（人教A版）选择性必修二高二上学期期末数学试卷（提高篇）（2份，原卷版+解析版）

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一．选择题
1．在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA+PB等于（ ）
A．109B．263C．823D．163
2．已知双曲线C:x2−y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，设点P为C右支上一点，P点到直线x=12的距离为d，过F2的直线l与双曲线C的右支有两个交点，则下列说法正确的是（ ）
A．d+PF1的最小值为2B．PF2d=8
C．直线l的斜率的取值范围是3,+∞D．△PF1F2的内切圆圆心到y轴的距离为1
3．已知fx是可导函数，且f′xef(0)，f(2023)>e2023f(0)
C．f(1)>ef(0)，f(2023)0， n>0)有公共的焦点F1(−c,0)，F2(c,0)，C1， C2的离心率分别为e1， e2，且在第一象限相交于点P，则下列说法中错误的是（ ）

① 若a2+3m2=4c2，则b=3n；
② 若|PF1|⋅|PF2| =2，则a2−m2的值为1；
③ △F1PF2的面积S=nb；
④ 若∠F1PF2=60°，则当e2=3e1时，e12+e22取得最小值2．
A．①②B．②③C．③④D．②④
6．对于圆x−a2+y−b2=r2r>0上任意一点Px,y，当m≠n时，x−2y+m+x−2y+n的值与x，y无关，有下列结论：
①点a,b的轨迹是一个圆； ②点a,b的轨迹是一条直线；
③当m−n=4时，r有最大值255； ④当r=5，m=1时，n∈11,+∞．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．设函数fx=ex2x+1x，则（ ）
A．函数fx的单调递减区间为−1,12．
B．曲线y=fx在点1,3e处的切线方程为y=ex+1．
C．函数fx既有极大值又有极小值，且极大值大于极小值．
D．若方程fx=k有两个不等实根，则实数k的取值范围为0,1e∪4e,+∞．
8．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，且满足AB=AC=AA1=1，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈0,1，μ∈0,1，则下列说法不正确的是（ ）
A．当λ=1时，△ABP的面积S的最大值为22
B．当μ=1时，三棱锥P−A1BC的体积为定值
C．当λ=12时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ=12时，存在点P，使得A1B⊥平面AB1P
二．多选题
9．已知数列an满足a1=8，a2=1，an+2=−an,n为偶数an−2,n为奇数，Tn为数列an的前n项和，则下列说法正确的有（ ）
A．a11=−2B．T2n=−n2+9n+1
C．T99=−2049D．Tn的最大值为21
10．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱CC1，B1C1的中点分别为E，F，则（ ）

A．OE⋅BC=12
B．S△FOE=68
C．异面直线OD1与EF所成角的余弦值为336
D．点F到直线OD1的距离为144
11．已知函数fx=−13x3+x+b，下列选项正确的是（ ）
A．当fx有三个零点时，b的取值范围为−23,23
B．gx=fx−b是偶函数
C．设fx的极大值为M，极小值为m，若M+m=2，则b=2
D．若过点P1,1可以作fx图象的三条切线，则b的取值范围为0,13
三．填空题
12．若对于圆C:x2+y2−2x−2y−2=0上任意的点A，直线l:4x+3y+8=0上总存在不同两点M，N，使得∠MAN≥90°，则MN的最小值为 .
13．已知数列an n∈N∗满足：an>0，其前n项和Sn=an2+2an−34，数列bn n∈N∗满足bn=−1n+1n+1anan+1，其前n项和Tn，设λ为实数，若Tn0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1作两条直线l1和l2，l1与C交于点A，B，l2与C交于点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，设直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，
①若k1k2=−1，求证：直线OP与直线OQ的斜率乘积为定值；
②若k1+k2=32，过点F1作F1H⊥PQ，垂足为H．试问：是否存在定点T，使得线段TH的长度为定值．
19．已知函数f(x)=lnxx−a.
(1)若f(x)在区间(0,a)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）证明：x1+x2>2a.