福建省福州市金港湾实验学校2023-2024九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州市金港湾实验学校2023-2024九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、座号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
1. 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道，下列有关环保的四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.
2. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：移项得：，
，
即，．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
3. 已知点与点关于原点对称，那么的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点横纵坐标均互为相反数得出的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称，熟知关于原点对称的两个点横纵坐标均互为相反数是解本题的关键．
4. 将二次函数y＝+6x+2化成y＝+k的形式应为（ ）
A. y＝﹣7B. y＝+11
C. y＝﹣11D. y＝+4
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法的基本步骤，规范配方，后对照选项作出判断．
【详解】∵y＝+6x+2
=+6x++2
=﹣7，
故选A．
【点睛】本题考查了将一般形式的二次函数进行配方化成配方式，熟练掌握配方的基本步骤，规范配方是解题的关键．
5. 已知二次函数，下列叙述错误的是（ ）
A. 图象开口向上B. 图象的对称轴为直线
C. 函数有最小值D. 时，函数值y随自变量x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可进行判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值；故A、C正确；
∵，
∴图象的对称轴为直线，故B正确；
∴当时，函数值y随自变量x的增大而增大，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
6. 如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A. 3 cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
【答案】B
【解析】
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案．
【详解】连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC=AB=3cm，
∴OC==4．
故选：B．
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△由△绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ）
A. （0， 1）B. （1， -1）C. （0， -1）D. （1， 0）
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：由图形可知，
对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线过点（0，-1），根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心．
故旋转中心坐标是P（1，-1）
故选B．
8. 将点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用旋转变换的性质画出图形，可得结论．
【详解】解：如图，

观察图象旋转后的坐标为．
故选：B
【点睛】本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，学会用图象法解决问题．
9. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A. (60 - x)x = 864B. = 864
C. (60 + x)x = 864D. (30 + x)(30 - x)= 864
【答案】B
【解析】
【分析】画图分析即可得，宽为步，长为步，根据面积关系即可得方程．
【详解】画图如下：

由图知：宽为步，长为步
则可得方程为： = 864
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，弄懂题意并画图分析得到宽与长是关键．
10. 已知点在抛物线上，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据进行讨论，然后根据函数的增减性即可得出答案
【详解】解：∵
∴或
∴或
∵抛物线的对称轴为：
∵
∴点A比点B与对称轴的距离远，
∴
∵
∴点A比点B与对称轴的距离远，
∴
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 将抛物线向左平移2个单位长度再向上移4个单位长度，得到的抛物线解析式是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数“左加右减、上加下减”的平移规律即可得答案．
【详解】解：∵将抛物线向左平移2个单位长度再向上移4个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式是
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数二次函数平移法则是解题关键．
12. 受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月的720万元，连接两个月降至500万元，设平均每月降低率为x，则可列方程________．
【答案】
【解析】
【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论．
【详解】解：依题意，得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离为________m．
【答案】10
【解析】
【分析】推出的距离就是当高度时x的值，所以解方程可求解．
【详解】解：当时，
解得：（不合题意，舍去），
则铅球推出的距离为是10m
故答案为：10
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
14. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如下表：则二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝2时，y＝_________．
【答案】-8
【解析】
【分析】观察表中的对应值得到x＝−3和x＝5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x＝1，所以x＝0和x＝2时的函数值相等．
【详解】解：∵x＝−3时，y＝7；x＝5时，y＝7，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
∴x＝0和x＝2时的函数值相等，
∴x＝2时，y＝−8．
故答案为：−8．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
15. 在同一平面内，点P到的最长距离为，最短距离为，则的半径为______.
【答案】或
【解析】
【分析】根据分点P在圆内和圆外两种情况进行解答即可．
【详解】解：①点P在圆内；如图1，
，，
，
；
②点P在圆外；如图2，
，，
，
．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，灵活利用分类讨论思想是解答本题的关键．
16. 如图在矩形中，，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，则的最小值是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据矩形折叠的性质得到，确定出当点在线段上时，有最小值，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵M是的中点，
∴．
∵将沿所在直线折叠，
∴，
∴点在以点M为圆心，为半径的圆上，
∴如图，当点在线段上时，有最小值，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和翻转折叠的知识点．利用数形结合的思想并确定当点在线段上时，有最小值是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】利用公式法求解即可．
【详解】解：=1，=1，=-1，
△=1-4×1×（-1）=5＞0，
方程有两个不相等的实数根，，
即；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记一元二次方程求根公式，准确进行计算．
18. 已知关于的一元二次方程；
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根为1，求另一个根．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用两根之积即可求出方程的另一个根．
【小问1详解】
解：，
∵无论m为何值，，
即，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
设方程的另一个根为m
由根与系数关系得，
解得，
∴方程的另一个根为．
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）牢记两根之积等于
19. 下表给出一个二次函数的一些取值情况：

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）利用表中所给的数据，在下面的坐标系中用描点法画出这个二次函数的图像；
（3）根据图象直接写出当满足________时，．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由二次函数图象经过点，，设出交点式，然后把代入求出a，则可得到抛物线解析式；
（2）利用描点法画出函数图象；
（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上所对应的自变量的范围即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，，
∴设抛物线解析式为，
∵图象过点，
∴
∴，
∴，
【小问2详解】
如图，
【小问3详解】
x满足时，．
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与不等式，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
20. 如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分；
（2）连接BD，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论；
（2）根据旋转性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．
【小问1详解】
证明：由旋转性质可知：，，
平分．
【小问2详解】
证明：如图所示：
由旋转性质可知：，，
，，
即，
，，
，
∵在中，，
，
，
即．
【点睛】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．
21. 如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
【答案】OE=OF，证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：
过O作OM⊥AB于M，
∴AM=BM
∵AE=BF
∴EM="FM"
即OM垂直平分EF
∴OE=OF
考点：本题考查的是垂径定理，垂直平分线的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
22. 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①
②．
（2）已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值．
【答案】（1）①不是“邻根方程”； ②是“邻根方程”
（2）或
【解析】
【分析】（1）分别求解方程①②，即可进行判断；
（2）利用因式分解即可求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解．
【小问1详解】
解：①∵
∴
∴
∵，，
故①不是“邻根方程”
②
∴
∵
∴②是“邻根方程”
【小问2详解】
解：
∴
∴
由题意得：或
解得：或
【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解，熟练掌握各求解方法是解题关键．
23. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元．
（1）每天的销售量为________瓶，每瓶洗手液的利润是________元．（用含x的代数式表示）；
（2）若这款洗手液日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时（物价部门规定销售单价不得高于23元），这款洗手液每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1），
（2）销售单价应上涨2元或6元
（3）当销售单价上涨3元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为315元．
【解析】
【分析】（1）根据销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶，则每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润为元；
（2）利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润×每天的销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值．
【小问1详解】
设这款洗手液的销售单价上涨x元，根据销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶，每天的销售量为瓶；
每瓶洗手液的利润为元；
【小问2详解】
依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：销售单价应上涨2元或6元；
【小问3详解】
由题意得：，
∵，∴当时y随x的增大而减小，
∵销售单价不得高于23元
∴当时，y最大，最大值为315．
答：当销售单价上涨3元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为315元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
24. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．

（1）画出旋转后的图形（是点的对应点，是点的对应点）
（2）连接，求证：；
（3）连接，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，画出旋转后即可求解；
（2）可证是等边三角形，可得，可证垂直平分，可得结论；
（3）连接，并延长交于，可证垂直平分，可求和的长，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：连接，

，，
是等边三角形，
，
又，
垂直平分，
；
小问3详解】
连接，并延长交于，如图，

将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
等边三角形，
，
而，
垂直平分，
，，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标为________；
（3）是第二象限抛物线上一动点，求点的坐标并求面积的最大值；
（4）在（3）的条件下，连接，在抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为，面积最大值为，
（4）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据题意结合图象可得，，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据抛物线的对称性可得在上，待定系数法求得直线的解析式，令，即可求解；
（3）过点作轴，交于点，设，则，求得的长，进而表示出面积，根据二次函数的性质，即可求解；
（4）过点作轴于点，取的中点，作直线，得出是等腰直角三角形，则是的垂直平分线，待定系数法求得的解析式，联立抛物线，即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴，，
代入得，
解得：
∴抛物线解析式；
【小问2详解】
解：
对称轴为直线，

∵为对称轴上一点，则
∴当三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
设直线的解析式为，则
解得：
∴直线的解析式为，
当时，
∴
【小问3详解】
解：如图所示，

过点作轴，交于点，连接，
设，则，
∴
∴面积为
∴当时，面积最大，最大值为，
当时，
此时点的坐标为
【小问4详解】
解：如图所示，过点作轴于点，取的中点，作直线，

∵
∴，,
∵
∴
∴是等腰直角三角形，
则是的垂直平分线，
∵
∴
设直线的解析式为
将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
或
∴或
X
…
-3
-2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
-8
-9
-5
7
…
…
0
1
2
3
4
…
…
0
1
0
…