安徽省合肥市第四十中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题

这是一份安徽省合肥市第四十中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题，共32页。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 2值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
2. 在中，，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
3. 已知双曲线经过点，下列各点在双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且的面积是2，则的面积是（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 24
6. 如图，在大小为正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（ ）
A. ①和③B. ②和③C. ②和④D. ①和④
7. 在中，的正切和的余弦满足，则为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
8. 二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，点为上任一点，点为的中点，连接，点在上，且满足，连接，则的最小值为（ ）
A B. C. 1.5D. 2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知，若，则_____．
12. 已知α是锐角，且，则α=___________．
13. 如图，拦水坝的横断面为梯形，迎水坡的斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，背水坡的斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．若，则的长度是______．（参考数据：．）
14. 如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，过点作于点．
（1）_____；
（2）连接，若交于点，则_____．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 在中，，，，解此直角三角形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，二次函数的图象的对称轴为直线，与直线相交于点和点，其中点在轴上．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）当时，根据图象写出的取值范围．
18. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形．
（1）直接写出点P的坐标；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为；
（3）若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________．
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】
20. 如图，在中，于点，，连接并延长交边于点，已知，，．
（1）求的度数；
（2）求的值．
六、（本题满分12分）
21. 如图1，是某中国工农红军西路军纪念碑，为缅怀革命先烈，传承红色情怀，某班组织学生参观并测量纪念馆中纪念碑的高度，测量方案如下：
请根据表中所给数据计算中国工农红军西路军纪念碑的高度（结果精确到）．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，取的中点，连接．
①求证：；
②若，求的值．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线与轴交于点和点，点位于原点左侧，点位于原点右侧，与轴交于点，连接，已知．
（1）求抛物线表达式；
（2）若是该抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
①如图2，连接，若面积为3，求点的坐标；
②如图3，设与交于点，连接，求的最大值．
课题
测量中国工农红军西路军纪念碑的高度
测量工具
卷尺、自制测角仪等
自制测角仪使用方法
利用量角器和铅锤自制如图2所示的简易测角仪，使用过程如图3，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点与视线重合时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．
测量示意图
如图4，纪念碑的高度为，小组成员从纪念碑的底部点出发，向前走到点处，用如图2所示的自制测角仪测得的度数，再继续向前走7.2到达点处，测得的度数，，为该成员眼睛到地面的距离，且点均在同一竖直平面内，点在同一条水平直线上，点在同一条水平直线上．
测量数据
在点测得的度数
在点测得的度数
该成员眼睛距离地面的高度
21.
参考数据
．
九年级数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 2的值为（ ）
A 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数．熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值，，然后计算．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
2. 在中，，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角函数，理解正切的定义是解题的关键．
利用正切的定义解题即可．
【详解】解：在中，，，
又∵，，
∴，
解得：．
故选：A．
3. 已知双曲线经过点，下列各点在双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，判断点坐标是否在反比例函数上．根据题意先计算出，再得到双曲线的解析式为，再逐一将选项坐标代入判断即可．
【详解】解：∵ 双曲线经过点，
∴，
∴双曲线的解析式为，
A、当时，，则点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
B、当时，，则点在双曲线上，故本选项符合题意；
C、当时，，则点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
D、当时，，则点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
故选：B
4. 下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键．
根据对应边是否平行判断即可．
【详解】解：由各选项图形可知，，，选项的相似图形是位似图形，选项的相似图形不是位似图形．
故选：C．
5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且的面积是2，则的面积是（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键．由题意得位似比，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，
，
的面积是2，
的面积为18，
故选：B．
6. 如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（ ）
A. ①和③B. ②和③C. ②和④D. ①和④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可．
【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，；
第二个三角形的边长分别为：，，；
第三个三角形的边长分别为：2，，；
第四个三角形的边长分别为：，3，；
∵，
对应边成比例的是①和③．
故选：A．
7. 在中，的正切和的余弦满足，则为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答．
【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负，
∴ 且 ，
∴ ，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形．
故选：B．
8. 二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键．
根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解．
【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限，
，
，
二次函数与轴的交点在轴负半轴，
，
二次函数图象开口向上，
对称轴为直线，
对称轴在轴左边，
观察各选项，只有选项符合．
当时，反比例函数图象位于第二、四象限，
，
，
二次函数与轴的交点在轴正半轴，
，
二次函数图象开口向下，
对称轴为直线，
对称轴在轴左边，
观察各选项，没有选项符合．
故选：A ．
9. 如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴
设AD=2a，则AC=5a，
根据勾股定理得到
因而sinA=
故选B．
【点睛】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED∽△ABC是解决本题的关键．
10. 如图，在中，，点为上任一点，点为中点，连接，点在上，且满足，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1.5D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理的推论、相似三角形的判定及性质、解直角三角形等，取的中点为，可证得，得到点在以点为圆心，以长为半径的圆上．
【详解】如图所示，取的中点为，可得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴点在以点为圆心，以长为半径的圆上．
根据题意可知，当点位于上时，可取得最小值，如图所示．
∵为的中点，为的中点，
∴．
∴，．
∴．
∴．
故选：A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知，若，则_____．
【答案】0.618
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的余角关系，掌握锐角三角函数的基础性质是解题关键．
根据互余角的三角函数关系，计算即可．
【详解】解：若两个角互余，则其中一个角的正弦等于另一个角的余弦．
∵，
∴与互余，
已知，
故．
故答案为：．
12. 已知α是锐角，且，则α=___________．
【答案】45°
【解析】
【详解】试题分析：∵sin60°=，α是锐角，且sin（α+15°）=，∴α+15°=60°，解得α=45°．故答案为45°．
考点：特殊角三角函数值．
13. 如图，拦水坝的横断面为梯形，迎水坡的斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，背水坡的斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．若，则的长度是______．（参考数据：．）
【答案】31.6
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用坡度问题和勾股定理，准确计算是解题的关键．
首先由迎水坡的斜面坡度求出，然后得到，然后由背水坡的斜面坡度求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】∵迎水坡的斜面坡度
∴，即
∴
根据题意得，四边形是矩形
∴
∵背水坡的斜面坡度
∴，即
∴
∴．
故答案为：31.6．
14. 如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，过点作于点．
（1）_____；
（2）连接，若交于点，则_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，求角的正弦值，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线构造相似三角形是解题关键．
（1）连接，先根据矩形的性质及勾股定理求出的长，再求出，利用等面积法求出的长，最后根据正弦的定义求解即可；
（2）延长交于点，根据勾股定理求出，即可得，再证明，可得的长，进而得出的长，然后证明，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，连接．
∵四边形矩形，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
在中，由勾股定理得．
∵在矩形中，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点．
在中，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，零次幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先化简特殊角的三角函数值以及零次幂，再运算乘法，最后运算减法，即可作答．
【详解】解：

．
16. 在中，，，，解此直角三角形．
【答案】，，
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，需要求出直角三角形的未知边长和角度，已知直角三角形的两条直角边，可先根据勾股定理求出斜边，再利用三角函数求出两个锐角．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
∴，，
即，，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，二次函数的图象的对称轴为直线，与直线相交于点和点，其中点在轴上．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）当时，根据图象写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）求出点的坐标，结合二次函数的对称轴即可求解；
（2）根据图象即可解题．
【小问1详解】
解：在中，当时，，
∴，
把点代入二次函数，得，
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
∴该二次函数的解析式为：，
∴该二次函数的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：当时，根据图象知的取值范围为．
18. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形．
（1）直接写出点P的坐标；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为；
（3）若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查位似变换，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解；
（2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可；
（3）利用位似图形的性质求解即可；
【小问1详解】
解：如图，连接，并延长相交于点P，
∴；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为；
故答案为：．
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】
【答案】海里
【解析】
【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出、两岛之间的距离．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，，
∵，，
∴（海里），（海里），
在中，，，
∴（海里），
∴（海里），
∴、两岛之间的距离约为海里．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，掌握方位角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20. 如图，在中，于点，，连接并延长交边于点，已知，，．
（1）求的度数；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由余弦定义求出，由勾股定理得出，由求出，由为等腰三角形即可得出答案；
（2）过D作交于点G，求出，由平行线分线段成比例定理得，，得出，设，则，，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握解直角三角形和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
为等腰三角形，
；
【小问2详解】
，，
，
过D作交于点G，
，，
，
设，则，，，
．
六、（本题满分12分）
21. 如图1，是某中国工农红军西路军纪念碑，为缅怀革命先烈，传承红色情怀，某班组织学生参观并测量纪念馆中纪念碑的高度，测量方案如下：
请根据表中所给数据计算中国工农红军西路军纪念碑的高度（结果精确到）．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
设，根据正切的定义可得，在中，根据正切的定义可得，列方程解答即可．
【详解】解：设，
根据正切的定义可得：，
即，
在中，，
即，
解得：，
∴，
由题意可得，
∴．
答：中国工农红军西路军纪念碑的高度为米．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，取的中点，连接．
①求证：；
②若，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析 ②
【解析】
【分析】（1）先利用正方形性质证明，得到，进而证明，再结合公共角，证明三角形相似．
（2）①利用正方形对角线性质，，且，结合第（1）问的相似结论，进行等量代换；②过点作，根据，设，然后用表示出的长度，再结合勾股定理表示的长度；通过等面积法求出，然后根据正方形性质可得为等腰直角三角形，则，据此求出，最后利用三角函数定义计算即可．
【小问1详解】
解：四边形正方形，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：①在正方形中，为对角线，为中点．
故，
由正方形性质可得，则，即，
根据，可得，
故，即．
②如图，过点作．
，
设，则，，，
，则，
将、、代入，可得，
解得，
对角线，，
，为等腰直角三角形，
，
，
，
故．
答：．
【点睛】本题考查正方形的性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义，掌握相似比的等量代换是解题关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线与轴交于点和点，点位于原点左侧，点位于原点右侧，与轴交于点，连接，已知．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若是该抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
①如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标；
②如图3，设与交于点，连接，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）①点的坐标为；②的最大值为3．
【解析】
【分析】（1）先求出，可得，再由得出求出再运用待定系数法即可求得答案；
（2）①由点，，得直线的解析式，过点作轴交于点．设点，则点，得关于的方程，解出即可；
②由抛物线求出顶点的坐标为．由（ⅰ）知直线的解析式为，则点．设直线交于点，设点．由直线经过点，可设直线的解析式为，把点代入，得关于的方程，解出即可．
【小问1详解】
解：（1）将代入得，
，
，
．
，
，
由抛物线经过点，，得，
把点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
①设直线的解析式为，
将，代入得，
，解得，
得直线的解析式为，
如图2，过点作轴交于点，
设点，则点，
，
由题意，得，
整理，得，
解得（舍去）或，
则，
点的坐标为；
②由抛物线知，顶点的坐标为，
由①知直线的解析式为，则点，
如图3，设直线交于点，设点，
由直线经过点，
设直线的解析式为，
把点代入，
得，
解得（舍去）或，
即，
直线的解析式为，
当时，，即，
，
即的最大值为3．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，三角形的面积问题等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
课题
测量中国工农红军西路军纪念碑的高度
测量工具
卷尺、自制测角仪等
自制测角仪使用方法
利用量角器和铅锤自制如图2所示的简易测角仪，使用过程如图3，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点与视线重合时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．
测量示意图
如图4，纪念碑的高度为，小组成员从纪念碑的底部点出发，向前走到点处，用如图2所示的自制测角仪测得的度数，再继续向前走7.2到达点处，测得的度数，，为该成员眼睛到地面的距离，且点均在同一竖直平面内，点在同一条水平直线上，点在同一条水平直线上．
测量数据
在点测得的度数
在点测得的度数
该成员眼睛距离地面的高度
21.
参考数据
．