6.1.1平均数与方差--众数与算术平均数 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：6.1.1 平均数与方差 —— 众数与算术平均数副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：在分析一组数据时，我们常常需要用 “代表值” 来概括数据的整体特征 —— 比如 “班级同学的平均身高”“最受欢迎的鞋码”。今天我们学习两种最基础的统计量：众数（反映数据的 “集中趋势”，即出现次数最多的值）和算术平均数（反映数据的 “平均水平”），掌握它们的计算与应用，就能快速提炼数据核心信息！幻灯片 2：学习目标理解众数和算术平均数的定义，能从一组数据中准确识别众数、计算算术平均数。掌握众数和算术平均数的特点（如众数可能不唯一、算术平均数易受极端值影响），明确两者的适用场景。能结合实际问题（如成绩分析、商品销售），用众数和算术平均数分析数据，体会统计量在生活中的应用价值，提升数据解读能力。幻灯片 3：知识回顾与情境导入1. 知识回顾统计相关概念：一组数据中，每个数值称为 “数据点”，数据的个数称为 “数据总量”；数据的集中趋势：描述数据向某一中心值靠拢的程度，常用统计量有众数、平均数、中位数（后续学习）。2. 情境导入：从生活场景认识两种统计量场景 1（众数）：某鞋店一周内销售的鞋码为：38、39、40、39、41、39、40、39、42。哪种鞋码卖得最多？（答案：39 码，出现 4 次，是出现次数最多的数）；场景 2（算术平均数）：小明期中考试语文 85 分、数学 92 分、英语 88 分，他三门学科的平均成绩是多少？（答案：(85+92+88)÷3=88.33 分，即三科成绩的 “平均值”）。3. 提出问题这两个场景中，“39 码” 和 “88.33 分” 分别代表数据的什么特征？如何定义和计算这两种统计量？幻灯片 4：探究活动 1：众数的定义、识别与特点1. 众数的定义一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。若一组数据中有多个数据出现的次数相同且最多，则这多个数据都是该组数据的众数（众数不唯一）；若一组数据中所有数据出现的次数都相同（如 1、2、3、4），则这组数据没有众数。2. 众数的识别步骤以数据 “5、3、7、3、9、3、8、5、3” 为例：统计每个数据的出现次数：3 出现 4 次，5 出现 2 次，7 出现 1 次，8 出现 1 次，9 出现 1 次；找出出现次数最多的数据：3 出现次数最多（4 次）；确定众数：该组数据的众数是 3。3. 众数的特点优点：易识别，只需统计数据出现次数，无需复杂计算；不受极端值影响（如数据 “1、2、3、3、100”，极端值 100 不改变众数 3）；适用于描述 “最普遍”“最受欢迎” 的情况（如鞋码、销量最高的商品型号）。缺点：可能不唯一（如数据 “2、2、3、3、4”，众数是 2 和 3）；不能反映数据的整体平均水平（如数据 “1、3、3、5”，众数 3 无法体现数据的平均为 3）。4. 实例应用（众数）例题 1：某班 10 名同学的身高（单位：cm）为：165、168、165、170、165、168、172、168、175、168。求这组数据的众数。解答：统计次数：165 出现 3 次，168 出现 4 次，170、172、175 各出现 1 次；众数是 168（出现次数最多）。幻灯片 5：探究活动 2：算术平均数的定义、计算与特点1. 算术平均数的定义一组数据中所有数据之和除以数据的个数，叫做这组数据的算术平均数，简称平均数，通常用符号 “\(\bar{x}\)”（读作 “x 拔”）表示。2. 算术平均数的计算公式若一组数据为\(x_1, x_2, x_3, ..., x_n\)（n 为数据总量），则算术平均数为：\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n}\)公式解读：分子是 “所有数据的和”，分母是 “数据的个数”，结果反映数据的 “平均水平”。3. 算术平均数的计算步骤以数据 “85、92、88、90、85”（5 个数据）为例：计算数据总和：85 + 92 + 88 + 90 + 85 = 440；确定数据个数：n = 5；代入公式计算：\(\bar{x} = \frac{440}{5} = 88\)；结果说明：这组数据的算术平均数是 88，代表数据的平均水平为 88。4. 算术平均数的特点优点：能反映数据的整体平均水平，利用了所有数据的信息（如平均成绩、平均工资）；计算明确，结果唯一（一组数据只有一个算术平均数）。缺点：易受极端值影响（如数据 “1、2、3、4、100”，算术平均数为 22，受极端值 100 影响，偏离大部分数据）；需计算所有数据的和，当数据量大时计算较繁琐（可借助计算器）。5. 实例应用（算术平均数）例题 2：某超市一周内每天的营业额（单位：元）为：5000、6200、4800、7500、6000、5800、6500。求这一周的平均日营业额。解答：总和 = 5000+6200+4800+7500+6000+5800+6500=41800；平均日营业额 =\(\frac{41800}{7} = 5971.43\)（元，保留两位小数）。幻灯片 6：对比分析：众数与算术平均数的适用场景统计量核心作用适用场景不适用场景示例众数反映 “最集中、最普遍” 的数据1. 描述最受欢迎的商品型号、鞋码；2. 投票选举中得票最多的候选人；3. 数据中存在极端值，需排除其影响时1. 需要反映数据整体平均水平（如平均成绩）；2. 数据分布均匀，无明显集中的数据某品牌手机销量最高的机型是 “Pro 版”（众数）算术平均数反映 “整体平均水平”1. 计算平均成绩、平均身高、平均工资；2. 衡量数据的整体趋势，利用所有数据信息1. 数据中存在极端值，且需避免其影响；2. 只需知道 “最普遍” 情况，无需平均水平某班学生的平均数学成绩为 85 分（算术平均数）实例对比（选择合适的统计量）问题 1：某服装店要进货，应参考哪种统计量确定进货的鞋码？（答案：众数，因为众数代表最畅销的鞋码，进货该尺码能减少库存）；问题 2：某公司要计算员工的平均月薪，用于制定薪资预算，应选择哪种统计量？（答案：算术平均数，因为平均数能反映员工薪资的整体平均水平，为预算提供依据）。幻灯片 7：学生活动：小组合作分析数据活动任务：小组内收集一组实际数据（如小组 5 名同学的数学成绩、一周内每天的睡眠时间、书包内书本的页数等）；完成以下任务：（1）列出收集的数据，统计每个数据的出现次数，找出众数（若有）；（2）计算这组数据的算术平均数；（3）讨论：针对你们收集的数据，众数和算术平均数分别能说明什么问题？哪种统计量更适合描述这组数据的核心特征？参考示例（以 “数学成绩” 为例）：数据：85、90、85、88、92；众数：85（出现 2 次，次数最多）；算术平均数：(85+90+85+88+92)÷5=88；讨论：众数 85 说明 “85 分是小组内最常见的成绩”，算术平均数 88 说明 “小组平均成绩为 88 分”；若想了解整体学习水平，用平均数更合适；若想了解最普遍的成绩，用众数更合适。教师指导：引导学生正确统计数据次数、计算平均数，重点关注 “众数可能不唯一”“平均数受极端值影响” 的情况，如数据中出现 “60、85、85、90、100”，极端值 60 和 100 对平均数的影响，以及众数仍为 85 的特点。幻灯片 8：随堂练习一组数据为：2、3、5、3、7、3、9、10。求这组数据的众数和算术平均数。解答：众数是 3（出现 3 次，次数最多）；总和 = 2+3+5+3+7+3+9+10=42；平均数 = 42÷8=5.25。某商场 5 天内销售的冰箱台数为：8、12、10、8、15。下列说法正确的是（ ）A. 众数是 10，平均数是 10.6 B. 众数是 8，平均数是 10.6C. 众数是 8，平均数是 11 D. 众数是 15，平均数是 10.6解答：众数是 8（出现 2 次）；总和 = 8+12+10+8+15=53；平均数 = 53÷5=10.6；答案选 B。某班 20 名同学的立定跳远成绩（单位：m）中，1.8m 出现 5 次，1.9m 出现 8 次，2.0m 出现 4 次，2.1m 出现 3 次。求这组数据的众数，并说明众数的实际意义。解答：众数是 1.9m（出现 8 次，次数最多）；实际意义：该班同学中立定跳远成绩为 1.9m 的人数最多，1.9m 是最普遍的成绩。幻灯片 9：课堂小结核心概念与计算：众数：出现次数最多的数据，识别步骤为 “统计次数→找最多→定众数”，可能不唯一或无众数；算术平均数：数据总和 ÷ 数据个数，公式为\(\bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\)，结果唯一。关键区别与适用场景：众数反映 “最集中”，不受极端值影响，适用于 “最普遍” 的描述；算术平均数反映 “平均水平”，利用所有数据，适用于 “整体趋势” 的衡量，但易受极端值影响。数学思想：统计思想：用样本（部分数据）的众数或平均数估计总体（全部数据）的特征；数形结合（后续）：通过统计图（如条形图）更直观地观察众数和平均数的分布。幻灯片 10：课后作业基础题：（1）一组数据：5、7、6、5、8、5、9。求众数和算术平均数；（2）某小组 6 名同学的跳绳成绩（单位：次 / 分钟）为：120、135、120、140、130、120。求众数，并计算平均成绩。提升题：（1）一组数据：10、12、15、12、x、14，若众数是 12，求 x 的可能值，并计算当 x=12 时的算术平均数；（2）某公司 10 名员工的月薪（单位：元）为：3000、3500、4000、3500、5000、3500、4500、6000、3500、20000。求众数和算术平均数，分析极端值（20000）对平均数的影响，说明此时用众数描述薪资水平是否更合适。实践题：调查家中近一个月每天的用电量（单位：度），记录数据后，找出众数（若有）并计算平均日用电量，分析 “众数” 和 “平均日用电量” 分别能为家庭用电规划提供什么参考（如是否需要调整用电习惯）。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 故事导入小马想要过一条河流.小松鼠对小马说：这条河平均水深1米，太危险了.小马说：我的身高已经长到1米5了，上一次都轻松过河了，这次就更没有问题了.请问小马过河有危险么？视频导入 在篮球比赛中，队员的身高、年龄都是影响球队实力的因素，如何衡量两个球队队员的身高？怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？怎样理解“甲队队员比乙队更年轻”？北京金隅队的平均年龄广东东莞银行队的平均年龄所以广东东莞银行队的队员更为年轻.=25.4 （岁），≈24.1 （岁）， 日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”，它反映了一组数据的“集中趋势”.记作：小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的：平均年龄 =（19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1）÷ （1+4+2+2+1+2+2+1） =25.4（岁） 小明的做法有道理吗？ 如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+… +fk=n），那么 当一组数据中有若干个数据多次重复出现时，可以考虑下面的做法：（1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？ （1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？ 解：A的平均成绩为（72+50+88）÷3=70（分）， B的平均成绩为（85+74+45）÷3=68（分）. C的平均成绩为（67+70+67）÷3=68（分）. 由70>68，故A将被录用.（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4∶3∶1的比例确定各人测试成绩，此时谁将被录用？解∶A的测试成绩为∶（72×4+50×3+88×1）÷（4+3+1）=65.75（分）,B的测试成绩为∶（85×4+74×3+45×1）÷（4+3+1）=75.875（分）,C的测试成绩为∶（67×4+70×3+67×1）÷（4+3+1）=68.125（分）. 因此候选人B将被录用.为何结果不一样？(1)(2)的结果不一样说明了什么？思 考一般地，若n个数x1, x2, …, xn的权分别是f1,f2,…,fn ，则叫做这n个数的加权平均数.权的意义：（1）数据的重要程度 （2）权衡轻重或份量大小（1）如果这家公司想找一名综合能力较强的翻译，那听、说、读、写成绩按多少比确定？如何计算平均成绩，说明你的方法.（2）如果公司要招聘一名笔译能力较强的翻译，那听、说、读、写成绩按2:1:3:4的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？例1 一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如下表所示： 因为79.5＜80.4，所以应该录取乙.因为80.25＞79.5，所以应该录取甲.（3）如果公司想招一名口语能力较强的翻译，则应该录取谁？ 听、说、读、写的成绩按照3:3:2:2的比确定．解：通过计算比较，应该录取甲.同样一张应试者的应聘成绩单，由于各个数据所赋的权数不同，造成的录取结果截然不同.讨论 将问题（1）、（2）、（3）比较，你能体会到权的作用吗？数据的权能够反映数据的相对重要程度！ 你能说说算术平均数与加权平均数的区别和联系吗？2.在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数.1.算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）；例2 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄（结果取整数）.解：这个跳水队运动员的平均年龄为：　 = ≈______（岁）. 答：这个跳水队运动员的平均年龄约为___岁.81624214加权平均数的应用14知识点1 众数1.在数据2,4,4,5,5,6,8中，2出现了___次，4出现了___次，5出现了___次，6出现了___次，8出现了___次，出现次数最多的数据是______，故这组数据的众数是______。122114和54和5 返回2.［2024河北中考］某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽粒数分别为89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为____。89 返回3.某校开展视力检查，某班51名同学视力检查数据如下表：这51名同学视力检查数据的众数是( )BA.4.6 B.4.7 C.4.8 D.4.9 返回知识点2 算术平均数4.一组数据3，2，4，6，5的平均数是( )BA.3 B.4 C.5 D.6 返回 A  返回6. 小明期末语、数、英三科的平均分为90分，他记得语文是88分，数学是92分，把英语成绩忘记了，则小明的英语成绩为____分。90 返回 3 返回 1.6 返回 30 返回10. 参加男子跳高比赛的有17名运动员，成绩如下表，请根据这些信息，计算出这17名运动员的平均跳高成绩是多少。（精确到0.01米） 即这17名运动员的平均跳高成绩是1.69米。 返回平均数与加权平均数算术平均数：加权平均数： （f（ f1 + f2 + …+ fk =n）必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！