河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．若，、，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为( )
A．60°B．30°C．60°或120°D．30°或150°
3．设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为( ).
A．B．C．D．
4．已知双曲线：的一条渐近线方程是，且焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
7．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线的斜率为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（ ）
A．平行于轴的两条直线B．单位圆
C．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的椭圆
10．连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是（ ）
A．事件“”的概率为B．事件“m是奇数”的概率为
C．事件“”与“”互为对立事件D．事件“m是奇数”与“”互为互斥事件
11．已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（ ）
A．B．的离心率为C．D．
三、填空题
12．已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为8，则 ．
13．已知，且，则的最小值为 .
14．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是 .
四、解答题
15．已知圆E经过点，且恒被直线（）平分.
(1)求圆E的标准方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合）
16．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，.
(1)求；
(2)若的外接圆半径为，求的周长.
17．如图，平面平面，，，，.

(1)求直线与平面所成角的大小；
(2)求点到平面的距离.
18．如图，点是椭圆C：（）的一个顶点，C的长轴是圆的直径．，是过点P且互相垂直的两条直线，其中斜率为k（k不为0）的直线交圆于A，B两点，交椭圆C于另一点D．

(1)求椭圆C的方程；
(2)求△ABD面积的最大值．
19．若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线.已知椭圆：的共轭双曲线为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，直线l（不过点A）与相交于M，N两点，且，求证：直线l恒过定点，并求出该定点坐标.
参考答案
1．D
【详解】因为，所以，，，故.
故选：D.
2．C
【详解】直线l的斜率的绝对值等于，
线l的斜率等于，设直线的倾斜角为，则，
则或，
60°或120°.
故选：C.
3．B
【详解】因为若在上单调递增，且，可得，
即，解得，即a的取值范围为.
故选：.
4．A
【详解】设双曲线的一个焦点为，
由题意可得，解之得，
又，
，则双曲线的标准方程为.
故选：A
5．C
【详解】因为，所以，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，解得.
故选：C.
6．C
【详解】
由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部，
过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，
则有，
当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立，
所以的最小值为
故选：C.
7．B
【详解】因为，所以．
因为，所以，
所以，则．
故选：B.
8．C
【详解】直线的方程为，即，圆的方程为，
由题意知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切，
所以，即，解得：，所以，
又，所以离心率，又，
所以.
故选：C
9．ABC
【详解】当，即时，，表示平行于轴的两直线，A正确；
当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，B正确；
当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，
C正确；
当，且时，则，所以，因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，D错误.
故选：ABC.
10．BD
【详解】连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有：
，
，
，
，
，
，共36种；
对于A，事件“”所包含的基本事件为：
，共8个，
所以事件“”的概率为，即A错误，
对于B，事件“是奇数”的共有18个，
因此事件“是奇数”的概率为，可得B正确，
对于C，易知的所有取值为，
当时，可知事件“”与“”可以同时发生，
因此C错误，
对于D，若，则，此时是偶数，
因此“是奇数”与“”不可能同时发生，
互为互斥事件，可得D正确，
故选：BD.
11．ACD
【详解】
由，所以为等边三角形，且在以为直径的圆上，
所以，即，A对；
若，则，B错；
，C对；
设的内切圆半径为，则，，，
，
，即，D对.
故选：ACD
12．
【详解】双曲线焦距为，，
又焦点在x轴上的双曲线方程为：，
，
，
，解得．
故答案为：．
13．4
【详解】由题意，，当且仅当，即时取等号.
故答案为：4
14．
【详解】直线可化为，
所以直线l恒过定点，
，可化为（），
其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，
当l与该曲线相切时，圆心到直线l的距离，
解得，
设，则，
所以如图所示：

由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点，
则，
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为直线（）可化为：，
所以直线恒过点，
又因为圆E恒被直线（）平分，则（）恒过圆心，
可知圆心坐标为，且圆E经过点，所以圆的半径，
所以圆E的方程为.
（2）设，
因为M为线段AP的中点，且，则，
因为点P是圆E上的动点，则，即，
所以M的轨迹方程为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，由平面向量数量积的定义可得，
则，所以，为锐角，
所以，.
（2）由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
所以，，
故的周长为.
17．(1).
(2).
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
又因为，
则以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知，
所以，，，，.

因为，平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
又，所以直线与平面所成角为.
（2）设平面的法向量为，，
则，令，则，
因为，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）是以原点为圆心，半径为2的圆，
圆的直径为4，故，则，
又椭圆C的一个顶点为，，
椭圆C的方程为：．
（2）
过点，，的斜率为，
的斜率为，
：，：，
联立直线与椭圆得，
，，，
，
圆心到的距离，
由勾股定理得，
，
，
设，
则，当且仅当，即时取等号，
当时，即时面积最大，最大值为．
19．(1)
(2)证明见解析，.
【详解】（1）设双曲线的标准方程为（，）.
因为椭圆：的共轭双曲线为，所以，，
所以双曲线的标准方程为；
（2）当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为，，，
联立，消去y并整理得，
此时且，
解得且，
由韦达定理得，，
，
易知，，
因为，
所以
，
解得或，
当时，直线l的方程为，
此时直线l恒过点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，
此时直线l恒过点，
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，
此时，，
因为，所以，
解得或，直线l不经过点A，
所以，则直线l恒过点.
综上直线l恒过点.