专题15 二次函数的图象及其性质（课件+学案）-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件（全国通用）

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中考数学一轮复习15 二次函数的图象及其性质1. 二次函数的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数．y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式．2. 二次函数的解析式： 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）（3）两根式（交点式）：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)．如果没有交点，则不能这样表示．3. 用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c．（2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)．（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．【例2】（4分）（2019·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为________．【答案】 y＝(x－2)2＋1．【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式即可．【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．2. 二次函数图象的画法：五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；（2）求抛物线y=ax2+bx+c 与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称D．将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．3. 二次函数的性质： 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a＞0时，抛物线开口向上， a＜0时，抛物线开口向下；b与对称轴有关：对称轴为 ；c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）．【例3】（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3(x＋1)(2－x)的图象和性质的叙述中，正确的是（ ） A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点【解答】解：A、把x＝0代入y＝3(x＋1)(2－x)，得y＝6≠2，∴A错误； B、化简二次函数：y＝－3x2＋3x＋6，∵a＝－3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下，∴B错误；【例4】（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2＋bx－c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）【例5】（2022•朝阳）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a为常数，且a≠0）的图象过点（－1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）【解答】解：A、抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，不正确，不符合题意；C、∵当x＝1时，函数有最大值为y＝a＋b＋c，∴am2＋bm≤a＋b＋c（m为任意实数），∴am2＋bm≤a＋b，∵a＜0，∴a2m2＋abm≤a2＋ab（m为任意实数）故不正确，不符合题意；【例6】（2022•荆门）抛物线y＝x2＋3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ） A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对【解答】解：抛物线y＝x2＋3开口向上，对称轴为y轴，∵抛物线y＝x2＋3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜－x1＜x2或0＜x1＜－x2，故选：D．【例7】（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2【解答】解：∵y＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x增大而增大，故选：B．【例8】（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x－1)2＋1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋3 C．y＝x2＋1 D．y＝x2－1【解答】解：将二次函数y＝(x－1)2＋1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝(x－1＋1)2＋1－2，即y＝x2－1．故选：D．【例9】（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2＋2x＋2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．【解答】解：∵y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，∴二次函数y＝x2＋2x＋2的图象开口向上，顶点为（－1，1），对称轴是直线x＝－1，∵P（m，n）到y轴的距离小于2，∴－2＜m＜2，而－1－(－2)＜2－(－1)，当m＝2，n＝(2＋1)2＋1＝10，当m＝－1时，n＝1，∴n的取值范围是1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10．【例10】（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（－1，－1）和（4，－1），抛物线y＝mx2－2mx＋2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m 的取值范围是 ．当抛物线经过点（－1，－1）时，m＋2m＋2＝－1，解得：m＝－1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2－m＝－1，解得：m＝3，【例11】（3分）（2021•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b），可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．【解答】解：∵点（1，-b）在第一象限．∴-b＞0．∴b＜0．∵二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）．∴-b =a-b+c．∴a+c=0．∵a≠0．∴ac＜0．∴一次函数y=bx-ac的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识．关键在于判断b、-ac的正负性．【例12】（4分）（2021•福建10/25）二次函数y=ax2-2ax+c (a＞0)的图象过A（-3，y1），B（-1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）A．若y1 y2＞0，则y3 y4＞0 B．若y1 y4＞0，则y2 y3＞0 C．若y2 y4＜0，则y1 y3＜0 D．若y3 y4＜0，则y1 y2＜0【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】观察图像可知，y1＞y4＞y2＞y3，再结合题目一一判断即可．【解答】解：y＝a(x－1)2－a的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－a）， 当a＞0时，在－1≤x≤4，函数有最小值－a，∵y的最小值为－4，∴－a＝－4，∴a＝4；【例14】（2022•六盘水）如图是二次函数y＝x2＋bx＋c的图象，该函数的最小值是 ．【例15】（2022•凉山州）已知实数a、b 满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ．【解答】解：∵a－b2＝4，∴b2＝a－4，∴原式＝a2－3(a－4)＋a－14＝a2－3a＋12＋a－14＝a2－2a－2＝a2－2a＋1－1－2＝(a－1)2－3，∵1＞0，又∵b2＝a－4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．【例17】（10分）（2021•重庆B卷25/26）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4 (a≠0)与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx-4 (a≠0)沿射线AD平移 个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【分析】（2）作PE∥y轴交直线AD于E，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；（2）当x=0时，y=-4，∴点C（0，-4），∵点D与点C关于直线l对称，∴D（3，-4），∵A（-1，0），∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，巩固训练及详细解析见学案．