1.1.2勾股定理的验证 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：1.1.2 勾股定理的验证副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：上节课我们通过测量、数格子发现了勾股定理，这节课我们一起探索如何从数学角度验证它！幻灯片 2：学习目标掌握至少 2 种勾股定理的验证方法，理解验证过程中蕴含的 “数形结合” 思想。能通过动手拼图、推导公式，自主完成简单的勾股定理验证，提升逻辑推理能力。感受古今中外数学家对勾股定理的探索精神，激发数学学习兴趣。幻灯片 3：知识回顾勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若直角边为\(a\)、\(b\)，斜边为\(c\)，则\(a^2 + b^2 = c^2\)）。关键前提：仅适用于直角三角形，应用时需先明确斜边（最长的边，与直角相对）。提出问题：上节课我们通过 “数面积” 猜想了定理，如何用严谨的数学方法证明这个结论呢？幻灯片 4：验证方法一：赵爽弦图（中国古代经典方法）第一步：认识弦图结构展示图形：呈现 “赵爽弦图” 示意图 —— 以直角三角形的斜边为边作大正方形，内部用 4 个全等的直角三角形和 1 个小正方形填充（4 个直角三角形的直角顶点朝向大正方形中心，小正方形位于中心）。标注已知：设直角三角形的直角边为\(a\)、\(b\)（\(b > a\)），斜边为\(c\)；则小正方形的边长为\(b - a\)，大正方形的边长为\(c\)。第二步：两种方法计算大正方形面积直接计算（以斜边为边长）：大正方形面积\(S = c^2\)。间接计算（分割求和）：大正方形由 4 个全等直角三角形和 1 个小正方形组成，因此：\(S = 4 \times \text{单个直角三角形面积} + \text{小正方形面积}\)代入公式：\(S = 4 \times \frac{1}{2}ab + (b - a)^2\)展开化简：\(S = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2 + b^2\)。第三步：推导结论由于两种方法计算的是同一个大正方形的面积，因此：\(c^2 = a^2 + b^2\)，即勾股定理得证。历史补充：赵爽弦图是我国东汉数学家赵爽在注释《周髀算经》时提出的，是世界上最早证明勾股定理的方法之一，体现了中国古代数学的智慧。幻灯片 5：学生活动 1：动手拼赵爽弦图材料准备：每组发放 4 个全等的直角三角形纸板（直角边\(a = 3cm\)、\(b = 4cm\)，斜边\(c = 5cm\)）和 1 个边长为\(1cm\)的小正方形纸板。活动任务：用手中的纸板拼出 “赵爽弦图”，观察大正方形的边长与直角三角形边长的关系。按照幻灯片 4 的思路，自主计算大正方形的两种面积，验证\(3^2 + 4^2 = 5^2\)是否成立。教师指导：巡视各组拼摆情况，提醒学生注意小正方形的边长是\(b - a\)（此处为\(4 - 3 = 1cm\)），与发放的小正方形边长一致，强化 “数形对应”。幻灯片 6：验证方法二：毕达哥拉斯拼图法（西方经典方法）第一步：认识拼图结构展示图形：呈现两个边长均为\(a + b\)的大正方形（完全相同），第一个正方形内分割为 1 个边长为\(a\)的小正方形、1 个边长为\(b\)的小正方形和 2 个全等的直角三角形；第二个正方形内分割为 1 个边长为\(c\)的大正方形和 4 个全等的直角三角形（与第一个正方形中的直角三角形全等）。第二步：分别计算两个大正方形的面积两个大正方形边长均为\(a + b\)，因此总面积相等，即\(S_1 = S_2 = (a + b)^2\)。第三步：分割面积对比第一个正方形（\(S_1\)）：\(S_1 = \text{边长为}a\text{的正方形面积} + \text{边长为}b\text{的正方形面积} + 2 \times \text{直角三角形面积}\)即：\(S_1 = a^2 + b^2 + 2 \times \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab\)。第二个正方形（\(S_2\)）：\(S_2 = \text{边长为}c\text{的正方形面积} + 4 \times \text{直角三角形面积}\)即：\(S_2 = c^2 + 4 \times \frac{1}{2}ab = c^2 + 2ab\)。第四步：推导结论因\(S_1 = S_2\)，代入得：\(a^2 + b^2 + ab = c^2 + 2ab\)两边同时减去\(ab\)，化简得：\(a^2 + b^2 = c^2\)，勾股定理得证。幻灯片 7：学生活动 2：对比两种验证方法小组讨论：结合赵爽弦图和毕达哥拉斯拼图法，思考以下问题：两种方法的共同点是什么？（均通过 “计算同一个图形的两种面积” 建立等式，核心是 “数形结合”）两种方法的不同点是什么？（拼图结构不同：赵爽弦图以斜边为大正方形边长，毕达哥拉斯法以 “直角边之和” 为大正方形边长）成果分享：邀请 2-3 组代表发言，教师总结：无论哪种方法，都利用了 “面积相等” 的基本原理，这是验证勾股定理的核心思路。幻灯片 8：拓展验证方法：总统证法（趣味补充）背景介绍：1876 年，美国第 20 任总统伽菲尔德在散步时，看到两个小孩讨论直角三角形，灵感突发，提出了一种简洁的勾股定理证明方法，被称为 “总统证法”。验证过程：图形结构：将两个全等的直角三角形（直角边\(a\)、\(b\)，斜边\(c\)）和一个等腰直角三角形（直角边\(c\)）拼成一个直角梯形（上底\(a\)，下底\(b\)，高\(a + b\)）。计算梯形面积：方法一（梯形面积公式）：\(S = \frac{1}{2}(上底 + 下底) \times 高 = \frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2)\)。方法二（分割求和）：\(S = 2 \times \text{直角三角形面积} + \text{等腰直角三角形面积} = 2 \times \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2\)。推导结论：令两种面积相等，化简得\(a^2 + b^2 = c^2\)。设计意图：通过 “总统证法” 让学生感受：数学源于生活，只要善于观察和思考，每个人都能在数学中发现乐趣。幻灯片 9：随堂练习：选择验证方法证明题目：已知直角三角形的直角边\(a = 5\)，\(b = 12\)，斜边\(c = 13\)，请选择一种你喜欢的方法（赵爽弦图、毕达哥拉斯法或总统证法），证明\(5^2 + 12^2 = 13^2\)。解题提示：若选赵爽弦图：小正方形边长为\(12 - 5 = 7\)，大正方形面积可通过 “4 个三角形 + 小正方形” 计算。若选总统证法：梯形的上底\(5\)、下底\(12\)、高\(17\)，分别计算梯形面积和分割后的面积。答案展示：以总统证法为例，\(S_{梯形} = \frac{1}{2}(5 + 12) \times 17 = 144.5\)，\(S_{分割} = 5 \times 12 + \frac{1}{2} \times 13^2 = 60 + 84.5 = 144.5\)，等式成立。幻灯片 10：课堂小结核心方法：勾股定理的验证本质是 “数形结合”，通过 “计算同一个图形的两种面积” 建立等式，推导得出\(a^2 + b^2 = c^2\)。经典方法回顾：赵爽弦图（中国）：以斜边为大正方形边长，分割为 4 个三角形 + 1 个小正方形。毕达哥拉斯法（西方）：以 “直角边之和” 为大正方形边长，对比两种分割方式。总统证法（趣味）：利用直角梯形面积，简洁直观。数学思想：从 “猜想” 到 “验证”，体现了数学的严谨性；多种验证方法，体现了 “一题多解” 的灵活性。幻灯片 11：课后作业实践题：用硬纸板制作 “毕达哥拉斯拼图” 的组件（2 个边长为\(a + b\)的正方形框架，4 个全等直角三角形，2 个小正方形），并向家人展示勾股定理的验证过程。探究题：查阅资料，了解 “欧几里得证法”（《几何原本》中勾股定理的证明方法），尝试用自己的语言描述验证思路（至少 200 字）。计算题：已知直角三角形的斜边\(c = 25\)，一条直角边\(a = 7\)，请用 “赵爽弦图” 的思路验证另一条直角边\(b = 24\)是否满足勾股定理。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.会用割补法验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合思想和从特殊到一般的思想.问题 上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？勾股定理的验证方法有很多种，你有自己的方法吗？ 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.问题 分别以直角三角形的三条边（a＜b）为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?思考为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图.(1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来.知识点1 勾股定理的验证思考为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图.(1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来.知识点1 勾股定理的验证 a2b2c2(a+b) 2    思考为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图.(1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来.知识点1 勾股定理的验证 (b-a) 2a2b2c2  知识点1 勾股定理的验证    (a+b) 2c2(3)你能利用下图验证勾股定理吗?知识点1 勾股定理的验证(3)能.图中正方形 ABCD 的面积不变， 即(a+b)2=2ab+c2， 所以a2+b2=c2.a2+b2+2ab 知识点1 勾股定理的验证    (b-a) 2c2知识点1 勾股定理的验证(3)你能分别下图验证勾股定理吗?a2+b2-2ab(3)能.图中正方形 ABCD 的面积不变， 即(b-a)2=c2-2ab， 所以a2+b2=c2.勾股定理在我国有着悠久的历史.汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实.开方除之，即弦.”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理.后人通常把左图称为“赵爽弦图”.知识点1 勾股定理的验证2002年国际数学家大会会标的主要图案(如右图)就取材于此图.例1 伽菲尔德的“总统证法”：如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2.知识点1 勾股定理的验证证明： 例2 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m;过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗?知识点2 勾股定理的应用公路BCA400m500m解：根据题意画图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置.由于王叔叔距离公路400 m，因此∠C是直角.由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，即 5002=BC2+4002，所以BC=300.蓝方汽车10 s行驶了300 m，那么它平均每秒行驶300÷10=30(m)，即蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s.知识点2 勾股定理的应用公路BCA400m500m跟踪训练 如图是某沿江地区交通平面图的一部分，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？解：因为OM ² =MN ²+NO²=30²+40²=50²，OQ² =OP²+PQ²=50²+120² =130²，所以OM=50 km，OQ=130 km，所以沿江高速公路的建设成本预计是5 000×(50+130)=900 000(万元).知识点2 勾股定理的应用思考 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗?知识点2 勾股定理的应用a2+b2c2通过数格子发现不满足.89295891. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n).若小正方形面积为5，(m+n)2=21，则大正方形面积为(　　) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15解析：由题意可知，中间小正方形的边长为m-n，所以(m-n) 2=5，即m2+n2-2mn =5，所以2mn =m2+n2-5.因为(m+n) 2=21，所以m2+n2+2mn=21，所以2mn=21-(m2+n2)，所以m2+n2-5=21-(m2+n2)，即2(m2+n2)=26， 因为大正方形的面积为直角三角形斜边的平方，所以由勾股定理可知大正方形的面积为 m2+n2=13.1. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n).若小正方形的面积为5，(m+n)2=21，则大正方形面积为(　　) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15B2. 两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？解：根据题意画出示意图，如图所示，两棵树的高度分别为AB=8 m，CD=2 m，两棵树之间的距离BD=8 m.过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.则BE=CD=2 m，EC=BD=8 m，AE=AB-BE=8-2=6(m).在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2，即AC2=62+82=100，所以AC=10 m.答：这只小鸟至少要飞10 m.知识点1 勾股定理的验证 （1）图②中大正方形的边长为______，里面小正方形的边长为___；  （2）大正方形的面积可以表示为_________，也可以表示为__________；  （3）对比这两种表示方法，可得出______________________，整理，得_____________。   返回知识点2 勾股定理的简单应用（第2题） A  返回（第3题） DA.3 B.4 C.5 D.6 返回（第4题） B  返回（第5题）  D 返回 时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米, 请问这辆小汽车超速了吗?为什么?若超速了，则超速了多少?  返回 A  返回8.下面各图中，不能用来证明勾股定理的是( )CA. B. C. D. 返回9. ［2024眉山中考］ 如图，图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成。若图①中大正方形的面积为24，小正方DA.24 B.36 C.40 D.44形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为( ) 返回勾股定理解决简单的实际问题已知直角三角形的两边长求第三边长割补法应用验证方法必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！