四川省泸州市泸县第五中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版含解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写
在答题卡上.
2．考生必须保持答题卡的整洁.
第 I 卷 选择题（58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 经过 ， 两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两点求出直线斜率即可得解.
【详解】设倾斜角为 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 .
故选：D
2. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30 的第 70 百分位数是（ ）
A. 16 B. 19 C. 20 D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】利用百分位数的定义进行求解.
【详解】共有 10 个数， ，故从小到大排列，选择第 7 个数和第 8 个数的平均数作为第 70 百
分位数，即 20 为第 70 百分位数.
故选：C.
3. 过 、 两点的直线方程是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】根据直线的截距式定义求解.
【详解】根据截距式方程得出
过 、 两点的直线方程是 .
故选：A.
4. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. 且
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程表示椭圆且焦点在 轴上，列出不等式求参数范围.
【详解】由题意 .
故选：C
5. 若点 在圆： 的外部，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入点坐标并结合二元二次方程为圆的条件即可得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得 ，解得 .
故选：C.
6. 若方程 表示圆，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. R
【答案】D
【解析】
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【分析】根据圆的判别式计算直接得出结果.
【详解】因为该方程表示圆，
所以 ，
所以 .
故选：D
7. 若直线 被圆 截得的弦长为 2，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得 ，再利用基本不等式
可得答案.
【详解】圆 化为标准方程为 ，
所以圆心坐标为 ，半径为 ，
可得圆心到直线 的距离为 ，
若直线 被圆 截得的弦长为 2，
则 ，整理得 ，即 ，
又 ，所以
，
当且仅当 即 时等号成立，
则 的最小值为 2.
故选：C.
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8. 如图所示，在平行六面体 中，
，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向基本定理可得 ， ，利用向量的数量积的运算律
可求解.
【详解】因为 ， ，
所以
.
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9. 已知空间向量 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BD
【解析】
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【分析】根据模长公式即可求解 A，根据垂直的坐标关系即可求解 B，根据平行满足的坐标关系即可求解 C，
根据夹角公式即可求解 D.
【详解】A： ，A 错误；
B：由 知， ，解得 ，B 正确；
C：由 知， ，解得 ，C 错误；
D：若 ， ，则 ，D 正确.
故选：BD
10. 在正方体 中，下列说法正确的是 （ ）
A. 异面直线 与 所成的角为
B. 直线 与底面 所成的角为
C. 直线 与 垂直
D. 二面角 大小为
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用线线平行得出异面直线所成角判定 A，应用线面角定义计算判断 B，先证明线面垂直得出线线
垂直判断 C，根据二面角定义计算判断 D.
【详解】对于 A，连接 ，
因为 ，所以 是平行四边形，则
是异面直线 与 所成的角，
， 是等边三角形，
异面直线 与 所成的角为 ，故 A 正确；
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对于 B， 底面 ， 直线 与底面 所成的角为 ，
， 故 B 错误；
对于 C，连接 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ， ，故 C 正确；
对于 D， 平面 ， 是二面角 的平面角，
二面角 大小为 ，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，直线 交椭圆 C 于 A、B 两点，P 为椭圆
C 上的一动点，则（ ）
A. 当 时，四边形 的周长为定值 8
B. 当 为直角三角形时，
C. 当直线 PA，PB 的斜率都存在时，其斜率之积为
D. 当直线 与 的斜率之差为 2 时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，根据椭圆的定义即可判断 A；当 时，求出点 P 的坐标，代入三角形面积公
式中即可判断 B；设出 A，B，P 的坐标，结合斜率公式即可判断 C；将直线 与 的斜率之差表述出
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来，结合点 P 在椭圆上，可得 ，代入三角形面积公式中即可判断 D.
【详解】
对于 A：因为椭圆 ，所以 ， ， ，即 ， ，
则四边形 的周长为 ，正确；
对于 B：当 时，设 ，
因为点 P 在椭圆上，解得 ，取 ，则 ，错误；
对于 C：因为直线 交椭圆 C 于 A，B 两点，所以 A，B 两点关于原点对称，
设 ， ， ，
因为 ，两式相减并整理得 ，
因为 ， ，所以 ，正确；
对于 D：易知 ， ，
所以 ，整理得 ，
因为点 P 在椭圆上，所以 ，解得 ，
则 ，正确．
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故选：ACD
第 II 卷 非选择题（92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 圆 的半径大小为___________.
【答案】
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解.
【详解】将圆的一般方程化为标准方程为 ，
所以圆 的半径大小为 .
故答案为： .
13. 两平行线 ， 之间的距离为____________.
【答案】
【解析】
【分析】将直线 方程化为 ，再根据两平行线间的距离公式计算即可.
【详解】直线 方程可化为 ，
所以两平行线 ， 之间的距离为 .
故答案为： .
14. 三棱锥 中， ， ，面 面 ， ，以
的边 所在直线为旋转轴将 旋转，则在旋转过程中， 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意找出点 的位置，建立空间直角坐标系找出点 到 所在平面距离，将问题转化到平面上，
求出 点在平面上的射影 到 点距离的最大值和最小值，再根据勾股定理求出 的最大值和最小值，
得到答案.
【详解】取 的中点 ， 的中点 ，连 ；由等腰三角形的性质， ，由已知平面
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与平面 垂直，可得 平面 ，进而可得出 ， ， 两两垂直，如图建立坐标
系：
根据几何关系，可求出坐标： ， ， ， ， .
不妨记旋转过程中点 所在的平面为 ，由题目已知，在旋转过程中， 点在平面 截以 为圆心， 为
半径的球所得到的圆上.
记点 在 内的射影为 ， 到平面 的距离为垂线段 的长度，记该距离为 .
由 ， 可用坐标法计算点 到平面 的距离 为：
，由勾股定理，
由几何关系， ，可知当 最小时， 最小； 最大时， 最大.
在平面 上的几何关系如下图：
可得 的最大值为 ，最小值为 ， 的最大值为 ，最小值为
.
故答案为：
【点睛】易错点睛：本题的难点和易错点在于找到点 的范围，易犯错误为将 点的范围扩大为以 为圆心，
半径为 的整个球面.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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15. 已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）设 为 中点，求直线 的方程；
（2）求 的面积．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）先确定 中点 的坐标，根据两点确定直线 的斜率，利用直线方程的点斜式写出直线
方程.
（2）法一：确定直线 的方程及 ，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积；
法二：通过判断直线 与 的关系，可得 为直角三角形，利用直角三角形的面积的计算方法求
三角形面积.
法三：利用行列式的方法求三角形面积.
【小问 1 详解】
中点 的坐标为 . 所以直线 的斜率 .
所以直线 的方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
法一：
因为 ,所以直线 的方程为 ，即 .
所以点 到直线 的距离 .
因为 ，
所以 .
法二：
因为 ， ，
所以 .
所以 .
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因为 ，
，
所以 .
法三：由题意： .
16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更
是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，
从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：[40，50），
[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取 7 份，再从这 7 份中随
机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率；
（3）已知落在 平均成绩是 56，方差是 7，落在 的平均成绩为 65，方差是 4，求两组成
绩的总平均数 和总方差
【答案】（1）
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为 1 求 的值.
（2）根据分层抽样的概念，古典概型概率公式求解即可.
（3）根据加权平均数与方差公式计算即可．
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【小问 1 详解】
由题意 ，解得： .
【小问 2 详解】
由题可知，成绩在区间 的频数为： ；
成绩在区间 的频数为： .
利用分层抽样，从中抽取 7 份，成绩在 的频数为 ，成绩在 的频数为
.
再从这 7 份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在 的概率为： .
小问 3 详解】
因为落在 与 的频率比为 ，
所以 ， ．
17. 已知点 ，圆 ，点 在圆 上运动， 的垂直平分线交 于点 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）直线 与曲线 交于 两点，且 中点为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的定义求解，
（2）由点差法得直线斜率后求解，
【小问 1 详解】
由题可知，
则
由椭圆定义知 的轨迹是以 、 为焦点，且长轴长为 的椭圆，
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∴ ，∴
∴ 的轨迹方程为 ：
【小问 2 详解】
设 ,∵ 都在椭圆 上，
∴ ， ，相减可得 ，
又 中点为 ，∴ ，
∴ ，即直线 的斜率为 ，
∴直线 的方程为 ，即 ,
因为点 在椭圆内，所以直线 与椭圆相交于两点，满足条件.
故直线 的方程为 .
18. 椭圆 过点 且离心率为 ， 为椭圆的右焦点，过 的直线交椭
圆 于 ， 两点，定点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 面积为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解出 值，则椭圆 的方程可知；
（2）设出直线 的方程，联立直线 的方程与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，根据
，代入韦达定理求解出参数值，则直线 的方程可知.
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【小问 1 详解】
由题意可知 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
当直线 的斜率为 时，显然不符合题意；
因为 ，设 ，
联立 ，可得 ，
则 ，
，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程 .
19. 如图，等腰梯形 的高为 2， ， ， 是 上靠近 的三等分点，如图
①所示，将 沿 折起到 的位置，使得 ，如图②所示，点 在棱 上.
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（1）求证：直线 平面 ；
（2）若 是 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若平面 与平面 所成的锐二面角为 45°，求 的值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知 ，进而可得 ，结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，求平面 的法向量，利用空间向量求线面夹角；
（3）设 ，求平面 的法向量，利用空间向量结合面面夹角运算求解.
【小问 1 详解】
在图①中，过 作 ，垂足为 ，
则 ，可知点 与点 重合，即 ，
在图②中，可得 ，
又因为 ， ， 平面 ，
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所以直线 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）可知：直线 平面 ， ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
若 是 的中点，则 ，
可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【小问 3 详解】
由（2）可知： ，
因为点 在棱 上，设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
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令 ，则 ，可得 ，
由题意可得： ，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
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