6.1.3方差 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：6.1.3 方差副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：之前我们学习了平均数（算术平均数、加权平均数），它能反映数据的 “平均水平”，但无法描述数据的 “波动情况”—— 比如两组数据 “85、88、91” 和 “70、88、106”，平均成绩都是 88 分，但前者成绩稳定，后者波动极大。今天我们学习的 “方差”，就是专门衡量数据离散程度（波动大小）的统计量，通过方差能清晰判断数据的稳定性！幻灯片 2：学习目标理解方差的定义，明确方差的作用（衡量数据相对于平均数的离散程度，即波动大小）。掌握方差的计算公式（针对未分组数据），能按步骤准确计算一组数据的方差。理解方差与数据稳定性的关系（方差越小，数据越稳定；方差越大，数据波动越大），能结合实际问题（如成绩稳定性、产品质量波动）用方差分析数据，提升数据解读的深度。幻灯片 3：知识回顾与情境导入（引出方差）1. 知识回顾算术平均数：\(\bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\)，反映数据的平均水平；实例回顾：两组数据：组 A：85、88、91（平均分为 88 分）；组 B：70、88、106（平均分为 88 分）。2. 情境导入：数据波动的差异问题 1：两组数据的平均分相同，为什么实际表现差异很大？（答案：组 A 数据集中在 88 分附近，波动小；组 B 数据偏离 88 分较远，波动大）；问题 2：如何用一个数值量化这种 “波动大小”？（需要一个统计量，计算每个数据与平均数的偏离程度，再综合这些偏离程度得到波动指标 —— 方差）。3. 提出问题如何计算数据与平均数的偏离程度？直接用 “数据 - 平均数” 会出现正负抵消（如组 A 中 85-88=-3，91-88=+3，相加为 0），无法体现总偏离；因此需先平方消除正负，再计算平均偏离程度 —— 这就是方差的核心思路。幻灯片 4：探究活动 1：方差的定义与计算公式1. 方差的定义设一组数据为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，其算术平均数为\(\bar{x}\)，则每个数据与平均数的差的平方分别为\((x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, ..., (x_n-\bar{x})^2\)，这些平方差的算术平均数，叫做这组数据的方差，通常用符号 “\(s^2\)” 表示。2. 方差的计算公式（针对未分组数据）**\(s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + ... + (x_n-\bar{x})^2\right]\)公式解读：第一步：计算数据的算术平均数\(\bar{x}\)；第二步：计算每个数据与平均数的差\(x_i - \bar{x}\)；第三步：将差平方，得到\((x_i - \bar{x})^2\)（消除正负，放大偏离程度）；第四步：计算这些平方差的算术平均数，即为方差。3. 方差的单位与意义单位：方差的单位是原数据单位的平方（如数据单位是 “分”，方差单位是 “分 ²”），仅用于衡量波动，不代表实际物理意义；意义：方差越小：数据与平均数的偏离越小，数据越集中，波动越小，稳定性越强；方差越大：数据与平均数的偏离越大，数据越分散，波动越大，稳定性越弱。幻灯片 5：探究活动 2：方差的计算步骤（实例演示）例题 1：计算两组数据的方差，比较稳定性计算组 A（85、88、91）和组 B（70、88、106）的方差，并判断哪组数据更稳定。第一步：计算两组数据的算术平均数\(\bar{x}\)组 A：\(\bar{x}_A = \frac{85+88+91}{3} = 88\)（分）；组 B：\(\bar{x}_B = \frac{70+88+106}{3} = 88\)（分）。第二步：计算每个数据与平均数的差的平方组 A：\( (85 - 88)^2 = (-3)^2 = 9 \)；\( (88 - 88)^2 = 0^2 = 0 \)；\( (91 - 88)^2 = 3^2 = 9 \)；组 B：\( (70 - 88)^2 = (-18)^2 = 324 \)；\( (88 - 88)^2 = 0^2 = 0 \)；\( (106 - 88)^2 = 18^2 = 324 \)。第三步：计算平方差的算术平均数（方差）组 A 方差：\( s_A^2 = \frac{1}{3}(9 + 0 + 9) = \frac{18}{3} = 6 \)（分 ²）；组 B 方差：\( s_B^2 = \frac{1}{3}(324 + 0 + 324) = \frac{648}{3} = 216 \)（分 ²）。第四步：分析数据稳定性因\( s_A^2 = 6 < s_B^2 = 216 \)，组 A 的方差更小，数据波动更小，成绩更稳定。幻灯片 6：探究活动 3：方差计算的注意事项与拓展1. 方差计算的易错点易错点 1：忘记先算平均数，直接计算平方差的平均（如组 A 中直接算\(\frac{85^2+88^2+91^2}{3}\)，结果错误）；易错点 2：平方时符号错误（如\(70-88=-18\)，平方后为 324，易误算为 - 324）；易错点 3：最后忘记除以数据个数 n（如组 A 中算完 9+0+9=18，直接作为方差，忽略除以 3）。2. 标准差（方差的算术平方根）定义：方差的算术平方根叫做标准差，用 “s” 表示，公式为\( s = \sqrt{s^2} \)；意义：标准差的单位与原数据单位一致（如组 A 标准差\( s_A = \sqrt{6} ≈ 2.45 \)分），更易直观理解波动程度；关系：标准差与方差的稳定性判断结果一致（标准差越小，数据越稳定）。3. 实例应用（标准差）组 A 标准差\( s_A ≈ 2.45 \)分，组 B 标准差\( s_B = \sqrt{216} ≈ 14.7 \)分，组 A 标准差更小，稳定性更强（与方差结论一致）。幻灯片 7：学生活动：小组合作计算方差并分析稳定性活动任务：小组合作完成以下任务：现有两名运动员的 5 次 100 米短跑成绩（单位：秒）：运动员甲：10.8、10.9、11.0、11.1、11.2；运动员乙：10.5、10.7、11.0、11.3、11.5；（1）分别计算两名运动员成绩的算术平均数；（2）分别计算两名运动员成绩的方差；（3）根据方差判断哪位运动员的成绩更稳定，更适合参加比赛；讨论：方差的大小与数据稳定性的具体关系，举例说明生活中需要用方差分析稳定性的场景（如产品质量、股票波动）。参考解答：（1）甲的平均数\(\bar{x}_甲 = \frac{10.8+10.9+11.0+11.1+11.2}{5} = 11.0\)秒；乙的平均数\(\bar{x}_乙 = 11.0\)秒；（2）甲的方差\(s_甲^2 = \frac{1}{5}[(10.8-11.0)^2 + ... + (11.2-11.0)^2] = \frac{1}{5}(0.04+0.01+0+0.01+0.04) = 0.02\)秒 ²；乙的方差\(s_乙^2 = \frac{1}{5}[(10.5-11.0)^2 + ... + (11.5-11.0)^2] = \frac{1}{5}(0.25+0.09+0+0.09+0.25) = 0.136\)秒 ²；（3）因\(s_甲^2 < s_乙^2\)，甲运动员成绩更稳定，更适合参加比赛；教师指导：引导学生严格按 “算平均数→算差→平方→算平均” 步骤计算，避免计算错误；重点关注方差大小与稳定性的对应关系，理解 “方差小 = 波动小 = 稳定” 的逻辑。幻灯片 8：随堂练习计算一组数据 “5、6、7、8、9” 的方差和标准差（结果保留两位小数）。解答：平均数\(\bar{x} = 7\)；方差\(s^2 = \frac{1}{5}[(5-7)^2 + (6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (9-7)^2] = \frac{1}{5}(4+1+0+1+4) = 2\)；标准差\(s = \sqrt{2} ≈ 1.41\)。两组数据：组 1：12、13、14、15、16（方差\(s_1^2\)）；组 2：10、13、14、15、18（方差\(s_2^2\)）；比较\(s_1^2\)与\(s_2^2\)的大小，说明哪组数据更稳定。解答：两组平均数均为 14；\(s_1^2 = \frac{1}{5}[(12-14)^2+...+(16-14)^2] = 2\)；\(s_2^2 = \frac{1}{5}[(10-14)^2+...+(18-14)^2] = 8\)；\(s_1^2 < s_2^2\)，组 1 数据更稳定。某品牌手表的日走时误差（单位：秒）：-2、-1、0、1、2，求该品牌手表日走时误差的方差，判断其走时稳定性（方差越小，走时越稳定）。解答：平均数\(\bar{x} = 0\)；方差\(s^2 = \frac{1}{5}[(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2] = 2\)；方差较小，走时较稳定。幻灯片 9：课堂小结核心概念与公式：方差：衡量数据离散程度（波动大小）的统计量，公式为\( s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \)；标准差：\( s = \sqrt{s^2} \)，单位与原数据一致，更易直观理解；计算步骤：算平均数→算每个数据与平均数的差→差的平方→平方差的平均数（方差）。关键关系：方差与数据稳定性：方差越小 → 数据越集中，波动越小 → 稳定性越强；方差越大 → 数据越分散，波动越大 → 稳定性越弱；注意：方差需结合平均数分析，仅当两组数据平均数相近时，方差的稳定性对比才有效。数学思想：统计思想：用方差量化数据的波动特征，实现从 “定性描述”（波动大 / 小）到 “定量分析”（具体数值）的转变；数形结合（后续）：通过折线图直观观察数据波动，结合方差数值验证，深化对数据特征的理解。幻灯片 10：课后作业基础题：（1）计算数据 “90、92、94、96、98” 的方差和标准差；（2）两组数据：组 A（7、8、9、10、11）和组 B（5、8、10、11、11），分别计算方差，判断哪组数据更稳定。提升题：（1）已知一组数据\(x_1, x_2, x_3\)的平均数为 5，方差为 2，求数据\(2x_1+1, 2x_2+1, 2x_3+1\)的方差（提示：数据线性变换后，方差变为原方差 × 系数 ²，平均数变为原平均数 × 系数 + 常数）；（2）某车间生产的零件直径（单位：mm）：19.8、20.0、20.2、19.9、20.1，求零件直径的方差，若标准直径为 20.0mm，判断该车间零件直径的波动是否较小（方差 < 0.02 为波动小）。实践题：记录自己一周内每天的睡眠时间（单位：小时），计算睡眠时间的方差，分析自己的睡眠是否稳定；若波动较大（方差 > 1），思考如何调整作息以提高睡眠稳定性。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 探究 为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分. 某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也相近.极差、方差、标准差的概念质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，质量（单位：g）如下：甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75 80 71 76 77 73 78 71 76 73 75 把这些数据表示成下图： （1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗？（2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图上画出表示平均质量的直线.甲、乙两厂被抽鸡腿的平均质量约为75g. (3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？解：甲厂：最大值78g，最小值72g，相差6g； 乙厂：最大值80g，最小值71g，相差9g；解：平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映个体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求. 现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况.极差就是刻画数据离散程度的一个统计量. 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定. 如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，它们的质量数据如图： (1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？丙厂这20只鸡腿质量的平均数为75.1克，极差是7克.（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？可分别用这20只鸡腿的质量与其平均数差的绝对值刻画.（3）分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距．甲厂的差距依次是：0 1 1 1 2 1 0 2 2 1 1 0 0 1 2 1 2 3 2 3丙厂的差距依次是： 0.1 1.1 2.1 2.9 3.1 0.9 1.1 0.9 1.1 0.1 1.1 3.1 2.1 3.1 2.9 0.9 1.9 1.9 1.9 3.9甲厂丙厂（4）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？ 差距和较小甲厂的差距依次是：0 1 1 1 2 1 0 2 2 1 1 0 0 1 2 1 2 3 2 3丙厂的差距依次是： 0.1 1.1 2.1 2.9 3.1 0.9 1.1 0.9 1.1 0.1 1.1 3.1 2.1 3.1 2.9 0.9 1.9 1.9 1.9 3.9甲厂丙厂差距和较大 数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画. 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数, 即 一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定. 计算出从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差？ 甲厂20只鸡腿质量的方差:2.5.解：甲厂20只鸡腿的平均质量:=2.5.或 =75（g）.甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72例 （1）计算出从丙厂抽取的20只鸡腿质量的方差？ （2）根据计算的结果，你认为甲、丙两厂的产品哪个更符合规格？丙厂:解：(1)(2)因为S2甲＜ S2丙 ，所以甲厂更符合规定.探究新知做一做　　哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？　　例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是： 利用加权平均数方差解答实际问题解:甲、乙两团演员的平均身高分别是方法一：方差分别是方法二：解: 取 a = 165 甲芭蕾舞团数据为： -2，-1， -1， 0，0，1，1，2乙芭蕾舞团数据为： -2，0，0，1，1，2，3，3求两组新数据方差.求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：1.任取一个基准数a；2.将原数据减去a，得到一组新数据；3.求新数据的方差.知识点1 离差平方和 36 返回2.［2025长沙月考］教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，这5次投篮测试中投中的个数分别为6，7，8，7，7，则这5次测试王亮成绩的离差平方和为___。2 返回知识点2 方差、标准差 CA.个数和方差B.平均数和个数C.个数和平均数D.方差和平均数 返回4.若一组数据为2，3，3，4，则这组数据的方差为( )DA.1B.0.8C.0.6D.0.5 返回5.若一组数据的方差是2，则其标准差是( )D  返回 甲 返回 96分10 返回8.一组数据7，9，11，11，15，若将每个数据都加20，下列不会改变的量是( )BA.平均数B.方差C.众数D.以上均是 返回 8 返回 （1）根据所给数据填写上表； （2）哪组学生中的跳绳水平差距更小？ （3）如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93，小明认为乙组的平均数和方差都不会发生改变。你认为小明的说法对吗？请说出你的理由。解：不对，理由如下：因为乙组的平均数为93，所以如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93，则平均数不会变化；而增加这名学生后的方差为 所以方差会发生改变，所以小明的说法不对。 返回1.极差的定义： 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.2.方差的定义： 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即其中，x是x1，x2 ，… ，xn的平均数，是方差.3.标准差的定义： 标准差是方差的算术平方根.4.数据的稳定性： 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！