湖北省恩施州普高联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的虚部为（ ）
A. B. 5C. 1D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数乘法运算结合虚部定义求解.
【详解】因为，所以其虚部为1，
故选：C.
2. 抛物线的焦点到准线的距离是
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.
考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.
3. 东风5C液体洲际战略核导弹，打击范围覆盖全球. 某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（ ）
A. 0.08B. 0.18C. 0.72D. 0.98
【答案】D
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率关系可得.
【详解】记甲款导弹命中目标为事件，乙款导弹命中目标为事件，目标被击中为事件，
由题知，，且，相互独立，
则.
故选：D
4. 如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基底法求解即可.
【详解】由题知，
所以，
所以，即.
故选：B.
5. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点差法可求得中点弦方程.
【详解】设，，
则①，②，
又弦的中点为，
所以，，
①②得，
即有，
可得直线的斜率为，
即有直线的方程为，化简得，经检验满足题意，
故选：D
6. 在数列中，若，则（ ）
A. 1013B. 1014C. 2025D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得.
【详解】中，取，可得，代入解得，
又由可得，
于是，
故.
故选：B
7. 直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，作出图象，利用直线与半圆有两个交点求出b的取值范围.
【详解】是斜率为1的直线，
曲线即，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，，解得，或（舍去），
当直线过时，，直线与半圆有两个公共点；
由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点.
故选：B.
8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
则，，即，
可设，，，
由，则，即，
，在中，，
则.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A. 若非零向量，，满足，，则有
B. 若，，是空间的一组基底，且，则 四点共面
C. 任意向量，，满足
D. 已知向量，，若，则锐角
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量共线定理判断A；根据判断B；根据数量积的运算律判断C；根据向量夹角公式求解判断D.
【详解】解：对于A选项，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数使得，故，所以，故正确；
对于B选项，，，是空间的一组基底，故三点不共线，，所以， 四点共面，故B选项正确；
对于C选项，因为，不一定共线，故不一定成立，故C选项错误；
对于D选项，当与共线且同向时，有，即，该方程组无解，即与不能共线且同向，故时，为锐角，即时为锐角，故D选项正确.
故选：ABD
10. 过抛物线焦点作弦，若，则有（ ）
A. B. 的斜率是
C. 点到轴的距离是2D. 的面积是定值2
【答案】ABC
【解析】
【分析】由焦半径公式求得点横坐标，设在第一象限，可得点坐标，从而得出直线方程，代入抛物线方程后求得点坐标，可得，判断A，求出直线斜率，由对称性判断B，由横坐标判断C，计算出的面积判断D．
【详解】由题意，，抛物线方程为，
，，，不妨设在第一象限，则，即，
直线的方程为，即，代入抛物线方程得,
解得，，所以，，A正确；
由A选项推导过程知，根据对称性，还可以有，B正确；
由知C正确；
在A选项推导过程中，有，，（在第一象限，则在第四象限），
，D错误．
故选：ABC．
11. 已知圆，则（ ）
A. 与圆一定相交
B. 圆与圆的公共弦的方程为
C. 若，，则在上存在两个点使得
D. 过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出圆心为，半径为，选项A，求出直线恒过定点，得到，则与圆相交；选项B，圆和圆这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程；选项C，设，由，得到的轨迹是圆，求出两个圆心间的距离，从而得到答案；选项D，切线长，要使切线长的最小值，需要最小，由的最小值为到的距离，从而得到切线长的最小值.
【详解】的圆心为，半径为，
选项A，，整理得到，
则，解得，故直线恒过定点，
，与圆相交，故选项A正确；
选项B，圆整理得到，
和圆这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程，
即公共弦的方程为，故选项B正确；
选项C，设，，，，
在以为圆心，半径为的圆上，两个圆心间的距离为，
，两圆相切，上存在一个点使得，故选项C不正确；
选项D，如图，切线长，要使切线长的最小值，需要最小，
的最小值为到的距离，
切线长的最小值为，故选项D正确.
故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间距离的向量求法直接计算即可得出结果.
【详解】易知，则，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解.
【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或，
因直线过点可得或，可得.
所以直线方程为或.
故答案为：或
14. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，结合对勾函数性质即可得到结果.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，
不妨设焦点在轴上，点在第一象限，
由点在线段的垂直平分线上，则，
由椭圆、双曲线的定义得：，，
则，整理得，
则，故，则，
故，其中，
令，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
故，
即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知为数列的前项和，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求取得最大值时的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据与的关系即可求解；
（2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解.
【小问1详解】
当时，，解得；
当时，，即.
因为也满足，所以.
【小问2详解】
由（1）得，所以，
所以当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
所以，
故当或时，取得最大值.
16. 2024年入冬以来，为了减少甲流对师生身体健康的影响，某学校规定师生进出学校需佩戴口罩，现将该学校1000位师生一周的口罩使用数量统计如下表所示，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）的有700人．
（1）求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）；
（2）根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的分位数和平均数（每组数据用每组中间值代替）；
（3）按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，记第一组抽取的2人为．第二组抽取的1人为，第三组抽取的3人为，从这6人中随机抽取两人检查其健康状况记为事件，请列出事件的样本空间，并求这两人恰好来自同一组的概率．
【答案】（1）；直方图见解析
（2）个，个
（3）答案见解析，
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，依次求得的值.
（2）根据百分位数和平均数的求法求得分位数和平均数.
（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
小问1详解】
由每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有700人得：
，
故所求，
频率分布直方图如下：
【小问2详解】
由（1）知，又因为口罩使用数量在的频率是0.3，
，
所以假设分位数为，
则，
由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：
（个），
故估计所求分位数为9个，平均数估计为7个.
小问3详解】
可知样本空间：
，
共含有15个样本点，可以认为这个样本点出现的可能性是相等的．
记“这两个人来自同一组”为事件，则，
样本点有4个，故.
17. 在中，，，分别是内角，，的对边，且，，若.
（1）求的大小；
（2）设，为的面积，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由平行向量的坐标关系及正弦定理可得，代入余弦定理整理得，即可求得角；
（2）由已知条件及正弦定理可得，，结合面积公式，两角差的余弦公式化简所求式子可得，进而结合角的范围求解即可.
【小问1详解】
，，
根据正弦定理得，化简得，
由余弦定理，得，
又，.
【小问2详解】
，，
由正弦定理得，
，，
，
，
，.
，，，
的取值范围是.
18. 已知直三棱柱如图所示，其中，，点D在线段上（不含端点位置）.
（1）若，求点到平面的距离；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等体积法，借助求解即可；
（2）先建系设动点的坐标，然后求出平面与平面的法向量，利用已知二面角确定点的坐标，最后利用与平面的法向量求出线面角的正弦值.
【小问1详解】
在中，由余弦定理，
得，则，
而，故，，
在中，由余弦定理知，
由知，在中，，
故，则，
故.
因为，所以，解得.
【小问2详解】
以点C为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，故，，，，
设，则，则，，
设为平面的法向量，则，则，
令，则，故为平面的一个法向量，
而为平面的一个法向量，
故，解得，解得（舍去），
故，，
故直线与平面所成角的正弦值.
19. 如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程；
（2）过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值；
（3）过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由几何关系得出点Q的轨迹符合椭圆定义，求解即可；
（2）设直线MN的方程为，与椭圆方程联立，写出表达式，代入韦达定理化简即可得定值；
（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出直线GS与HR的方程，利用韦达定理化简得定值，即可求得定直线.
【小问1详解】
连接QA，由已知得.所以.
又因为点A在圆内，所以，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C，A为焦点，2为长轴长的椭圆.
【小问2详解】
由，，设直线MN的方程为，，，
联立方程得，

，
由韦达定理得，，
则
.
【小问3详解】
设直线l的方程为，，，
将椭圆方程与直线方程联立可得，
时，，
，，
所以，
∴：，：，
∴，整理得，
所以动点T在定直线上.
口罩使用数量
频率