福建省福州现代中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州现代中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择，填空，解答等内容，欢迎下载使用。
一、选择（每小题4分）
1. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图的定义即可求解．
【详解】由图可得这个几何体的主视图是
故选C．
【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知主视图的定义．
2. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式解析式即可写出顶点坐标．
【详解】解：对于二次函数，
当时，y取最小值，
因此顶点坐标为．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为 ，需要熟记并灵活运用．
3. 如图，点A，B，C，D，E在上，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弦与弧之间的关系，根据弦与弧之间的关系得到，再根据同圆中等弧所对的圆周角是圆心角度数的一半可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选D．
4. 已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ）
A. 8B. －8C. 4D. －4
【答案】A
【解析】
【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解．
【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根，
∴4+2b-c =0，
∴2b-c =-4．
∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解．
5. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）
A. 5tB. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由反比例函数中的的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案.
【详解】解：如图，记直线y＝t与轴交于点
由反比例函数的系数的几何意义可得：


故选：
【点睛】本题考查是反比例函数的系数的几何意义，掌握反比例函数的系数与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键.
6. 已知二次函数 (a 为常数，且 )的图象上有三点则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴函数图象开口向上，
∵，点在二次函数 (a 为常数，且 )的图象上，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7. x为锐角，，则csx的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据锐角三角函数的概念求解即可．
【详解】解：如图，
设，，
∵，
∴
设，
根据勾股定理得，，
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求锐角三角函数值，正确理解边与边的比是解答本题的关键．
8. 函数的图象如图，关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不等的实数根
C. 没有实数根D. 有两个异号的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可知二次函数与直线没有交点，则关于x的一元二次方程的根的情况是没有实数根，据此可得答案．
【详解】解：由函数图象可知，二次函数的最大值为4，
∴二次函数与直线没有交点，
∴关于x的一元二次方程的根的情况是没有实数根，
故选C．
9. 如图，矩形中，，F是中点，以点A为圆心，为半径作弧交于点E，以点B为圆心，为半径作弧交于点G，则图中阴影部分面积的差为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形可以求得的长，然后根据图形即可求得的值．
【详解】解：∵在矩形中，，F是中点，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10. 二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图像的开口方向向下，对称轴为，该函数的最大值为，由题意可解得，根据函数图像可知的值越小，其对称轴越靠左，满足的的值越小，故令即可求得的最大值．
【详解】解：∵函数，且，
∴该函数图像的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图像的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，
∴满足的的最大值为，
即的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，解题关键是理解题意，借助函数图像的变化分析求解．
二、填空（每小题4分）
11. 将抛物线向左平移2个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图像的平移规律即可求解．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，抛物线的函数表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是关键．
12. 若圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面展开图的面积为_____cm2．
【答案】15
【解析】
【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.
【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm
∴圆锥的母线长
∴圆锥的侧面展开图的面积
故填：.
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
13. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为，进而得出谁大谁的函数图象在上面，进而求出x取值范围即可．
【详解】解：∵不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为，
∴图象上抛物线在直线下方时对应x的范围即为不等式的解集，
观察函数图象可知：当时，抛物线在直线的下方，
∴不等式ax2﹣kx＋c＜b解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组）的知识点，解题关键在于对图像得理解，谁大谁的图象在上面．
14. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．

【答案】3
【解析】
【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴当x=1时，，
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
15. 如图平面直角坐标系中，的半径为，弦的长为4，内一点D的坐标为，当弦绕点O顺时针旋转时，点D到的距离的最小值是_________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短，过点O作于H，过点D作于G，连接，由垂径定理得到，由勾股定理可得，再由，可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点O作于H，过点D作于G，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为6，
∴点D到的距离的最小值是6，
故答案为：6．
16. 如图，点是反比例函数上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点、，若，，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】延长交轴于，延长交轴于，设点，可表示出和两点坐标，计算得出，从而得出，进而推出，根据，进而得出是的中位线，再证得，从而得出，的关系式，结合，从而求得，的值，进而得出结果．
【详解】解：如图，延长交轴于，延长交轴于点，

设点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案是：
【点睛】本题结合反比例函数知识，考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，发现和构造相似三角形．
三、解答（共86分）
17. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）移项后运用因式分解法，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）代入各个特殊值，再根据实数的混合运算法则求出即可．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2）
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的应用，主要考查学生的计算能力．
18. 已知关于x的二次函数，该函数图象经过点．
（1）求这个二次函数的表达式及顶点的坐标；
（2）若这个二次函数图象与轴的交点为，请直接写出的面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为，二次函数顶点B点坐标为
（2）的面积等于1
【解析】
【分析】主要考查了待定系数法求函数解析式、化一般式为顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法
（1）由待定系数法确定函数关系式，然后将其转化为顶点式方程，直接写出顶点坐标；
（2）根据三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
∵该二次函数图象经过点，
∴，解得：．
∴二次函数的表达式为．
∵，
∴二次函数顶点点坐标为；
【小问2详解】
令，则．
该二次函数图象与轴的交点C的坐标为．
∵，，
∴，
∴．
19. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD．

（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求 CG的长．
【答案】（1）见解析；（2）CG＝6．
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF；
（2）求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质得出，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，得出，求出CG＝6，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∵∠BEF＝90°，
∴∠DEF+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，
∴DF＝1，CF＝3，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得：DE＝2，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△GCF，
∴，即，
∴CG＝6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
20. 已知二次函数，从0，1，2三个数中任选两个分别作为的b、c值，求该二次函数与坐标轴恰有三个交点的概率．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，树状图法或列表法求解概率，根据二次根式与坐标轴有三个交点可得，且，再画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合二次函数与坐标轴恰有三个交点的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：∵二次函数与坐标轴恰好有三个交点，
∴二次函数与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且与x轴的交点不能是原点，
∴，且，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中该二次函数与坐标轴恰有三个交点的结果为0，
∴从0，1，2三个数中任选两个分别作为的b、c值，该二次函数与坐标轴恰有三个交点的概率为0．
21. 六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现，若水蜜桃的售价为15元千克，则日销售量为48千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克（销售价格为整数），若政府将销售价格定为不超过30元/千克，每日销售额为W元，求W的最大值和最小值．
【答案】W的最大值和最小值分别为，
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，销售价格为x元，则销售量为千克，根据销售额销售单价销售量列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设销售价格为x元，则销售量为千克，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W随x增大而增大，当时，W随x增大而减小，
∵政府将销售价格定为不超过30元/千克，
∴，
∴当时，W最大，最大值为；
当时，；
当时，；
∴W的最大值和最小值分别为，．
22. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

【答案】点离地面的高度升高了，升高了．
【解析】
【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，
∴，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
当时，则，
此时，，
∴，
当时，则，
∴，
而，，
∴点离地面的高度升高了，升高了．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
23. 如图，，半径为1的与角的两边相切，点P是上一动点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F．
（1）尺规作图：在图1中作；
（2）设，直接写出t的取值范围是___________；
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】1）根据尺规作图作垂线的方法，以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点D、G，分别以点D、G为圆心，适当长为半径画弧，交直线下方于点H，连结点 P、H，直线交直线于点F，得，同理可得；
（2）利用切线的性质以及直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用正方形即可求解．
【小问1详解】
解：如下图：以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点D、G，分别以点D、G为圆心，适当长为半径画弧，交直线下方于点H，连结点 P、H，直线交直线于点F，得，同理可得；
【小问2详解】
设半径为1的与角的两边相切于M、N，如下图，连接，延长交于点D，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
如上图，延长交于Q，
，，
，
，
，
与是直角三角形，
，
，
当与相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，
连接，则四边形是正方形，
,
，
如下图，当与相切且点P在圆心的左侧时，t有最小值，
同理可得：，
故t的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．
24. 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C(0，4)．
（1） （2）
（1）直接写出抛物线函数表达式．
（2）如图2，D为抛物线对称轴上的一点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值及点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC，M为x轴上的点，点Q在抛物线上，若存在以点C，Q，M为顶点的，请求出点M的坐标，若不存在请简单说明理由（点M不与点O重合）．
【答案】（1）；
（2）存在；最大值；D；
（3）存在；或或；
【解析】
【分析】（1）由A、B、C坐标待定系数法求函数解析式即可；
（2）连接AD，连接CA并延长交抛物线对称轴于点F；当C、A、D三点不共线时可得|AD－CD|＜AC；当C、A、D三点共线时可得|AD－CD|=AC，此时D与F重合；由A、C坐标求得CA所在直线的关系式即可解答；
（3）分两种情况讨论：①当点Q在x轴上方抛物线上时，过点Q作QE⊥x轴于E，由得出，再由△COM∽△MEQ得出，设M（m，0）求得Q点坐标代入抛物线求m即可；②当点Q在x轴下方抛物线上时，过点M作x轴垂线l，过点C作CP⊥l于P，过点Q作QN⊥l于N，根据①的解答求解即可；
【小问1详解】
解：将A(1，0)、B(4，0)、C(0，4)代入函数解析式得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图，连接AD，连接CA并延长交抛物线对称轴于点F，
抛物线的对称轴为x=，
∵点D在抛物线对称轴上，
∴DA=DB，
∴|BD－CD|=|AD－CD|，
当C、A、D三点不共线时可得：|AD－CD|＜AC，
当C、A、D三点共线时可得：|AD－CD|=AC，
∵AC=，
∴|BD－CD|≤，
设CA所在直线关系式为y=kx+n，
由A(1，0)、C(0，4)可得：n=4，k=-4，
∴y=-4x+4，
当x=时y=-6，
∴F（，-6），即D与F重合时，取得最大值；
【小问3详解】
解：①当点Q在x轴上方抛物线上时，如图，过点Q作QE⊥x轴于E，
∵，
∴，∠CMQ=90°，
∵∠OMC+∠OCM=∠OMC+∠EMQ=90°，
∴∠OCM=∠EMQ，
∵∠COM=∠MEQ=90°，
∴△COM∽△MEQ，
∴，
设M（m，0），则ME=1，QE=，
∴Q（m+1，）
Q点代入抛物线得：，
解得：m=0（不符合题意舍去）或m=，
∴M（，0）；
②当点Q在x轴下方抛物线上时，如图，过点M作x轴垂线l，过点C作CP⊥l于P，过点Q作QN⊥l于N，

∵，
∴，∠CMQ=90°，
∵∠PMC+∠PCM=∠PMC+∠NMQ=90°，
∴∠PCM=∠NMQ，
∵∠CPM=∠MNQ=90°，
∴△CPM∽△MNQ，
∴，
设M（m，0），则MN=，QN=1，
∴Q（m-1，-）
Q点代入抛物线得：，
解得： m=，
∴M（，0）或M（，0）；
综上，存在这样的点M， M（，0）或M（，0）或M（，0）；
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数对称性，相似三角形的判定和性质；综合性较强，正确作出辅助线是解题关键．
25. 如图1，在中，，是上一点（不与点，重合），过点作于点，连接并延长交的外接圆于点，连接，，．

（1）求证：．
（2）若，求证：．
（3）如图2，，．
①若，求的长．
②求的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等得，由余角的性质得，进而可证结论成立；
（2）通过证明，得，由补角的性质可证，等量代换得，进而可证；
（3）①由，结合勾股定理求出和，由得，设，利用求出，再利用勾股定理即可求出的长；
②通过证明，可得，设，表示出和，然后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
【小问3详解】
①∵，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
设．
∵，
∴，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴A，C，P，D四点共圆，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取得最大值．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的知识，以及二次函数的性质，熟练掌握圆的性质，相似三角形的判定，以及二次函数的性质是解答本题的关键．