四川省眉山市仁寿县第一中学（北校区）2025-2026学年高一上学期第三次质量检测考试数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合并集运算法则可得答案.
【详解】因为 ，
则 .
故选：D
2. 已知 ，且 为第二象限角，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用同角三角函数关系计算求解即可.
【详解】因为 为第二象限角,又因为 ,
所以
故选：C.
3. 已知 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据函数 的解析式由内到外逐层计算可得 的值.
【详解】因为 ，则 ，
故 .
故选：D.
4. 已知圆心角为 的扇形半径是 3，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
【详解】由题意在扇形中，弧长
扇形面积 .
故选：C.
5. 函数 的零点一定位于区间（ ）内.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数 、 在 上均为增函数，故函数 在 上为增函数，
因为 ， ， ，则 ，
由零点存在定理可知，函数 的零点一定位于区间 内.
故选：B.
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减，若 ，则
实数 的取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数的单调性可得 在 上单调递增，然后将不等式化简，结合对数函数的单调性
求解，即可得到结果.
【详解】因为定义在 R 上的偶函数 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
所以不等式 即 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
故选：C
7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间 后
的温度 将满足 ，其中 是环境温度， 称为半衰期.现有一杯 的热茶，放置
在 的房间中，如果热茶降温到 ，需要 10 分钟，则欲降温到 ，大约需要（ ）分钟.（参
考数据 ， ）
A. 16 分钟 B. 20 分钟
C. 24 分钟 D. 26 分钟
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件求出 ，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.
【详解】根据题意可得 ，解得 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 ,
故大约需要 26 分钟，
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故选：D.
8. 已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，则转化为 ，函数 有三个不
同的零点，转化为 有两个根，一个根在 另一根在 ，根据二次方程根
的分布即可求解.
【详解】令 ，则 ，由函数 有三个不同的
零点，
转化为 有两个零点，一个零点 或另一个零点 ，则
，
则一元二次方程 的两根为 ，即 的一个根在 另
一根在 ，
令 ，则有 ，
即实数 的取值范围为 ，
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
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项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知点 在幂函数 的图象上，则 （ ）
A. 偶函数 B. 奇函数
C. 上单调递减 D. 在 上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】代入点的坐标求解 ，即可根据奇偶性的定义判断 AB，根据基本函数的单调性判断
CD.
【详解】设幂函数 ，代入 可得 ，
故 ，因此 ，
对于 A，由于函数的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，故 为奇函数，
且 在 上单调递减,故 AD 错误，BC 正确.
故选：BC.
10. 已知函数 （e 为自然对数的底数），则（ ）
A. 函数 的定义域为 B. 函数 是增函数
C. 函数 是奇函数 D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据对数的定义，结合奇函数的定义、函数单调性的性质逐一判断即可.
【详解】由 ，因此选项 A 正确；
，
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当 时，函数 ， 单调递增，
所以 也单调递增，因此选项 B 正确；
因为 ，所以函数 是不是奇函数，选项 C 不正确；
由上可得 ，因为函数 是 增函数，
所以有 且 ，因此选项 D 不正确，
故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题 关键是利用函数单调性的性质进行求解.
11. 已知函数 .（其中 为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ）
A. 是奇函数
B.
C. 函数 是单调递增函数
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】化简 ，根据函数奇偶性的定义可判断 A；代入计算可判断 B；化简
，根据函数解析式可直接判断 C；代入计算可判断 D.
【详解】对于 A， ，
令 ，定义域为 ，
因为 ，
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所以 是奇函数，故 A 正确；
对于 B，因为 ， ，
所以 ，故 B 错误；
对于 C，
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
所以函数 在 上是增函数，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 不
正确；
故选：AC
二、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 5 分.
12. 函数 的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式和分式的意义可得.
【详解】函数 ，
则 ，得 且 ，
所以函数定义域为 .
故答案为：
13. 已知 ，则 ______.
【答案】 ##
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【解析】
【分析】将原式分母化为 ，再利用正弦余弦齐次式，弦化切后即可代入求解.
【详解】
，
故答案为： .
14. 已知函数 ，若关于 的方程 恰有三个实数根，则 的取值范围为
___________________________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得函数 与 的图象的交点个数为 ，作函数 的图象，观察
图象可得结论.
【详解】关于 的方程 恰有三个实数根等价于函数 与 的图象的交点个数为 ，
作出 的图象，由图可知两个函数图象有 个交点时， 的取值范围为
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）在直角坐标系内，已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于
点 ，求值： .
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（2）若 ，求 的值.
（3）求值： .
【答案】（1） （2） （3）2
【解析】
【分析】（1）利用三角函数定义得到 的值，代入可得答案；
（2）平方，利用同角的三角函数值可得答案；
（3）利用对数运算法则化简即可.
【详解】（1）由三角函数的定义可得 ，
所以 .
（2）因 ，
两边同时平方得到 ，
整理得到 ，所以 .
（3） ，
，
.
16. 已知集合 ，且 .
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
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【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解.
（2）由（1）求出集合 D，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，解得 或 ，
当 时， ，不符合题意；当 时，符合题意，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）得， ，由 ，得 ，
①若 ，此时 ，即 ，符合题意；
②若 ，由 ，则 ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 .
17. 随着生活水平的提高，单人写真、旅行跟拍、家庭摄影等逐渐成为了平价且普遍的消费.某大型摄影工
作室现计划投入 80 万元升级拍摄设备，同时由于需要更新道具、租用场地、招收员工、提升技术等，每年
额外还有一笔持续的支出.结合经验，该工作室预测未来五年内的收支情况为：除升级设备的花费外，前
年总共的额外持续支出约为 万元，且平均每年的营业额约 80 万元.
（1）求工作室未来五年内的前 年的总利润 （单位：万元）；
（2）在未来五年内，对于部分摄影设备，该工作室有两种决策方案.
方案一：当总利润达到最大值时，将这些摄影设备以 52 万元的价格售出；
方案二：当平均年利润达到最大值时，将这些摄影设备以 72 万元的价格售出.
假设设备均能按预期价格顺利售出，该工作室应采取哪种方案？具体如何决策？说明理由.
【答案】（1） 且 ；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意中营业额减去额外持续支出，再减去开始时计划投入，即得到结果.
（2）方案一根据二次函数性质求出最值.方案二根据基本不等式求出结果.
【小问 1 详解】
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依题意可得 ，
且 ；
【小问 2 详解】
方案一：
且 ，...
∴当 或 时， 取得最大值 110，
此时处理掉设备，则总利润为 万元，
方案二：
平均年利润为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 时，平均年利润最大，
此时 ，若此时处理掉设备，总利润为 万元；
综上，两种方案获利都是 162 万元，但方案二仅需要 3 年即可，而方案一至少需要 4 年，故该工作室应采
取方案二，在 3 年后将这些摄影设备以 72 万元的价格售出.
18. 已知函数 ．
（1）判断函数 的奇偶性并证明；
（2）判断函数 在区间 上的单调性并用定义法证明；
（3）若 都有 成立，求正实数 的取值范围．
【答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性的定义即可判断；
（2）利用给定条件结合定义法证明单调性；
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（3）根据题意， 和 对于 恒成立，求 的取值范围．
【小问 1 详解】
函数 为偶函数，证明如下：
要使函数 f（x）有意义，则 解得 ，
故函数 的定义域为 ，关于原点对称．
对任意 ，则 ，
所以 ，
所以函数 为偶函数．
【小问 2 详解】
函数 在区间 上单调递减，证明如下：
设 ，设 ，
，
根据复合函数单调性可知， ，
故 在区间 单调递减．
【小问 3 详解】
若 都有 成立，
即 对于 恒成立，即 ，解得 ①，
又 ，则 对于 恒成立，
即 ，也就是 对于 恒成立，
设 ，开口向上，且 ，
则 ，解得 ②，
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由①和②得
【点睛】关键点点睛： 对于 恒成立，也就是 对于
恒成立，转化为二次函数在区间上的恒成立问题.
19. 已知函数 （ 为实数）是奇函数.
（1）求 的值；
（2）解不等式： ；
（3）若实数 满足 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解；
（2）将不等式等价化简得 ，然后结合对数概念利用指数函数单调性解不等式即可；
（3）由复合函数的单调性判断，并用定义证明，然后由奇偶性变形，由单调性化简，解一元二次不等式即
可得解．
【小问 1 详解】
由题意函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
即 ，整理得 恒成立，即 ．
所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，则 ，
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所以 ，由函数单调递增得 ，所以原不等式的解集为 ；
【小问 3 详解】
由（1）可得 ；
取任意 ，且 ，
则
，
因为 ，所以 ，又易知 ，
所以 ，即 ；
因此函数 为单调递减函数；
由 可得 ；
由 为单调递减可知 ，即 ，
解得 ，所以 的取值范围为 .
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