福建省莆田市莆田第一中学高二上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市莆田第一中学高二上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共20页。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1. 点是抛物线上一点，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据点是抛物线上一点，代入方程求得p即可.
【详解】解：因为点是抛物线上一点，
所以，解得，
所以C的焦点到准线的距离为2，
故选：C
2. 已知等比数列}中，，则（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列定义计算可得，即可得出结果.
【详解】设等比数列的公比为，
由可得，解得；
所以.
故选：C
3. 双曲线C:－=1的右焦点为F，则F到C的渐近线的距离为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线方程，先求得焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离求解.
【详解】解：因为双曲线C:－=1，
所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，
所以F到C的渐近线的距离为，
故选：B
4. 在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ）
A. +=1(y)B. +=1(y)
C. +=1(y)D. +=1(y)
【答案】A
【解析】
【分析】设点，，则，因点在圆上 ，利用相关点法即可求得点M轨迹方程.
【详解】
如图，设点，，则，
因点在圆上 ，则 （*），
又因轴，且M是线段上的点，，则，
则得，即，
将其代入（*），即得是点M的轨迹方程.
故选：A.
5. 已知等差数列的前项和为，若，则下列选项不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质逐个分析即可得到答案.
【详解】等差数列的前项和满足，，则，，所以，，故A，B正确；
由，故C正确；
因为，故D不正确．
故选：D.
6. 小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，从2016年起，每年元旦都到某银行存入2万元.直到 2025年元旦存入最后一笔钱为止.如果银行的存款年利率为2%，且以复利计息，那么小明的父母在2026年元旦将存款连本带利全部取出时，能取到的钱约为（ ）万元
参考数据:≈1.195，≈1.219，≈1.293
A. 19.9B. 21.5C. 22.3D. 24.4
【答案】C
【解析】
【分析】根据复利计算即可.
【详解】由题意得，小明的父母在2026年元旦将存款连本带利全部取出的钱数为：
（万元）.
故选：C.
7. 设椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于M、N两点，.且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆对称性利用勾股定理以及椭圆定义计算可得离心率.
【详解】连接，如下图所示：
由对称性可知四边形为平行四边形，由可得；
又可得，因此；
因此，即，即，
可得；
由椭圆定义可得，
即.
故选：D
8. 如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面距离相等，得出关于平面的对称点为，利用对称点求出最短路径即可
【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设关于平面的对称点为，
则，
设平面法向量，
则即
令，则，
所以为平面的一个法向量，
所以与到平面的距离，
即①，又，所以②，
所以由①②得，又由可得，所以，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为．
故选：A．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分，选对但不全得3分，有错选得0分.
9. 已知正四面体的棱长为，、分别为棱AB、CD的中点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. AD与所成角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由条件求，由此证明，判断A，证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明，判断B，解三角形求，判断C，根据异面直线夹角定义确定AD与所成角，解三角形求其大小，判断D.
【详解】因为四面体为正四面体，且棱长为，
所以，
连接，因为点为棱中点，
所以，，，
又点为棱的中点，
所以，A正确
因为，，，平面，
所以平面，平面，
所以，B正确，
因为，，点为棱中点，
所以，C错误；
取的中点，连接，
因为分别为的中点，
所以，，，
所以为AD与所成的角（或其补角），
因为，，，
所以为以为斜边的等腰直角三角形，
所以，
所以AD与所成角为，D正确.
故选：ABD.
10. 已知正项数列满足，的前n项和为Sn，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，
D. ，则的值有2种情况
【答案】AC
【解析】
【分析】通过对数列递推公式的分析，根据的奇偶来确定数列的项，进而对各选项进行判断.
【详解】若，则，，，，，，，，，
所以从第4项开始呈现周期为3的规律.
对于A，，故A正确；
对于B，因为没有余数，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，若，则或，
若，则或；若，则，
所以的值有3种情况，故D错误.
故选：AC
11. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 抛物线的方程为
C.
D. 点在以线段为直径的圆上
【答案】BCD
【解析】
【分析】过点作，垂足为，根据抛物线的定义知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判断A；根据为等腰直角三角形，可求出可判断B；将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值可判断C；设线段的中点为，求出的坐标，得到可判断D.
【详解】如图，过点作，垂足为，
由抛物线的定义知，
与全等，则，
，，，
，
，
则，直线的倾斜角为，故A错误；
设直线与轴交于点，则，
由上可知，，则为等腰直角三角形，
，，得，
所以抛物线方程为，故B正确；
由上可知，直线的方程为，
设Px1,y1，，
，，
联立，整理得，
则，，则，
，故C正确；
设线段的中点为，
则，，，
由上可知，则，
又，
点在以线段为直径的圆上，故D正确.
故选：BCD.
三．填空题.本小题共3小题，每小题5分，共15分
12. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先求交点，再根据垂直关系得直线方程.
【详解】直线与的交点为,
垂直于直线的直线方程可设为,
所以,即.
【点睛】本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题.
13. 已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】所求圆的圆心为，则，结合两圆位置关系列式求解即可.
【详解】因为圆的圆心为，半径，
设所求圆的圆心为，则，
且或，
若，，解得，
可得圆心为，所求圆的方程为；
若，，无解，不合题意；
若，，解得或，
可得圆心为或，
所求圆的方程为或；
若，，解得，
可得圆心为，所求圆的方程为；
故答案为：（答案不唯一）.
14. 根据拉面的制作原理，可以模拟如下的数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（左端点不动，让点A与点B重合），固定左端点向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB上的，均变成；变成1；等等）．那么在原线段AB上（除点A、点B外）的点中，在第一次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字为；重复以上操作，在第三次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的所有数字之和为________；以此类推…，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的所有数字之和为________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根据操作规律可得出操作次数与对应点数的个数和所有数字之和的关系，即可得出结果.
【详解】第一次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字为；
第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字有个，分别为和，其和为1；
第三次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字有个，分别为，其和为2；
；
可以推出第次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字有个，分别为，
其和为.
故答案为：2；.
四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明可得出结论；
（2）由二面角的向量求法计算可得二面角的平面角的正弦值．
【小问1详解】
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设，则A2,0,0，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则由，得，．
因此，可得，又平面，
平面．
【小问2详解】
由（1）知是平面的一个法向量，
由面，面，则，又，
由都在面内，则面，即面，
则是平面的一个法向量．
设锐二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为.
16. 已知数列的前n项和为，满足，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据的关系求递推公式，然后可判断数列为等比数列，然后可得通项公式；
（2）根据错位相减法求解即可.
【小问1详解】
由可得，当时，，
以上两式相减可得，
当时，，满足，
所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列，
故．
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，
所以，
两式相减，得
所以．
17. 已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线的斜率分别为，证明是定值；
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入点坐标计算可得，可得椭圆的标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得的表达式并化简可得结论.
【小问1详解】
因为椭圆过点和，
代入椭圆表达式可得；
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
证明：设，
直线的斜率一定存在，设为，
如下图所示：

联立，消去得到，
易知，可得；
且，
，
故是定值.
18. 已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”．
①求“中程数数列”的前项和；
②若（且），求所有满足条件的实数对．
【答案】（1）证明见解析，；（2）①；②．
【解析】
【分析】
（1）先利用递推关系推出，即证结论，再利用等比数列通项公式求数列的通项公式即可；
（2）①先判断数列单调性得到最大项和最小项，求得数列，再利用错位相减法求和即可；②先利用通项公式判断和，再逐一代入求解满足题意的m，即得结果.
【详解】解：（1）证明：依题意，，即，
故，故数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列，
故，即；
（2）因为，即，
故时，即，时，，即，
故，故，，
所以.
①设数列的前n项和为，则，
，
两式作差得，，
即，
故；
②因为，，，
所以，即，
又因为，，，且，
可知且，即，由知，
时，，故，即，但，故符合题意；
时，，故，即，但，故无解；
时，，故，即，又，故符合题意；
综上，所有满足条件实数对有．
【点睛】方法点睛：
1、数列求和的方法：
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法；
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
2、判定数列单调性的方法：
（1）定义法：对任意，，则是递增数列，，则是递减数列，其中通常利用作差法和作商法比较大小；
（2）借助函数单调性：利用，研究函数单调性，得到数列单调性.
19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线.
（1）求的标准方程；
（2）若直线过点交右支于，两点，直线过点且交E的右支于、D两点，且记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，
（i）证明：O、P、Q三点共线；
（ii）求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据条件列式化简即可求解轨迹方程.
（2）（i）直线的斜率不存在时，显然O、P、Q三点共线；直线斜率存在时，设Ax1,y1、Bx2,y2，利用点差法求出及，从而可得，即可证明.（ii）由题意设直线和直线的方程为和，联立直线与双曲线方程，韦达定理，求得点P的坐标，同理求出点Q的坐标，利用点到直线距离分别求出这两点到渐近线的距离，从而，利用不等式性质求解范围即可.
【小问1详解】
设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以 ，整理得，
所以的标准方程为.
【小问2详解】
（i）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为，
①直线的斜率不存在时，P、Q都在x轴上，O、P、Q三点共线.
②直线斜率存在时，则可设方程为，Ax1,y1、Bx2,y2，.
由得，
所以，,，所以，
同理，因为，所以，所以，所以O、P、Q三点共线.
综上，O、P、Q三点共线.
（ii）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于，
且曲线E的渐近线方程为，
故可分别设直线和直线的方程为和，且，

联立得，设、，
则，
，，
故，
因为P是中点，所以即，
同理可得，
所以P到两渐近线的距离分别为，
，
Q到两渐近线的距离分别为，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接，
则四边形面积为
，
因为，所以，
所以，
所以四边形面积的取值范围为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．