福建省福州市九年级上学期期末数学模拟试题二（解析版）-A4

这是一份福建省福州市九年级上学期期末数学模拟试题二（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分． 全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方的运算法则，进行计算即可．
【详解】解：；
故选：B．
2. 如图是一个圆柱切去一部分得到的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左面看到的图形，进行判断即可，注意，存在看不见的用虚线表示．
【详解】解：由题意，左视图为：
故选：D．
3. 科学家在“嫦娥五号”带回的月球土壤中发现了氦三，而这是可控核聚变最理想的材料．若月球表面的110万吨氦三作为核聚变材料的话，可供全人类使用一万年． 其中数据“110万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：110万
故选：B．
4. 某校30名教师参加了“捐书有你，书香筑梦”公益活动，捐书情况如下表，则30名教师捐书的众数为（ ）
A. 10本B. 20本C. 30本D. 50本
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查求众数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知，捐赠20本的人数最多，
故众数为：20本．
故选B．
5. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查位似图形，根据位似图形的相似比等于位似比，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵与是位似图形，
∴，
∴；
故选A．
6. 如果代数式，那么代数式的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，代数式求值，利用完全平方公式和整式加减运算法则，将代数式进行化简，整体代入法求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故选：D．
7. 如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定和性质，连接，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理求出的长，得到为等腰直角三角形，得到，圆周角定理，得到，，利用三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：连接，交于点，则：，
∵，
∴垂直平分，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴；
故选C
创新考法·数学文化
8. 《九章算术》是中国古代的数学专著，李老师将其中一道题改编如下：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，若让甲先从长安出发3日，乙才从齐国出发，设乙经过x日与甲相逢，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据相遇时，两人的路程和等于总路程，列出方程即可．
【详解】解：设乙经过x日与甲相逢，由题意，得：；
故选D．
9. 如图，在中，，过点作于点，为上一点，过点作于点，过点作于点，交于点，若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证明，得出，从而推出，再由等腰三角形的性质得出，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
10. 星期六下午，小明爷爷吃完晚饭后匀速前往公园散步，在公园停留一段时间后，再沿原路步行回家．如图，反映了小明爷爷离家的路程（单位：km）与时间（单位：h）之间的对应关系，则下列说法正确的是（ ）
A. 小明爷爷家距公园
B. 小明爷爷在公园停留的时间为
C. 小明爷爷从公园返回时的速度是
D. 小明爷爷从离开家到返回家中整个过程共用了
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数图象，根据题意和函数图象中数据可以判断各个选项的说法是否正确，从图象获取信息是解题的关键．
【详解】解：、根据图象可知小明爷爷家距公园，原选项不符合题意；
、根据图象可知小明爷爷在公园停留的时间为，原选项不符合题意；
、根据图象可知小明爷爷从公园返回时的速度是，原选项不符合题意；
、由上可知，小明爷爷从公园返回时的速度是，
∴返回的时间为，
∴小明爷爷从离开家到返回家中整个过程共用了，符合题意；
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：
=2（x2+4x+4）
=．
故答案：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12. 在，，，这四个数中，最大的数是___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数比较大小，根据夹逼法求出的范围，进而确定四个数中的最大数即可．
【详解】解：∵，，且，
∴在，，，这四个数中，最大的数是；
故答案为：
13. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，将沿射线平移得到，与相交于点，当的周长为时，点的坐标为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与平移，解直角三角形，设，根据平移的性质，利用三角函数求出的长，根据的周长为，求出的值，进而求出点的坐标即可．
【详解】解：∵平移，
∴，
∴轴，
∴，
∵点，点，
∴，
∴，
∴，，
设，
则：，
∵的周长，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，用扇形的面积减去三角形的面积得到弓形阴影的面积，再加上两个三角形阴影的面积，求解即可．
【详解】解：∵在扇形中，，，点为的中点，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为；
故答案为：．
15. 如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为___．

【答案】##
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质，结合，得到，对顶角相等，得到，进而得到点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，连接，则：，证明，得到为含30度角的直角三角形，进行求解即可．
【详解】解：∵等边，
∴，，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，如图，连接，则：，

∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，即：的最小值为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是确定点的运动轨迹．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 先化简，再求值：，其中是的根．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先通分，计算括号内，再将除法变乘法，约分化简，求出一元二次方程的解，选择使分式有意义的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
；
∵是的根，
∴或，
∵，
∴，
∴原式．
17. 如图，在中，．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①在上求作一点，使得点到的距离等于点到的距离；
②作交于点；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、垂线，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）①作的角平分线即可；②过点作的垂线即可；
（2）设，则，，由平行线的性质得出，作于，再解直角三角形即可得解．
【小问1详解】
解：①如图，点即为所求；
②如图，即为所求，
【小问2详解】
解：∵，，
∴设，则，，
∴，
∵，
∴，
作于，

在中，，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴．
18. 为推进全民阅读，我国将孔子诞生日9月28日定为我国的“全国读书节”，为了解全校师生的阅读情况，某校通过发放问卷的形式进行调查（问卷如下），并从中抽取一部分数据进行统计分析，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次问卷调查中，阅读时间至少为3h的人数占被调查人数的 ；
（2）已知该校师生共有 2280人，请估计平时主要阅读的图书类型是“散文”的师生有多少人？
（3）若你是调查组的成员，为使调查的数据更有代表性，你会如何发放调查问卷？
【答案】（1）10 （2）840人
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用：
（1）用1减去其他阅读时间所占的百分比，进行求解即可；
（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（3）根据抽样调查的代表性，进行作答即可．
【小问1详解】
解：；
故答案为：10；
【小问2详解】
（人）；
【小问3详解】
向不同年级的学生随机发放数量相同的问卷（答案不唯一）．
19. 如图，小君参加一个闯关游戏，共有两关，两关均有四个完全相同的按钮，第一关有两个是闯关成功按钮，其余两个是闯关失败按钮；第二关有一个是闯关成功按钮，其余三个是闯关失败按钮．进行闯关时，每一关任选一个按钮，规则如下：
第一关闯关失败后，游戏失败；
第一关闯关成功后，进入第二关，若第二关闯关失败，则游戏失败，若两关均闯关成功，则游戏获胜；
闯关前，允许任选一关使用“提示”功能，使用后，会去掉一个闯关失败按钮．

（1）若小君第一关不使用“提示”功能，则他第一关闯关成功的概率是 ；
（2）若小君决定在第二关使用“提示”功能，用列表法或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求游戏获胜的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查树状图法求概率：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）用表示成功按钮，用表示失败按钮，画出树状图进行求解即可．
【小问1详解】
解：第一关闯关成功的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：用表示成功按钮，用表示失败按钮，由题意，第一个有2个成功按钮，2个失败按钮，第二个用掉一个“提示功能”剩下1个成功按钮，2个失败按钮，画出树状图如图：

共有12种等可能的结果，成功的结果有2种，
∴；
故答案为：．
20. 如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点D是反比例函数上一点，过点D作轴交直线于点E，记点D的横坐标为a，当时，求a的值．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题：
（1）根据，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，进而得到的长，根据，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴为的中点，
∵，点在轴上，点在轴上，
∴，
∴，
∴，
把，代入y=kx+bk≠0中，得：
，
解得：，
∴；
综上：一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
∵，当时，，
∴B−2,0，
∵，
∴，
∴，
∵点的横坐标为，且点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
将检验，或均是原方程的解，
∵，
∴或．
创新考法·阅读理解
21. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则．
下面是切割线定理的证明过程（不完整）：
证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、．
∵是的切线，是的半径，
∴．
∵是的直径，∴（__________），
∴，∴__________．
∵，∴__________．
∵，∴∽，
∴（__________），
∴．

任务：
（1）请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理依据；
（2）如图③，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长．
【答案】（1）直径所对圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理、等角的余角相等、等量代换、相似三角形的性质等补充证明过程；
（2）先根据已知和割线定理求得，，，则，再根据切线性质和勾股定理求得；利用圆周角定理和相似三角形的判定证明，则，进而求得即可求解．
【小问1详解】
证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、．
∵是的切线，是的半径，
∴．
∵是的直径，∴（直径所对的圆周角相等），
∴，∴．
∵，∴．
∵，∴∽，
∴（相似三角形的对应边成比例），
∴．

故答案为：直径所对的圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例；
【小问2详解】
解：图3中，连接，，
∵，
∴设，，，则，
∵是的切线，是割线，
∴由割线定理得，则，
解得（负值舍去），
∴，，，则，
∵是的直径，是的切线，
∴，
∴；
∵，，
∴，则，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解切割线定理，掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
22. 如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴、西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数表达式，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹近似满足抛物线，当无人机飞越坡底上空时即点D，与地面的距离为20米．

（1）求无人机飞行轨迹的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；
（3）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
【答案】（1），
（2）无人机与山坡的竖直距离d为13米
（3）无人机此次飞行是安全的，见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用；
（1）把点，代入，即可求出无人机飞行轨迹的函数表达式，令，求出x，可得自变量x的取值范围；
（2）根据已知求得无人机与山坡的竖直距离，把代入求得即可；
（3）无人机与山坡的竖直距离，d的最小值与9比较即可得解．
【小问1详解】
解：由题意可知，点，，将B，D坐标分别代入，
得：，
解得：，
无人机飞行轨迹的函数表达式为；
令，则，
解得：，，
的取值范围为；
【小问2详解】
当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，，
无人机与山坡的竖直距离，
当时，，
答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离d为13米；
【小问3详解】
无人机此次飞行是安全的，理由如下：
由（2）知，，
，
时，d有最小值，
∵，
无人机此次飞行是安全的．
23. 数学活动课上，老师与同学们一起研究矩形纸片的折叠问题，并鼓励同学们探究其中的奥妙．
动手操作
如图①，四边形是一张矩形纸片，，，点E，F分别在边上，连接，且将，分别沿折叠，点A，C分别落在点，处．
数学思考
（1）当四边形为菱形时，求出的长度；
（2）如图②，若点，落在矩形的对角线上，（连接，）
（I）判断四边形的形状并说明理由；
（II）求出折痕的长度；
猜想探究
（3）如图③，折叠过程中，和交于点G，与交于点H，连接，当时，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）；（2）（I）四边形是平行四边形，理由见解析； （II）；（3）
【解析】
【分析】（1）设，在中，由勾股定理列方程求解即可；
（2）（I）证明四边形是平行四边形得，再证明得，进而可证四边形是平行四边形；
（II）设，则，先在中求出x的值，再在中求出的长度；
（3）在中，求出，再求出可证明四边形是矩形；证明得，进而可证，求出，然后求出即可求解．
【详解】（1）当四边形是菱形时，设，则．
在中，由勾股定理得，
，即，
解得．
∴当四边形是菱形时，；
（2）（I）∵四边形是一张矩形纸片，
∴，，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由折叠知，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（II）设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵四边形是矩形，
，
由轴对称的性质可知，
，
，
．
∵中，，
在中，，
，
，
∴四边形是矩形．
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴，，
∴，
，
，
∵，
，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
，
；
同理．
又在中，，
，
∵，
，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形的面积
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，难度较大，属中考压轴题．
捐赠数量/本
10
20
30
50
人数/人
8
10
7
5
调查问卷（单选）
1．你平时主要阅读的图书类型是（ ）
A．小说 B．历史 C．散文 D．天文
2．你平时每周用于阅读的时间t（h）为（ ）
a． b． c． d．