专题12 二次函数的图像性质和实际应用（5大考点）练习含答案--2026年中考数学一轮专题

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TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176293430" 一、考点01 二次函数的图像和性质 PAGEREF _Tc176293430 \h 1
\l "_Tc176293431" 二、考点02 二次函数图像和系数的关系 PAGEREF _Tc176293431 \h 7
\l "_Tc176293432" 三、考点03 二次函数的最值 PAGEREF _Tc176293432 \h 12
\l "_Tc176293433" 四、考点04 二次函数与方程不等式 PAGEREF _Tc176293433 \h 16
\l "_Tc176293434" 五、考点05 实际问题与二次函数 PAGEREF _Tc176293434 \h 20
考点01 二次函数的图像和性质
一、考点01 二次函数的图像和性质
1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
4．（2023·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为B．顶点坐标为C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是－3
5．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A．B．C．D．
6．（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（ ）
①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立．
②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则．
③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则．
④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
8．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．(为任意实数)
9．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限D．图象的对称轴是直线
10．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；
③当x>1时，随的增大而减小；
④关于的一元二次方程的另一个根是；
⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）

A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
14．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得D．无论实数取什么值，都有
16．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当时，抛物线的对称轴是轴；
②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；
③若点，在抛物线上，则；
④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
18．（2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”或“=”）
19．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
20．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ．
①函数是“倍值函数”；
②函数的图象上的“倍值点”是和；
③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是；
④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．
21．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
22．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
23．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
24．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；
(2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由；
(3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：．
25．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2；
(3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．
①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；
②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
考点02 二次函数图像和系数的关系
二、考点02 二次函数图像和系数的关系
26．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
27．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A．B．C．D．
28．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
29．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4
30．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1B．2C．3D．4
31．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
32．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
33．（2023·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
34．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．点在函数图象上
35．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
36．（2023·贵州·中考真题）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
37．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）

A．4B．3C．2D．1
38．（2023·湖北·中考真题）拋物线与轴相交于点．下列结论：
①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
39．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号）
40．（2022·湖北武汉·中考真题）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
考点03 二次函数的最值
三、考点03 二次函数的最值
41．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
42．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
43．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
44．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为 ．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）
①
②当时，代数式的最小值为3
③对于任意实数，不等式一定成立
④Px1,y1，Qx2,y2为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有
45．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．
(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
46．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
47．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．
(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范围；
(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
48．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
49．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
(1)如图，若，，求点与点之间的距离；
(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．
50．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_________，点的坐标是_________；
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
考点04 二次函数与方程不等式
四、考点04 二次函数与方程不等式
51．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
52．（2023·青海西宁·中考真题）直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
53．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
54．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．

55．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ．
56．（2023·湖南郴州·中考真题）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
57．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表：
下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ．
58．（2023·上海·中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是 ．
59．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是 ．（填写序号）
60．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为，则_________；
②求t的取值范围：
③求的最大值．
61．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
(1)求的值；
(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．
62．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
(1)求的值；
(2)比较与的大小．
63．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．

64．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
(1)直接写出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
65．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
66．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．
(1)当时，求和的值；
(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
(3)求证：．
考点05 实际问题与二次函数
五、考点05 实际问题与二次函数
67．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ）

A．B．C．D．
68．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
69．（2023·辽宁·中考真题）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
70．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：
①；
②当时，；
③当时，；
④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④

71．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．

72．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ．
73．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
74．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
75．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．
(1) ，_____；
(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；
(3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？
76．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
77．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
78．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
79．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
80．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点O0,0，点，点在第一象限，且．
(1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设．
①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
81．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
82．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
83．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
84．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
85．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
(1)①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
86．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．x
…
0
3
5
…
y
…
0
…
a
…
0
2
4
…
x
…
*
2
0
…
y的最小值
…
*
…
销售单价x/元
…
12
14
16
18
20
…
销售量y/盒
…
56
52
48
44
40
…
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
…