江西省景德镇市2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

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1. 计算，正确的结果是
A. B. C. D.
答案：D
解：．
故选：D．
2. 冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名新型冠状病毒，半径约是米，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：，
故选C
3. 已知，那么代数式的值是（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
答案：C
解：∵，
∴
．
故选：C．
4. 下列说法中：①同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若，b//c，则a//c.正确的有( )
A. ①②③B. ②③⑤C. ②④⑤D. ③④⑤
答案：B
两直线平行，同位角相等，故①错误，
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确，
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③正确，
三条直线两两相交，总有三个交点或一个交点，故④错误，
若，b//c，则a//c，故⑤正确，
综上所述：正确的有②③⑤，
故选：B．
5. 已知直线a∥b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是（ ）
A. 45°B. 60°C. 75°D. 80°
答案：C
解：延长AB交直线a于C．
∵a∥b，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠CDB+∠CBD，∠CDB=30°，∠CBD=45°，
∴∠1=∠2=75°，
故选C．
6. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是（ ）

A. 55B. 30C. 16D. 15
答案：D
解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，
∵当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，
∴当5≤x≤11时，y不变，说明BC=5，AB=11-5=6，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=6，
由图像可知，当点P位于C、D之间时
△ABP的面积最大，
∴y最大为 ．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知，则________．
答案：
解：∵，
∴；
故答案为：
8. 已知，，，求________．
答案：
解：∵，，，
∴，
；
故答案为：3．
9. 若x2-mx+36是一个完全平方式，则m=____________________.
答案：±12
解析：∵x2+mx+36是一个完全平方式，
∴m=±12.
故答案为±12.
10. 某数学兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则________．
答案：
解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
又，，
∴，，
∴．
故答案为：．
11. 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：________．
答案：
解：
故答案为：．
12. 如图，已知直线被直线所截，．E是平面内任意一点（点不在直线上），设．则的度数为 _____．
答案：或或或
解：（1）如图1，由，可得，
，
．

（2）如图2，过作平行线，则由，可得，，
．

（3）如图3，由，可得，
，
．

（4）如图4，由，可得，
．

（5）（6）当点在的下方时，同理可得，或．
综上所述，的度数可能为，，，．
故答案为：或或或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算
（1）
（2）（简便运算）
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
14. 一个角的补角比这个角的余角的4倍还多，求这个角的度数．
答案：
解：设这个角的度数为x，则：
，
解得：．
∴这个角度数是．
15. （1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
答案：（1）；（2）
解：（1）∵，，
∴；
即值是87；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的值是14．
16. 如图，在7×7正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺在所给的网格中画图，保留画图过程的痕迹．
（1）在如图1中找一格点C，画一条线段AB的平行线段CD；
（2）在图2中找一格点E，画出三角形ABE，使得S△ABE＝4．
答案：（1）见解析 （2）见解析
【小问1详解】
解：如图，线段CD即为所求；
【小问2详解】
如图，△ABE即为所求．
17. 如图，已知，．

（1）求证：．
（2）若，且，求的度数．
答案：（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
∵，，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18. 下列各情境分别可以用右边哪幅图来近似的刻画？横线上填相应的字母序号．
（1）一面冉冉上升的旗子________
（2）匀速行驶的汽车________
（3）足球守门员大脚开出去的球________
（4）一杯越晾越凉的水________
答案：（1）D （2）B
（3）A （4）C
【小问1详解】
解：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画，
故答案为：D；
【小问2详解】
匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画,
故答案为：B．
【小问3详解】
足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画,
故答案为：A；
【小问4详解】
一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画,
故答案为：C；
19. 如图，，，求证：．

根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．
证明：∵（已知），
∴（ ），
∴（ ），
又∵（已知），
∴______（ ），
∴______（ ），
又∵______，______，
∴（等量代换）．
答案：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；
解：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵，，
∴（等量代换），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；．
20. 为了检测甲、乙两种容器的保温性能，检测员从每种容器中各取一个进行实验：在两个容器中装满相同温度的水，每隔测量一次两个容器的水温（实验过程中室温保持不变），最后他把记录的温度画成了如图所示的图象观察图象，并回答下列问题：
（1）经过1h，两个容器的水温各是多少？哪个容器中的水温较高？
（2）你估计检测员实验时室温可能是多少？
（3）你认为哪种容器的保温性能更好些？说说你的理由．
答案：（1）经过，两个容器的水温分别是，甲容器中的水温较高．
（2）室温可能是．
（3）甲容器的性能好．理由见解析
【小问1详解】
解：如图，
由，可得：
经过，两个容器的水温分别是，甲容器中的水温较高．
【小问2详解】
由图象可得：室温可能是．
【小问3详解】
甲容器的性能好．
理由如下：随着时间的变化，甲容器对应的玻璃杯中温度下降较慢．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片________张，B号卡片________张，C号卡片________张．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系________；根据得出的等量关系，解决问题：已知，求的值．
（3）两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分面积和．
答案：（1）2，3，7；
（2），
（3）
【小问1详解】
解：，
A种纸片的面积为，B种纸片的面积为，C种纸片的面积为，
需A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片7张；
故答案为：2，3，7；
【小问2详解】
由图2知，大正方形的面积为，又可以为，
；
∵
设，，则，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
由题意和图形知，，
则，
∵，
则，
则，
，
或 (舍去)，
阴影部分的面积和为．
22. 甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示：
（1）求甲、乙两车的速度分别是多少？
（2）乙车出发多长时间追上甲车？
（3）从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距50？
答案：（1）甲、乙两车的速度分别是和
（2）乙车出发追上甲车
（3）分别在上午6：15，8：45，9：10这三个时间点两车相距
【小问1详解】
解：由图象可知，甲的速度，
乙的速度，
∴甲、乙两车的速度分别是和；
【小问2详解】
设乙车出发追上甲车，
由题意：，
解得：，
∴乙车出发追上甲车；
【小问3详解】
设乙车出发后到甲车到达B城车站这一段时间内，甲车与乙车相距时甲车行驶了，
①当甲车在乙车前时，
得：，
解得：，
此时是上午6：15；
②当甲车在乙车后面时，
，
解得：，
此时是上午8：45；
③当乙车到达B城后，
，
解得：，
此时是上午9：10．
∴分别在上午6：15，8：45，9：10这三个时间点两车相距．
六、（本大题共12分）
23. 【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．
（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由．
（3）【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程．
答案：（1），证明见解析
（2），理由见解析
（3）
【小问1详解】
解：， 理由如下：
过E作，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
如图，过作，过作，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图，分别过作，的垂线，，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∴，
过作的平行线，而，
∴，
∴，，
∴，
∴．