公式得：
，
因此，因为，
所以是以为⾸，为公⽐的等⽐数列．
②由①可得，
当为⼤于 的奇数时，