安徽省合肥市第四十五中学2025~2026学年上册九年级数学12月月考试题【附解析】

这是一份安徽省合肥市第四十五中学2025~2026学年上册九年级数学12月月考试题【附解析】，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）
A．4B．6C．8D．
3．若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段延长线上，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点，的读数分别为，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．有下列说法：（）三个点确定一个圆；（）平分弦的直径垂直于弦；（）相等的圆心角所对的弦相等；（）等弧所对的圆周角相等；（）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（）三角形的内心在三角形的内部．其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
7．如图，在中，弦过弦的中点，，，则长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．如图，点为的内心，，则的度数为 ．
12．若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为 cm．
13．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为轴上一动点，切于点B，则最小值是 ．
14．如图，点是等边三角形外接圆上的点，在以下判断中，正确选项有 ．
①当弦最长时，是等腰三角形； ②当是等腰三角形时，；
③当时，； ④当时，是直角三角形．
三、解答题
15．在如图所示的方格纸中建立平面直角坐标系，小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上．
（1）绕点顺时针旋转，使得点落在轴正半轴上，旋转后的三角形为，画出旋转后的；
（2）在（1）的条件下，线段所扫过的面积是______．
16．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．

17．已知，以为边向外作等边经过旋转后到达的位置，且点A，C，E恰好在一条直线上，．
（1）的度数．
（2）求点D到的距离．
18．如图，四边形是内接四边形，，，，，求的长．
19．如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的直径．
20．如图，是的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点，交于另一点，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为，若，求的长．
21．如图（1），是的直径，点D、F是上的点，连接并延长交于A点，且，．
（1）求证：
（2）求：
（3）如图（2），若点E是弧的中点，连接．求：．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．
故选D．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可．
【详解】∵正多边形的中心角为，
∴这个多边形的边数是，
∴正多边形的边数是8．
故选C．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟记弧长公式：（n是弧所对的圆心角度数），代入计算即可．
【详解】解：．
故选A．
4．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟知图形旋转前后对应线段相等是解题的关键．由旋转的性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解；由旋转的性质可得，
∵点D在线段的延长线上，
∴，
故选C．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，从而可求得度数．
【详解】解：由题意可知，所对的圆心角度数为：
那么
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了圆的性质，三角形的外心和内心，根据圆的性质、三角形的外心和内心的性质逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：（）不在同一条直线上的三个点确定一个圆，该选项说法错误；
（）平分不是直径的弦的直径垂直于弦，该选项说法错误；
（）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，该选项说法错误；
（）等弧所对的圆周角相等，该选项说法正确；
（） 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，该选项说法错误；
（）三角形的内心是角平分线的交点，总是在三角形的内部，该选项说法正确；
综上，正确的说法有个，
故选．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，证明，再利用相似三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
设，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
故选．
8．【正确答案】D
【分析】本题考查了切线长定理、圆周角定理、圆的切线性质等知识点，连接，可得，，；据此即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
由切线的性质以及切线长定理得：，，，
∵，
∴
∴；
的周长
故选D
9．【正确答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称最短路线问题等，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，可得，即得，即得到最小值为的长度，再利用已知条件和圆周角定理求得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，
∵为直径，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴最小值为的长度，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选．
10．【正确答案】D
【分析】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．利用AB与⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：
【详解】∵AB与⊙O相切，
∴∠BAP=90°，
∵OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°，
∴AB=，
∴△APB的面积，（0≤x≤2）．
∴△PAB的面积y关于x的函数图象是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分．
故选D．
11．【正确答案】/125度
【分析】利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案．
【详解】解：∵O是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
12．【正确答案】4
【分析】根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解．
【详解】解：设母线长为R，由题意得：
，
∴，
解得：，
∴这个圆锥的母线长为4cm，
故答案为4．
13．【正确答案】2
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是将的最小值问题转化成的最小值问题，再根据垂线段最短的性质进行分析，最后利用勾股定理求得答案．
【详解】如图，连接，，
根据切线的性质定理，得
，
要使最小，只需最小
当轴于P时，最短
此时P点的坐标是，，
在中，，，
则最小值是．
14．【正确答案】①②④
【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理以及垂径定理等，根据直径是圆中最长的弦，可知当弦最长时，为的直径，由圆周角定理得出，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出，即可判断①； 当是等腰三角形时，分三种情况：，，，确定点的位置后，根据等边三角形的性质即可判断②； 当时，由垂径定理得出是的垂直平分线，点或者在的左侧，或者在的右侧，结合点在不同位置时的角度，即可判断③； 当时，点或者在点的左侧，或者在点的右侧，求出点在不同位置时，中有无直角，即可判断④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：①如图，当弦最长时，为的直径，
∵是的直径，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形，
故本选项正确，符合题意；
②当是等腰三角形时，分三种情况：
如果，那么点在的垂直平分线上，则点或者在图中的位置，或者与点重合，如图，所以，故②正确；
如果，那么点与点重合，所以，故②正确；
如果，那么点与点重合，所以，故②正确；
故本选项正确，符合题意；
③当时，平分，则是的垂直平分线，点或者在图中的位置，或者与点重合，
如果点在图中的位置，；
如果点在点的位置，；
故本选项错误，不符合题意；
④当时，点或者在的位置，或者在的位置，如图，
如果点在的位置，，
∴是直角三角形；
如果点在的位置，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
故本选项正确，符合题意；
综上，正确选项有①②④.
15．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）绕点顺时针旋转，使得点在轴正半轴上，可得旋转角，根据旋转的性质即可画出；
（2）根据旋转可知，线段所扫过的图形为圆心角为，半径为的扇形，根据扇形面积公式，可得答案．
【详解】（1）如图，即为所求
（2）由旋转可得
∵
∴线段所扫过的面积为
故答案为
16．【正确答案】该门洞的半径为．
【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，
根据题意，得，，

根据勾股定理，得，
解得，
答：该门洞的半径为．
17．【正确答案】（1）；
（2）点D到的距离为．
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由旋转可得 ，，，证明是等边三角形，即可求解；
（2）过点作，交于点，由旋转的性质和等边三角形，得到， ，由勾股定理得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
由旋转可得： ，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：过点作，交于点，如图：
由旋转可得：，
∴，
∵为等边三角形，
∴ ，，
又∵，
∴，，
在中，，
∴点D到的距离为．
18．【正确答案】
【分析】延长，二线交于点E，根据圆的内接四边形的性质，利用特殊角的三角函数解答即可．
【详解】解：延长，二线交于点E，
∵四边形是内接四边形，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）的直径长为20
【分析】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出，利用平行线的性质判定可得出，利用平行线的性质可得出，然后利用切线的判定即可得证；
（2）作于点I，由垂径定理得，再证明四边形是矩形，得，则，由勾股定理得，求得，即可求的直径．
【详解】（1）
证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径；
∴直线是的切线；
（2）
解：如图，作于点I，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的直径长为20．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（）利用等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角的性质可得，由角平分线的定义得，进而根据可得，即得到，即可求证；
（）由（）可得，再根据等腰三角形的性质可得，即得，，得到，，再根据勾股定理解答即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：由（）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据圆内接四边形的外角等于内对角得出即可得证；
（2）连接，根据，利用比例关系和勾股定理求出和即可得出；
（3）证，得出，再利用等腰直角三角形得出的值即可．
【详解】（1）解：∵四边形是圆O的内接四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
（3）解：如下图：
∵E是弧的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴．