2026【T8联考】八省八校高三上学期12月联合测评试题（河北）数学含答案

高三年级 12 月检测训练 数学试题一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1. 已知集合 A=x∣x2−2x−3≥0,B=x lnx≥12 ,则 A∪B=A. [3,+∞) B. −∞,−1]∪e,+∞C. (−∞,−1]∪[3,+∞) D. −1,e2. 已知复数 z 满足 2z+1=3−zi ,则 z⋅z=A. 4 B. 22 C. 2 D. 23. 已知 a>0,b>0,ab=1a+1b ,则 1loga2+1logb2 的最小值为A. 3 B. 2 C. 2 D. 14. 已知点 G 为 △ABC 的重心,若 BG=λBC+μAG ,则 λ−μ=A. 0 B. 1C. 32 D. 35. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1=−5,an=Snn+2n−1 ,若对任意 n∈N∗ . λ≤Sn 恒成立,则实数 λ 的取值范围是A. (−∞,−3] B. (−∞,−5]C. (−∞,−3] D. (−∞,−2]6. 图 1 是古书《天工开物》中记载的简车图. 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具. 在农业上得到广泛应用. 在图 2 中,一个半径为 2 m 的筒车按逆时针方向每分钟转 1.5 圈,简车的轴心 O 距水面的高度为 3 m . 设筒车上的某个盛水桶 P (看作点)到水面的距离为 d (单位: m ) (若在水面下则 d 为负数),若以盛水桶 P 刚浮出水面时开始计时, d 与时间 t (单位:s) 之间的关系为 d=Asinωt+φ+KA>0,ω>0,−π20,kx+1,x0 的解集为 0,1C. h1630 的焦点为 F . 斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 M,N 两点. 则 FM−FNMN 的值为_____.14. 已知 α,β∈R,sinα−sinβ⋅cosβ−cosα=0 ,则 sinα+cosβ−2 的最小值为_____.四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 13 分)在 △ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c ,且满足 cos2A2=b+c2c .(1)求角 C 的大小；(2)若点 D 在边 AB 上，且满足 AB=3AD ，求 tanAtan∠ACD 的值.16. (本小题满分 15 分)(1)1 个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动 1 个单位长度(相对于原点 O ，质点向右移动了 ii∈N 个单位长度后位置记为 i ,向左移动了 ii∈N 个单位长度后位置记为一 i ). 已知质点每次向右移动的概率为 p00 的左、右焦点分别为 F1−2,0 . F22.0 . 且椭圆 C 过点 2,3 ,椭圆的下顶点为 E .(1)求椭圆 C 的方程:(2)过右焦点 F 。的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点(点 A 在点 B 的上方)，与 y 轴交于点 P (点 P 在点 E 的下方). Q 为点 P 关于原点的对称点， QB 交 x 轴于点 R ，设 △PBQ⋅△BF2Q⋅△AF2Q 的面积分别为 S1,S2,S3 .① 若直线 l 的斜率为 2，求 S1+S3S2+S3 的值；②是否存在直线 l ，使 Q ， R ， F2 ， A 四点共圆？若存在，试判断直线 l 的条数；若不存在. 请说明理由. 19. (本小题满分 17 分)约翰・卡尔・弗里德里希·高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有 “数学王子”之称. 函数 y=x 称为高斯函数，其中 x 表示不超过实数 x 的最大整数,如 1.2=1,−1.3=−2 . 已知函数 fx=2cosxx .(1)当 x=4 和 x=5 时,求 fx 的值;(2)设 gx=x+45−x+5,x1=5,xn+1=gxn,n∈N∗ .① 求 i=1nfx, 的表达式; g5>3.9,g3.93.9② 求 i=1nxi 的表达式.