湖北省荆州市荆州中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（ ）
A. 本地区有90%的地方下雨B. 本地区有90%的时间下雨
C. 明天出行不带雨具，一定被雨淋D. 明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋
2. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ）
A. B. C. D.
3. 数列中，，（，），则（ ）
A. B. 1C. D. 2
4. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ）
A. 3B. C. 7D.
5. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ）
A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知事件、、满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则，不独立
10. 已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为，（）若||+||≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 函数(a＞0,a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点
D. 直线x－y=0与双曲线C有两个交点
11. 已知棱长为12的正四面体ABCD中，为CD中点，P、Q分别为四面体ABCD的内切球和外接球上的动点，则（ ）
A. |PQ|的最大值为B.
C. D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线的焦点坐标为__________．
13. 设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝__________．
14. 如图，已知Rt是圆锥SO的轴截面，C，D分别为SA，SB的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分.若P在上，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知数列，满足，.
(1)证明：数列为等差数列.
(2)求.
16. 如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过三点.
（1）求圆C的一般方程;
（2）在圆C区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛40千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
17. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
18. 为了激发学生的阅读兴趣，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券，其它情况均不能获得书券．游戏规则如下表：
（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
（2）当时，求游戏三获胜概率；
（3）一名同学首先玩游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大？
19. 已知为坐标原点，椭圆：两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）斜率为直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值.箱子中球的颜色和数量
大小质地完全相同的红球3个，白球2个
红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”
项目
游戏一
游戏二
游戏三
取球规则
取出一个球
有放回地依次取出两个球
不放回地依次取出两个球
获胜规则
取到白球获胜
取到两个白球获胜
编号之和为获胜