河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）含答案解析

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1.C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.A 7.C 8.B
9.AB 10.ABC 11.BC
12．
13．（形式不唯一，只要符合：，其中即可）
14．
15．解：设，，
直线的方程为：，化为：，
点到直线的距离，
，
解得或．
或．
16．（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
17．（1）证明：连接，与相交于点，连接，如下图：
因为四边形为矩形，故为的中点.
又因为为的中点，故，
又因为平面平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，则，
由于平面，故平面，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
因为，
所以，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，得，故，
又因为
设直线与平面所成的角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
19．（1）证明：
连接，设，连接，
有平面，由题意得，
连接，，设，则，故在上，
过作为垂足，
在中，，
故，因为，所以，
故，所以，
所以，
又
平面，平面，，
故平面，因为平面，所以.
又平面平面，故平面.
（2）
以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系可得
，
由（1）得平面，故平面的一个法向量为，
其中，
设平面的一个法向量为，
则，
令可得，
设为二面角的平面角，则，
由图可知所求二面角为锐角，故二面角的余弦值为.