福建省莆田第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省莆田第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共21页。
本试卷共4页 考试时间120分钟 总分150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．
1. 设全集，集合，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，然后由图可知阴影部分表示的集合为，从而可求得答案.
【详解】集合，
所以．
图中阴影部分表示的集合为．
故选：C
2. 设函数，则（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】代入计算，得到.
【详解】.
故选：B
3. 已知条件；条件，若是充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，根据条件得到真包含关系，从而得到不等式，求出答案.
【详解】，设，
或，设或，
是的充分不必要条件，故是的真子集，
故或，解得或，
故选：B
4. 已知都为正数，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式进行求解即可.
【详解】都为正数，，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．下面函数表达式中，可以用来构造“同族函数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，函数不能严格单调，ABC不合要求，D选项，可举出例子.
【详解】由题意可知，可以用来构造“同族函数”的函数不能严格单调，
A选项，在R上严格单调递增，不满足要求；
B选项，在上严格单调递增，不满足要求；
C选项，在R上严格单调递增，不满足要求；
D选项，在R上不严格单调递增，
其中，与，的值域均为，
故为“同族函数”，D正确.
故选：D
6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的部分图象，即可求出的值，即可求出结果．
【详解】由图象可知，，所以，
又过点，所以，且
即，所以，即，
又，所以，所以.
故选：A.
7. 已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，根据正弦图象，得到不等式，求出答案.
【详解】，时，，
由于在区间上有最大值，没有最小值，
故，解得.
故选：A
8. 克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B，，，则，B错误.
对于C，由，得，C正确；
对于D，，D错误；
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
D. 函数与函数为同一个函数
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，指数式化为对数式，结合换底公式和对数运算法则得到A正确；B选项，利用诱导公式和三角恒等变换，特殊角三角函数值得到答案；C选项，先求出扇形半径，利用扇形面积公式求出答案；D选项，解不等式，求出两函数定义域，得到D错误.
【详解】A选项，，故，
所以，A正确；
B选项，，则
，B错误；
C选项，设扇形半径为，其中弧长为2，圆心角为，
则，该扇形的面积为，C正确；
D选项，令，解得，的定义域为，
令，解得或，故的定义域为，
两函数定义域不同，D错误.
故选：AC
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数的零点为
B. 当时，不等式的解集为
C. 当时，函数的单调递减区间为
D. 函数值域为
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，利用辅助角公式得到，整体法求出函数零点；B选项，先求出，不等式变形为，结合图象得到不等式，求出解集；C选项，结合图象得到，求出单调递减区间；D选项，利用三角恒等变换得到.
【详解】A选项，，
令，解得，
故的零点为，A正确；
B选项，时，，
，
故，解得，B正确；
C选项，时，，
令，解得，C正确；
D选项，
，
因为，所以，D错误.
故选：ABC
11. 已知函数，则（ ）
A. ，使得是偶函数
B. 当时，函数有5个零点
C. 当时，函数在上最大值大于，则
D. 当时，设在上的最大值为，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，当时，为偶函数，A正确；B选项，令，解得或5，当时，或，无解，有1个解，即，当时，或，各求出两个解，B正确；C选项，考虑，和三种情况，求出或；D选项，对进行分类讨论，结合函数单调性，求出最大值，再得到的最小值为.
【详解】A选项，当时，定义域为，
且，故此时为偶函数，A正确；
B选项，时，，
令，解得或5，
当时，，即或，
由对勾函数性质得，
故无解，有1个解，即，
当时，，即或，
，解得，，解得，
综上，函数有5个零点，B正确；
C选项，当时，，
时，由对勾函数可得，
若，则，，故，
要使得函数在上最大值大于，则，解得，
若，则，
此时，不合要求，舍去；
当时，，故，
，令，解得，
综上，或，C错误；
D选项，时，，
令，
若，则在上单调递减且恒正，
故，最大值为，
若，则为对勾函数，均在轴上方，
故在上单调递增，
在上单调递减，
当，即时，在上单调递增，
故，且，
当，即时，在上单调递减，
故，且，
若，即时，，
其中当时，，故，且，
当时，，故，且，
若，此时在上单调递减，
当时，，当时，，
当，即时，，
当，即时，，
若，解得，此时，
若，解得，此时，
当，即时，，
综上，的最小值为，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式性质得到，进而得到取值范围.
【详解】，故，
故，故.
故答案为：.
13. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等变换得到，利用伸缩变换和平移变换得到，由为偶函数得到方程，求出，得到最小值.
【详解】，
所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到，
向左平移个单位长度，得到函数，
因为为偶函数，所以，解得，
故的最小值为.
故答案为：
14. 若，且．
（1）当时，____________；（2）的最小值为____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）代入，得到，并求出，利用诱导公式得到，求出；
（2）由三角恒等变换得到，从而，换元得到，求出最小值.
【详解】（1）当时，，
即，
，即，所以，
又，故，
所以，故，
由于，
所以，
所以一种情况是，
解得，满足要求，
还可能，解得，不合要求，
故；
（2），
故，
，
由得，
，
令，则，
当时，，此时，即时，等号成立.
故答案为：，
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为三角函数或二次函数求出最值.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点．
（1）求的值；
（2）设且，求的值．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义可得正弦，余弦和正切值，利用诱导公式化简得到答案；
（2）结合（1），利用诱导公式得到，利用正切差角公式进行计算即可.
【小问1详解】
由三角函数定义可得，
，，
；
【小问2详解】
，
由（1）知，，故，
故.
16. 设函数同时满足条件和对任意都有成立．
（1）求的解析式；
（2）求的定义域和值域；
（3）若，求使得成立的整数的取值的集合．
【答案】（1）
（2）定义域为，值域为；
（3）
【解析】
【分析】（1）由得到，再根据得到，得到解析式；
（2）由函数特征得到不等式，结合指数函数和对数函数单调性解不等式，求出定义域；
（3），换元法，令，则，从而得到或，进而求出或或，得到取值集合.
【小问1详解】
，解得，
故，
，
上式对任意都成立，故且，所以，
故；
【小问2详解】
，
令，解得，故定义域为，
显然值域；
【小问3详解】
，即，
，令，则，
当时，，满足要求，
当时，，解得，
当时，若，满足要求，故或1，
若，令，解得，故或4，
当时，若，不合要求，
若，令，解得，
综上，整数的取值集合为.
17 已知函数．
（1）①求的值；
②求的值；
（2）根据（1）结果，猜测的值，证明该等式，并用文字叙述该等式的几何意义；
（3）判断函数的单调性（不用证明）．若，求实数的取值范围．
【答案】（1）①；
②
（2），证明过程见解析，几何意义：的图象关于中心对称；
（3）函数单调递增，理由见解析，
【解析】
【分析】（1）代入计算出，故，同理计算出；
（2）猜想，利用指数运算法则进行证明，并得到函数的对称性；
（3）定义法得到函数单调性，结合，得到，求出答案.
【小问1详解】
①，，；
②；
【小问2详解】
猜想，证明过程如下：
；
几何意义：的图象关于中心对称
【小问3详解】
函数在R上单调递增，理由如下：
任取，，
则
，
因为在R上单调递增，，所以，
又，故，
即，在R上单调递增，
因为，，
所以，
故，解得，
故实数的取值范围为.
18. 某小区南门有条长100米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长5米、宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．
（1）若，求和的长；
（2）求关于的函数表达式；
（3）若，按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
【答案】（1），；
（2），；
（3）11
【解析】
【分析】（1）利用几何关系得到，从而，；
（2）表达出各边长，得到，；
（3）由得到，再构造对偶式，求出，设改造后停车位数量最大值为，作出辅助线，得到，从而得到不等式，求出，故取，则该路段改造后的停车位比改造前增加个.
【小问1详解】
由题意得，，，
故，故，
当时，，
故，；
【小问2详解】
由（1）可得，，
，，
【小问3详解】
令，则，
即①，
设②，
式子得，解得，
当时，，解得，
因为，所以，而，不合要求，舍去；
当时，，解得，满足要求，
此时，
设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为，
则顶点到线段距离为，
由图及题意可得，，
由（1）可得，
故，
，，
故，
由，解得，故取，
则该路段改造后的停车位比改造前增加个.
19. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“Ω区间”.
性质1: 对任意，有；
性质2: 对任意，有.
（1）分别判断区间是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由；
①②
（2）若是函数的“Ω区间”，求实数的取值范围；
（3）已知函数在R 上单调递减，且只能满足性质2. 求证: 函数在 R 上存在唯一的零点.
【答案】（1）区间是函数①的“Ω区间”， 区间不是函数②的“Ω区间”理由见解析；
（2）
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)利用给定定义逐步检验即可；
(2)先确定函数满足那条性质，然后在对进行讨论，确定的导函数符号以及其取值范围；
(3) 设新函数，确定的单调性，再根据零点存在定理即可得证.
【小问1详解】
对于①，由一次函数的性质得它在上单调递减，
所以当时，，
故区间是的“Ω区间”，
对于②，由反比例函数的性质得它在上单调递减，
所以当时，，此时不满足，也不满足，
故区间不是的“Ω区间”；
【小问2详解】
由题意知是函数的“Ω区间”，，所以满足性质1，所以，则，
①若时，且，，可知在上单调递减，所以解之得不存在故舍之；
②若时,
在时，则在上单调递增，
在时，，则在上单调递减，
所以
解之得；
③若时，，则则在上单调递增，
解之得不存在故舍之.
综上可知若是函数的“Ω区间”，；
【小问3详解】
设是R上的任意两个实数，且，
因为在R 上单调递减，所以，
则根据不等式运算法则知，
令，所以在R上单调递减，
因为只能满足性质2，所以存在，使得，
若，则，
因为单调递减，所以当足够大时，，即，
所以由在R上单调递减可知，存在唯一的使得，
若，，
因单调递减，所以当足够小时，，即，
所以由在R上单调递减可知，存在唯一的使得，
综上函数在 R 上存在唯一的零点.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是利用给定定义，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的取值范围即可．