安徽省六安市清水河学校2024一2025学年上学期九年级期末素质评估 数学试题

这是一份安徽省六安市清水河学校2024一2025学年上学期九年级期末素质评估 数学试题，共29页。试卷主要包含了 在中，，则的值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ）
A. B. C. D. 无法确定
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 二次函数 的图象的顶点坐标是 （ ）
A. B. C. D.
4. 如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（ ）
A. B. C. 3D.
6. 在中，，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
7. 如图，在中，为上一点，，与交于点．若，则的长为（ ）
A. 6B. 4C. 5.2D. 4.8
8. 如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（ ）
A. 1B. 2C. D.
9. 若抛物线经过四个象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（ ）
A. B. 2C. 2D. 3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为_______．
12. 一个斜坡坡度为i=1：2，若某人沿斜坡直线行进100米，则垂直高度上升了_______米.
13. 如图，某小区计划用总长为的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚（墙足够长），为了方便存车，在边上开了一个宽的门（门不是用铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为，则与之间的函数关系式是_____．
14. 如图，在正方形中，点是边上的动点(不与点重合)，，交延长线于点于点，连结交于点，点是的中点，连结．求：
①的度数为_______
②当时，_______．(用代数式表示)
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 已知为的三边长，且满足，，求的周长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．
（1）求AC的长；
（2）若，求证：△ADE∽△ABC．
18. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围）
（2）当气球内的气压为千帕时，求气球的体积．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． 在中，，，．
（1）在图中作出以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后图形．
（2）若点A的坐标为，点B的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标．
（3）根据（2）中的平面直角坐标系，作出与关于原点对称的．
20. 如图，等腰中，，交于，两点，半径于．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
六、（本题满分12分）
21. 如图，熊猫基地新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．由于之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点在点A的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点A的正东方向400米处，点在点的北偏东方向上，且米．求的长度（精确到1米）．（参考数据：，）
七、（本题满分12分）
22. 在中，，为上一点，为延长线上一点，且．
（1）如图1，若，．
①的度数为______；
②求证：；
（2）如图2，若，求证：．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线经过两点，与轴交于点第四象限内抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设四边形的面积为，求的最大值；
（3）如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．2024－2025学年度第一学期九年级期末素质评估
数学试题
注意事项：
1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆的关系解答.
【详解】∵点在外，的半径为3，
∴点到圆心的距离为>3，
故选：A.
【点睛】此题考查点与圆的位置关系：点与圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d0
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10. 等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（ ）
A. B. 2C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先利用定理求得，再证得，利用对应边成比例，即可求得答案.
【详解】如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴，，
设，则，如图，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为_______．
【答案】110
【解析】
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．
根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．
【详解】解：∵点、、在上，，
，
故答案为：110．
12. 一个斜坡的坡度为i=1：2，若某人沿斜坡直线行进100米，则垂直高度上升了_______米.
【答案】20
【解析】
【分析】根据题意作出图形，由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得tan∠A=，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．
【详解】解：
由题意得，BC：AC=1：2，
∴BC：AB=1：，
∵AB=100m，
∴BC=20m．
故答案为20．
【点睛】本题考查坡度的定义以及解直角三角形的应用，解题关键是画出示意图会使问题具体化．
13. 如图，某小区计划用总长为的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚（墙足够长），为了方便存车，在边上开了一个宽的门（门不是用铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为，则与之间的函数关系式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，先求出的长，由矩形的面积公式可求y与x之间的函数关系式．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故答案为：．
14. 如图，在正方形中，点是边上的动点(不与点重合)，，交延长线于点于点，连结交于点，点是的中点，连结．求：
①的度数为_______
②当时，_______．(用的代数式表示)
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先证明，得出是等腰直角三角形，根据点是的中点，得出，进而根据得出四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得出；根据题意设，，则，连接，延长交的延长线于点，由，则点在上，证明得出，设，则，证明，得出，进而代入，即可求解．
【详解】∵四边形是正方形，
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
在与中，
；
，，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
四边形是正方形，
，
且，
，
，
即．
是等腰直角三角形，
又点是的中点，
，，
，
，
四点共圆，
；
②四边形都正方形，共线，
，
，设，，则，
如图所示，连接，延长交的延长线于点，
，
，则点在上，
，
，
，
又，
，即，
，
，
设，则，
，
，
即，
解得：，即，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了直角所对的圆周角是直径，同弧所对的圆周角相等，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识的解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
16. 已知为的三边长，且满足，，求的周长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质．设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴的周长为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．
（1）求AC的长；
（2）若，求证：△ADE∽△ABC．
【答案】（1）AC=；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可；
（2）根据已知线段的长度求出，根据相似三角形的判定即可得出△ADE∽△ABC．
【小问1详解】
解：∵EF∥CD，
∴，
∵AF=3，AD=5，AE=4，
∴，
解得：AC=；
【小问2详解】
证明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
18. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围）
（2）当气球内的气压为千帕时，求气球的体积．
【答案】（1）
（2）立方米
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可．
（1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可；
（2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可．
【小问1详解】
解：设，
由函数图象可得，点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：由（1）得，反比例函数的表达式为：，
当时，
∴，
答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． 在中，，，．
（1）在图中作出以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形．
（2）若点A的坐标为，点B的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标．
（3）根据（2）中的平面直角坐标系，作出与关于原点对称的．
【答案】（1）见解析 （2）建立平面直角坐标系见解析．点C坐标为
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转作图、平面直角坐标系、关于原点对称点的坐标特征等知识点，正确建立直角坐标系是解题的关键．
（1）利用网格特点和旋转的性质画图即可；
（2）利用点A、B的坐标画直角坐标系，然后写出C点的坐标即可；
（3）先根据关于原点对称点的坐标特点确定点，然后顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：建立平面直角坐标系如图所示．点C的坐标为．
【小问3详解】
解：如图，即为所求．
20. 如图，在等腰中，，交于，两点，半径于．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理．
（1）根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据垂径定理可证，根据等式的性质可得；
（2）连接AD构造，由（1）知，，设半径为，则，利用勾股定理求圆的半径．
【小问1详解】
证明：在中，，于，
，
是的弦，是半径，且于，
，
，
；
【小问2详解】
解：如下图所示，连接AD，
由（1）知，，
设半径为，则，
在中，
解得：，
的半径为．
六、（本题满分12分）
21. 如图，熊猫基地新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．由于之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点在点A的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点A的正东方向400米处，点在点的北偏东方向上，且米．求的长度（精确到1米）．（参考数据：，）
【答案】米
【解析】
【分析】本题主要考查了三角函数、矩形、直角三角形的知识，熟练掌握三角函数、直角三角形的性质是解题的关键．作于，于，根据矩形和三角函数的性质，推导得，再根据等腰直角三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】作于，于，
∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∵
∴，
∴（米），
∵
∴（米），
∵
∴是等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米），
（米）．
七、（本题满分12分）
22. 在中，，为上一点，为延长线上一点，且．
（1）如图1，若，．
①的度数为______；
②求证：；
（2）如图2，若，求证：．
【答案】（1）①；②见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形，全等三角形，等腰三角形，直角三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和，三角形的外角，进行解答，即可．
（1）①根据等边对等角，三角形的内角和，求出，根据三角形的外角，则，根据三角形的内角和，即可；②根据平角的性质，求出，根据等边对等角，则，，等量代换，则，根据相似三角形的判定，即可；
（2）过点作交的延长线于点，根据等边对等角，则，，等量代换，则，根据全等三角形的判定和性质，则，根据直角三角形的性质，则，最后根据，即可．
【小问1详解】
解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设四边形的面积为，求的最大值；
（3）如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）S的最大值为
（3）
【解析】
【分析】（1）将，代入，即可求解；
（2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可；
（3）由题意得到，则，设，由，求出即可．
【小问1详解】
解：将，代入，得：
，
，
；
【小问2详解】
解：过点P作轴于点N，如图所示，

令，则，
∴，
∴，
∵P为第四象限内抛物线上一点，设点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴当时，S有最大值，．
【小问3详解】
解：如图，

∵轴，轴，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键．