7.1.2 认识证明-定义与命题 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：7.1.2 认识证明 —— 定义与命题副标题：2024 北师大版八年级数学（推理与证明基础）授课人：[授课人姓名]衔接提示：上节课我们明白了 “为什么要证明”，而证明的前提是清晰理解 “什么是定义”“什么是命题”—— 定义为我们明确研究对象的特征，命题则是需要判断真假、需要证明的语句。今天我们就深入学习定义与命题的核心知识，为后续严谨的数学证明搭好 “基石”！幻灯片 2：学习目标理解定义的概念，能识别并举例说明数学中的定义，明确定义的作用（规范术语、明确对象特征）。掌握命题的概念，能区分语句是否为命题；理解命题的结构（题设与结论），能将命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式。知道命题的分类（真命题与假命题），能通过举反例判断假命题，初步体会命题真假判断与证明的关联。幻灯片 3：探究活动 1：认识 “定义”—— 明确对象的特征1. 定义的概念在数学中，为了明确研究对象的本质特征，我们会对相关术语或概念给出严格、规范的描述，这种描述就叫做 “定义”。通俗来说：定义就是 “给概念下准确的‘身份说明’”，让所有人对同一概念有统一的理解，避免歧义。2. 数学中常见的定义举例概念定义有理数整数（正整数、0、负整数）和分数统称为有理数平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程3. 定义的核心作用规范术语：让不同人讨论同一概念时，基于相同的标准（如提到 “平行四边形”，所有人都知道是 “两组对边分别平行的四边形”）；明确研究范围：通过定义确定概念的 “边界”（如 “有理数” 不包含无限不循环小数，这由定义明确）；作为证明的依据：在后续证明中，我们会根据定义判断一个对象是否属于某类概念（如判断一个四边形是否为平行四边形，需依据 “两组对边分别平行” 的定义）。4. 小练习：判断是否为定义下列语句中，哪些是定义？（1）三角形有三条边；（2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；（3）对顶角相等；（4）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。答案：（2）（4）是定义，（1）是三角形的基本性质，（3）是对顶角的性质，均不是定义。幻灯片 4：探究活动 2：认识 “命题”—— 判断真假的语句1. 命题的概念在数学中，我们把能判断真假的陈述句叫做命题。关键词解析：“能判断真假”：这句话要么是真的（正确的），要么是假的（错误的），不存在 “无法判断” 或 “既真又假” 的情况；“陈述句”：祈使句（如 “画一条直线”）、疑问句（如 “这是三角形吗？”）、感叹句（如 “这个图形真漂亮！”）均不是命题。2. 命题的识别举例语句是否为命题理由平行四边形的对边相等是陈述句，能判断为真若 a > b，则 a² > b²是陈述句，能判断为假（如 a=1，b=-2 时不成立）画一个半径为 2cm 的圆否祈使句，无法判断真假今天的天气真好啊！否感叹句，无法判断真假三角形的内角和是多少度？否疑问句，无法判断真假3. 命题的结构：题设与结论所有命题都可以拆分为 “题设” 和 “结论” 两部分：题设：命题中给出的 “条件”，即 “已知什么”，通常用 “如果” 引导；结论：命题中根据条件得出的 “结果”，即 “推出什么”，通常用 “那么” 引导。4. 命题的改写：“如果…… 那么……” 形式很多命题的题设和结论不明显，需要通过改写让结构清晰，步骤如下：找出命题中的 “条件” 和 “结果”；在条件前加 “如果”，在结果前加 “那么”，连接成完整的陈述句。5. 改写实例原命题 1：“平行四边形的对边相等”；改写：如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边相等；题设：一个四边形是平行四边形；结论：它的对边相等。原命题 2：“对顶角相等”；改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等。原命题 3：“若 a> b，b > c，则 a > c”；改写：如果 a > b 且 b > c，那么 a > c；题设：a > b 且 b > c；结论：a > c。幻灯片 5：探究活动 3：命题的分类 —— 真命题与假命题1. 真命题如果一个命题的题设成立时，结论一定成立，那么这个命题叫做真命题。举例：“对顶角相等”：只要两个角是对顶角（题设成立），它们就一定相等（结论成立），是真命题；“三角形的内角和是 180°”：任意三角形（题设成立），内角和都为 180°（结论成立），是真命题。真命题的验证：简单的真命题可通过直接推理或实验验证；复杂的真命题（如定理）需要通过严格的数学证明确认其真实性。2. 假命题如果一个命题的题设成立时，结论不一定成立（或一定不成立），那么这个命题叫做假命题。举例：“若 a> b，则 a² > b²”：当 a=1，b=-2 时，题设 a > b 成立，但结论 a² > b² 不成立，是假命题；“所有的质数都是奇数”：2 是质数（题设成立），但 2 是偶数（结论不成立），是假命题。假命题的判断：判断一个命题为假命题，只需找到一个 “反例”—— 即满足题设条件，但不满足结论的具体例子。3. 反例的构造方法构造反例是判断假命题的核心方法，步骤如下：明确命题的题设和结论；找出一个满足题设条件的具体对象；验证该对象是否不满足结论，若不满足，则为反例。4. 构造反例实例命题：“如果一个四边形的两组对边分别相等，那么它是正方形”；反例：平行四边形的两组对边分别相等（满足题设），但平行四边形不是正方形（不满足结论），因此该命题是假命题。命题：“若 x² = 4，则 x = 2”；反例：当 x = -2 时，x² = 4（满足题设），但 x ≠ 2（不满足结论），因此该命题是假命题。幻灯片 6：学生活动：命题相关知识综合应用活动任务小组合作完成以下任务：（1）判断下列语句是否为命题，若是，改写成 “如果…… 那么……” 的形式，并指出题设和结论；若不是，说明理由：① 内错角相等；② 过直线外一点作直线的平行线；③ 若 x² = 9，则 x = ±3；（2）判断上述命题的真假，若是假命题，构造反例；（3）列举 2 个数学中的定义，并说明其作用。讨论：“所有的真命题都需要证明吗？”（提示：结合定义、基本事实、定理的区别思考）参考解答（1）① 是命题；改写：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；题设：两个角是内错角；结论：这两个角相等；② 不是命题；理由：祈使句，无法判断真假；③ 是命题；改写：如果 x² = 9，那么 x = ±3；题设：x² = 9；结论：x = ±3；（2）① 假命题；反例：当两直线不平行时，内错角不相等；③ 真命题；（3）定义举例：① “分式：形如\(\frac{A}{B}\)（A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式”，作用：明确分式的构成特征；② “全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，作用：规范全等三角形的判断标准；讨论结论：基本事实（如 “两点确定一条直线”）是公认的真命题，无需证明；定理（如 “三角形内角和 180°”）需要证明；定义本身是 “约定俗成的描述”，不算是需要证明的命题。教师指导引导学生注意改写命题时 “不改变原意”（如 “内错角相等” 不能改写为 “如果内错角，那么相等”，需补充完整主语）；构造反例时需确保 “满足题设、不满足结论”，避免反例无效（如判断 “内错角相等” 时，反例需明确 “两直线不平行” 的前提）。幻灯片 7：随堂练习下列语句中，属于命题的是（ ）A. 你好吗？ B. 画线段 AB = CD C. 正数都大于 0 D. 多么美丽的彩虹！解答：选 C。A 是疑问句，B 是祈使句，D 是感叹句，均不是命题；C 是陈述句，能判断为真，是命题。把命题 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行” 改写成 “如果…… 那么……” 的形式，并判断真假，若为假命题，举反例。解答：改写：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；假命题；反例：在空间中，两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线可能相交或异面（如长方体一个顶点处的三条棱）。判断命题 “若 | x| = |y|，则 x = y” 的真假，若是假命题，构造反例。解答：假命题；反例：当 x = 2，y = -2 时，|x| = |y| = 2，但 x ≠ y。幻灯片 8：课堂小结核心概念梳理：定义：对概念本质特征的规范描述，作用是规范术语、明确范围、作为证明依据；命题：能判断真假的陈述句，结构分为题设（条件）和结论（结果），可改写为 “如果…… 那么……” 形式；命题分类：真命题（题设成立则结论一定成立）、假命题（题设成立但结论不一定成立，可通过反例判断）。关键方法：命题识别：判断是否为 “能判断真假的陈述句”；命题改写：找准题设与结论，补充完整语句，不改变原意；假命题判断：构造 “满足题设、不满足结论” 的反例。与后续证明的关联：定义是证明的 “基础术语”，命题是证明的 “对象”—— 后续我们会学习如何通过逻辑推理，证明一个真命题的正确性，或通过反例否定一个假命题。幻灯片 9：课后作业基础题：（1）判断下列语句是否为命题，若是，改写成 “如果…… 那么……” 的形式，并指出题设和结论；若不是，说明理由：① 等腰三角形的两底角相等；② 请勿吸烟；③ 若 a + b = 0，则 a 与 b 互为相反数；（2）判断上述命题的真假，若是假命题，举反例。提升题：（1）已知命题 “若一个数是偶数，则它是 4 的倍数”，判断其真假，若为假命题，构造反例，并修改命题使其成为真命题；（2）思考：定义、命题、真命题、定理之间的关系（提示：用包含关系图表示）。实践题：收集 5 个数学课本中的定义和 5 个命题，分类整理成表格，标注命题的题设、结论及真假，下节课分享。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.哈!这个黑客终于被逮住了.是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…….这个黑客是个小偷吧？可能是个喜欢穿黑衣服的贼.可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行.例如:1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民” 是“ ”的定义;2. “两点之间 线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“ ”的定义;两点之间的距离中华人民共和国公民　 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义． 规定意义定义 下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2）对顶角相等；（3）无论n为怎样的自然数，式子 的值 都是质数；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（5）你喜欢数学吗？（6）作线段AB=CD.命题的定义：判断一件事情的句子.（1）（2）（3）（4）都是命题.你能再举几个例子吗？√√√√交流探究下面的语句中，哪些语句是命题？（1）你喜欢学习吗？（2）作线段AB=a.（3）平行用符号“∥”表示.一般情况下，疑问句不是命题，图形的作法不是命题，祈使句也不是命题！2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么 它就不是命题. 如：画线段AB=CD.1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.如：相等的角是对顶角.注意： 例 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：（1）对顶角相等吗？（2）画一条线段AB=2cm;（3）两条直线平行，同位角相等；（4）相等的两个角，一定是对顶角.解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.命题的识别观察下列命题，这些命题有什么共同的结构特征:（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（2）如果a=b，那么a2=b2；（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.命题的形式：如果……那么…….命题的结构：由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.“如果” 引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，条件和结论不明显，对于这样的命题，要经过分析才能找出条件和结论，也可以先将它们改写成“如果……那么……”的形式.注意：命题的条件部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.命题题设结论已知事项由已知事项推出的事项 两直线平行， 同位角相等题设（条件）结论命题的组成：例 分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式. (1)两点确定一条直线；(2)等角的补角相等；(3)内错角相等. 解：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线；(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等；(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.命题表述形式的变换 有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立.正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题.如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题.如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”就是一个正确的命题.注意：要说明一个命题是假命题，只需举一个反例.反例是指具备命题的条件，而不具有命题的结论的例子.知识点1 定义与命题的概念1.下列语句中，属于定义的是( )CA.对顶角相等B.作一条直线和已知直线垂直C.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线D.图形的平移不改变图形的形状和大小 返回 BA.①②③B.①②⑤C.①②④⑤D.①②④ 返回知识点2 命题结构3.命题“平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是___________________________________，结论是________________。 平面内的两条直线垂直于同一条直线这两条直线平行 返回 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数 返回知识点3 真、假命题5.下列四个命题，是真命题的是( )C  返回 A  返回   （2）有理数与数轴上的点一一对应； （3）同位角相等；解：假命题，反例：当两条直线不平行时，同位角不相等。（4）两个角的度数和等于直角的度数时，这两个角互为余角。解：真命题。 返回 BA.1B.2C.3D.4 返回 解：如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角相等。此命题是假命题。  返回定义与命题定义概念：判断一个事件的句子结构：如果……那么……分类：真命题、假命题命题必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！