河北省邯郸市武安市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

这是一份河北省邯郸市武安市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了 若原点在圆， 直线， 已知椭圆等内容，欢迎下载使用。

已知是棱⻓为6 的正⽅体的⼀条体对⻆线，点在正⽅体表⾯上运动，则的最⼩值为（
）
A. 0B. -9C. -18D. -36
已知，则通过数列图象上所有点的直线⽅程为（）
B. C. D.
已知各棱⻓都相等的三棱锥内接于⼀个球，某同学画出四个过球⼼的平⾯截球与三棱锥所得的图形，如图所示，其同学通过讨论，有下⾯⼀些观点，与周边同学议⼀议，看看这四位同学的观点谁的正确（ ）
A 以上四个都正确
B. 只有（2）（4）正确
C 只有（4）错
D. 只有（1）（2）正确
数学中有许多形状优美､寓意独特的⼏何体，“勒洛四⾯体”就是其中之⼀.勒洛四⾯体是以正四⾯体的四个
⼀单选题
、
1. 若原点在圆
A.
B.
的外部，则实数的取值范围是（
C.
）
D.
2 已知数列
中，
，
，则（）
A. 1
B.
C. －1
D. －2
3. 直线
关于
对称的直线⽅程是（）
A.
B.
C.
D.
顶点为球⼼，以正四⾯体的棱⻓为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四⾯体中，正四⾯体的棱
⻓为 2，则该勒洛四⾯体内切球的半径是（）
A. B. C. D.
设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为 A，直线交 M 于另⼀点 B， 的内切圆与相切于点 C，若，则椭圆 M 的离⼼率为（）
B. C. D.
、
⼆多选题
下列四个选项中，正确的是（）
数列与数列是同⼀数列
数列是递减数列
数列的⼀个通项公式是
数列的通项公式为，则 110 是该数列的第 11 项
四⾯体中，点 P，Q 满⾜，则下列选项中正确的是（）
点 P 是的重⼼B. 点 Q 在内
C. 直线 AQ 与 DP异⾯直线D. 线段 AQ 与 DP 必相交
某颗⼈造地球卫星的运⾏轨道是以地球的中⼼为⼀个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 （离地⾯最近的点）距地⾯千⽶，远地点（离地⾯最远的点）距地⾯千⽶，并且三点在同⼀直线上，地球半径约为 千⽶，设该椭圆的⻓轴⻓、短轴⻓、焦距分别为，则
B. C. D.
、
三填空题
中国南北朝时期数学家、天⽂学家祖冲之、祖暅⽗⼦总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关⼯作经验，提出“幂势既同，则积不容异”. “幂”是截⾯积，“势”是⼏何体的⾼. 详细点说就是，界于两个平⾏平⾯之间的两个⼏何体，被任⼀平⾏于这两个平⾯的平⾯所截，如果两个截⾯的⾯积相等，则这两个⼏何体的体积相等. 上述原理在中国被称为祖暅原理. ⼀个上底⾯边⻓为 1，下底⾯边⻓为 2，⾼为 3 的正四棱台与⼀个不规则⼏何体满⾜“幂势既同”，则该不规则⼏何体的体积为 ．
双曲线的光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜⾯反射，反射光线的反向延⻓线经过左焦点.我国⾸先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利⽤了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截
⾯是双曲线⼀部分，如图所示，是它的⼀条对称轴，F 是它的左焦点，光线从焦点 F 发出，经过镜⾯上
点 P，反射光线为，若，，则该双曲线的离⼼率为.
四叶草曲线是数学中的⼀种曲线，其⽅程为，给出下列结论正确的有
①曲线有 2 条对称轴
②曲线上两点之间的最⼤距离为
③曲线经过 5 个整点（横、纵坐标都是整数的点）
④四个叶⽚围成的区域⾯积⼩于
、
四 解答题
在等差数列中，
（1）若，求；
（2）已知，求.
已知圆，直线 过点.
若直线 与圆相切，求直线 的⽅程；
若 P 为圆 C 上任意⼀点，，点 Q 满⾜，求点 Q 的轨迹⽅程.
如图，是圆的直径，平⾯平⾯，且.
求证：平⾯；
若，，，求平⾯与平⾯所成⻆的余弦值.
如图 1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图 2，将四边形沿翻折，使得平⾯平⾯.
求证：平⾯；
当直线与所成⻆余弦值为时，求线段的⻓度；
当线段最短时，求⼆⾯⻆的正弦值.
已知椭圆的焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
若，求的周⻓；
①若，求椭圆的⽅程；
②根据①中所求椭圆⽅程，在轴是否存在异于的定点 Q，使为定值(其中为直线 QA，QB
的斜率)?若存在，求出 Q 的坐标;若不存在，请说明理由.
武安⼀中 2025——2026 学年第⼀学期 12 ⽉考试
⾼⼆数学
、
⼀单选题
若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（）
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点圆 位置关系直接列不等式求得答案．
【详解】根据题意，圆的圆⼼为，半径为，必有，若原点在圆的外部，
则有，则有，
综合可得：；故选：C.
已知数列中，，，则（）
A. 1B. C. －1D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】由题⽬所给的递推公式可得周期，从⽽可得答案.
【详解】因为，，
所以，，，所以是以 3 为周期的数列，所以.
故选：D.
直线关于对称的直线⽅程是（）
A.
B.
C.
【答案】A
【解析】
【分析】
设所求直线上任意⼀点
是关于直线
,代⼊直线
的⽅程整理即得所求.
D.
的对称点，根据对称关系求得
【详解】解：设所求直线上任意⼀点是关于直线的对称点，则，解得,
由对称性得在直线上，,
即,
故选：A.
【点睛】根据“⼀垂直⼆中点”列出⽅程组，求得是解决问题的关键，利⽤轨迹⽅程思想⽅法求直线的⽅程也是重要的思想之⼀.
已知是棱⻓为6 的正⽅体的⼀条体对⻆线，点在正⽅体表⾯上运动，则的最⼩值为（
）
A. 0B. -9C. -18D. -36
【答案】C
【解析】
【分析】求得正⽅体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最⼩值，即得答案.
【详解】如图，

是棱⻓为 6 的正⽅体的⼀条体对⻆线，则也是正⽅体外接球的⼀条直径，由正⽅体的特征可得其外接球半径为，设外接球球⼼为，则，
则
，
由于点在正⽅体表⾯上运动，故最⼩值为球⼼与正⽅体⾯的中⼼连线的⻓，即为正⽅体棱⻓的⼀半，为，所以的最⼩值为.
故选：C
已知，则通过数列图象上所有点的直线⽅程为（）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由求得通项公式判断.
【详解】由，可知是以 18 为⾸项，以-3 为公差的等差数列，所以 ，即，
所以通过数列图象上所有点的直线⽅程为，
故选：D
已知各棱⻓都相等的三棱锥内接于⼀个球，某同学画出四个过球⼼的平⾯截球与三棱锥所得的图形，如图所示，其同学通过讨论，有下⾯⼀些观点，与周边同学议⼀议，看看这四位同学的观点谁的正确（ ）
以上四个都正确
只有（2）（4）正确
只有（4）错
只有（1）（2）正确
【答案】C
【解析】
【分析】根据不同截⾯截三棱锥和球所得图形可确定（1）（2）（3）均可得到，但⽆法得到圆内接三⻆形的截⾯图形，由此可得结论.
【详解】以过球⼼且平⾏于底⾯的平⾯截三棱锥，交分别于点，如下图所示，所得截⾯如图（1）所示；
若分别为上的点，且与不平⾏，为上的动点，球⼼平⾯，且与不平⾏，与不平⾏，如下图所示，则截⾯如图（2）所示；
若分别为上的点且，为上的动点，球⼼平⾯，且与不平
⾏，与不平⾏，如下图所示，则截⾯如图（3）所示；
不论怎样作截⾯，所得三⻆形都不可能是圆内接三⻆形，即⽆法得到⾯（4）.故选：C.
数学中有许多形状优美､寓意独特的⼏何体，“勒洛四⾯体”就是其中之⼀.勒洛四⾯体是以正四⾯体的四个顶点为球⼼，以正四⾯体的棱⻓为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四⾯体中，正四⾯体的棱
⻓为 2，则该勒洛四⾯体内切球的半径是（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出正四⾯体外接球半径，再根据勒洛四⾯体的特征求出其内切球的半径.
【详解】由对称性知勒洛四⾯体内切球的球⼼是正四⾯体外接球的球⼼，
连接，并延⻓交勒洛四⾯体的曲⾯于点，则就是勒洛四⾯体内切球的半径，在正四⾯体中，为的中⼼，是正四⾯体外接球的球⼼， 连接、、，由正四⾯体的性质知在上，⽽，
则，，
由
，得
，
⼜
故选：B
，所以该勒洛四⾯体内切球的半径
.
设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为 A，直线交 M 于另⼀点 B， 的内切圆与相切于点 C，若，则椭圆 M 的离⼼率为（）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要是椭圆的定义及三⻆形的内切圆，作图利⽤三⻆形内切圆的性质即得答案.
【详解】由题意，如图，P，D 是内切圆与的切点，
因为左、右焦点分别为，上顶点为 A，椭圆参数关系，由，结合对称性、圆的切线性质，
令，且，
所以，
所以，可得，故，故选：D．
、
⼆多选题
下列四个选项中，正确的是（）
数列与数列是同⼀数列
数列是递减数列
数列的⼀个通项公式是
数列的通项公式为，则 110 是该数列的第 11 项
【答案】BD
【解析】
【分析】由数列的定义可判断ABC，由求解可判断D.
【详解】对于A，由数列概念，显然不是同⼀数列，错误，
对于B，由，即数列为递减数列，B 正确，
对于C，由观察法可知，C 错误，
对于D，由，解得，D 正确，故选：BD
四⾯体中，点 P，Q 满⾜，则下列选项中正
确的是（）
点 P 是的重⼼B. 点 Q 在内
C. 直线 AQ 与 DP 是异⾯直线D. 线段 AQ 与 DP 必相交
【答案】ABD
【解析】
【分析】取中点，利⽤平⾯向量求和的平⾏四边形法则，可以得到，代⼊已知条件，得到，根据重⼼的性质，得到点 P 是的重⼼；根据已知
的系数和为 1，利⽤四点共⾯的性质得到点 Q 在内；根据已知
，点 P 是
的重⼼，选项A 正确；
，⼜，
，
在
上，
四点共⾯，点 Q 在内，选项B 正确；
，
三点共线，线段 AQ 与 DP 必相交；综上可得，选项C 错误，选项D 正确.
故选：ABD.
某颗⼈造地球卫星的运⾏轨道是以地球的中⼼为⼀个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 （离地⾯最近的点）距地⾯千⽶，远地点（离地⾯最远的点）距地⾯千⽶，并且三点在同⼀直线上，地球半径约为 千⽶，设该椭圆的⻓轴⻓、短轴⻓、焦距分别为，则
和
得到，从⽽得到三点共线，
即得线段 AQ 与 DP 必相交.
【详解】取中点，连接
，
，
，
B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐⼀分析选项，得到正确答案.
【详解】因为地球的中⼼是椭圆的⼀个焦点，并且根据图象可得，（*） ，故A 正确；
，故B 正确；
（*）两式相加，可得，故C 不正确；由（*）可得，两式相乘可得
，
，故D 正确.故选ABD
【点睛】本题考查圆锥曲线实际应⽤问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能⼒，本题的关键是写出
近地点和远地点的⽅程，然后变形化简.
、
三填空题
中国南北朝时期数学家、天⽂学家祖冲之、祖暅⽗⼦总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关⼯作经验，提出“幂势既同，则积不容异”. “幂”是截⾯积，“势”是⼏何体的⾼. 详细点说就是，界于两个平⾏平⾯之间的两个⼏何体，被任⼀平⾏于这两个平⾯的平⾯所截，如果两个截⾯的⾯积相等，则这两个⼏何体的体积相等. 上述原理在中国被称为祖暅原理. ⼀个上底⾯边⻓为 1，下底⾯边⻓为 2，⾼为 3 的正四棱台与⼀个不规则⼏何体满⾜“幂势既同”，则该不规则⼏何体的体积为 ．
【答案】7
【解析】
【分析】利⽤台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果.
【详解】由题意可知：正四棱台的体积为，根据祖暅原理可知该不规则⼏何体的体积为 7.
故答案为：7.
双曲线的光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜⾯反射，反射光线的反向延⻓线经过左焦点.我国⾸先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利⽤了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截
⾯是双曲线⼀部分，如图所示，是它的⼀条对称轴，F 是它的左焦点，光线从焦点 F 发出，经过镜⾯上
点 P，反射光线为，若，，则该双曲线的离⼼率为.
【答案】##
【解析】
【分析】设双曲线的右焦点为，依题意可得
【详解】设双曲线的右焦点为，依题意可得
、
、
、三点共线，根据双曲线的定义计算可得.
、三点共线，
因为，，所以
，
所以为等腰直⻆三⻆形，
所以，
由，即
所以.
故答案为：
四叶草曲线是数学中的⼀种曲线，其⽅程为，给出下列结论正确的有
①曲线有 2 条对称轴
②曲线上两点之间的最⼤距离为
③曲线经过 5 个整点（横、纵坐标都是整数的点）
④四个叶⽚围成的区域⾯积⼩于
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据对称性的判定⽅法，可判定①错误；设曲线上点到原点的距离为，结合基本不等式和不等式的解法，求得，再由曲线的对称性，可判定②正确；利⽤列举法，求得整点的个数，可判定③正确；根据以原点为圆⼼，半径为的圆的⾯积为，可判定④正确.
【详解】对于①，由曲线的⽅程，
⽤
代换，⽅程不变，所以曲线
关于轴对称；
⽤
代换 ，⽅程不变，所以曲线
关于轴对称；
⽤代换，⽤代换⽅程不变，所以曲线关于轴对称；
⽤代换，⽤代换⽅程不变，所以曲线关于轴对称，所以曲线有 4 条对称轴，所以①错误；
⼜因为，
所以，解得，所以，
⽤代换，代换，⽅程不变，所以曲线关于原点对称，
所以曲线上两点的距离为，即最⼤距离为，所以②正确；
对于③，由曲线经过点，共计 5 个整点，所以③正确；对于D，因为以原点为圆⼼，半径为的圆的⾯积为，
其中四个叶⽚围成的区域在以原点为圆⼼，半径为的圆内，所以四个叶⽚围成的区域的⾯积⼩于，所以④正确.
故答案为：②③④.
、
四 解答题
在等差数列中，
【分析】根据等差数列的性质：若，则求解.
【⼩问 1 详解】
在等差数列中,
对于②，设曲线
上点
到原点的距离为
，
因为
，所以
，当且仅当
时，取等号，
（1）若
，求；
（2）已知
，求
.
【答案】（1）9
【解析】
（2）16
∴ ，
∴ ，
∴ .
【⼩问 2 详解】
∵ ，
∴ .
∴ .
已知圆，直线 过点.
若直线 与圆相切，求直线 的⽅程；
若 P 为圆 C 上任意⼀点，，点 Q 满⾜，求点 Q 的轨迹⽅程.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案；
（2）先设出点 Q 和点 P 的坐标，再根据向量关系得到坐标之间的关系，最后将点 P 的坐标代⼊圆 C 的⽅程，从⽽得到点 Q 的轨迹⽅程.
【⼩问 1 详解】
因为，所以点 A 在圆外，
若直线 的斜率不存在，则直线 的⽅程为，
此时圆⼼到直线 的距离为 2，所以直线 与圆相切，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的⽅程为，即，因为直线 与圆 相切，所以圆⼼到直线 的距离等于半径，
即，解得.
所以直线 的⽅程为，即.
综上所述，直线 的⽅程为或.
求证：平⾯；
若，，，求平⾯与平⾯所成⻆的余弦值.
【答案】（1）证明⻅解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据⾯⾯垂直的性质定理，结合直径的性质、线⾯垂直的判定定理进⾏证明即可；
（2）根据（1）的结论，建⽴空间直⻆坐标系，分别求得平⾯与平⾯的法向量，结合⾯⾯⻆的向量求法，即可求解.
【⼩问 1 详解】
因为是圆的直径，在圆上，所以，
⼜平⾯平⾯，且平⾯与平⾯相交于，
【⼩问 2 详解】
设，，则
.
因为，所以，即.
⼜因为点在圆 C：上，所以.
将代⼊可得，
整理得，即点 Q 的轨迹⽅程为
17. 如图，是圆的直径，平⾯平⾯，且
.
.

平⾯，且，所以平⾯，
⼜平⾯，所以，
⼜平⾯，平⾯，且与相交于点，所以平⾯.
【⼩问 2 详解】
由（1）可得，，，，
以为原点，以为轴，以为轴，过平⾏于为轴，建⽴空间直⻆坐标系，如图所示，
因为，，，所以，所以，，，，
则，，，
设平⾯的法向量为，则，即，令，解得，，所以，
⼜平⾯，所以平⾯的法向量为，
设平⾯与平⾯所成⻆为，
所以，
所以平⾯与平⾯所成⻆的余弦值为.
18. 如图 1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图 2，将四边形沿翻折，使得平⾯平⾯.
求证：平⾯；
当直线与所成⻆的余弦值为时，求线段的⻓度；
当线段最短时，求⼆⾯⻆的正弦值.
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过证明即可证得线⾯垂直；
建⽴空间直⻆坐标系后写出 ，再设出点，则，写出，再运⽤向量夹⻆公式列出⽅程，即可求得，继⽽求得；
利⽤这个⼆次函数，求出取得最⼩值时的，则两点确定，再
求出两个平⾯的法向量，利⽤向量夹⻆公式求出⼆⾯⻆的余弦值，再转换为正弦值即可.
【⼩问 1 详解】
在矩形中，分别是的中点，所以和是全等的正⽅形，
所以.
⼜因为平⾯平⾯，
平⾯平⾯平⾯，
所以平⾯.
因为平⾯，所以.
⼜因为平⾯，
所以平⾯.
【⼩问 2 详解】
则
设
，则
，
.
，
所以 设直线
与
，⽽
所成⻆为 ，
，
则
以为正交基底，建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
，
解得或（舍去）.所以，所以线段的⻓度为.
【⼩问 3 详解】
因为，
所以当时，线段最短，
此时.
设是平⾯的⼀个法向量，
则，即，
取平⾯⼀个法向量为.
设是平⾯的⼀个法向量，则即，
②根据①中所求椭圆⽅程，在轴是否存在异于的定点 Q，使为定值(其中为直线 QA，QB
的斜率)?若存在，求出 Q 的坐标;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）①=1；②存在，.
【解析】
分析】（1）根据给定条件，利⽤对称性及两点间距离公式求出三⻆形周⻓.
取平⾯
设⼆⾯⻆
的⼀个法向量为
的平⾯⻆为
，
.
则
，
所以
.
19. 已知椭圆
若
①若
的焦点为
，求
的周⻓；
，过点
，求椭圆
且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
的⽅程；
（2）①根据给定条件，利⽤椭圆定义、结合三⻆形相似及斜率坐标公式求得即可；②设出直线⽅程，与椭圆⽅程联⽴，利⽤⻙达定理及斜率坐标公式列式求解即可.
【⼩问 1 详解】
依题意，，则点关于 x 轴对称，
所以的周⻓为.
【⼩问 2 详解】
①设，由，得，
⼜，则，⼜，
因此，解得，则，不妨令点，
直线的斜率，过点 B 作 x 轴的垂线，垂⾜为点 P，则，于是，，⼜，则，
由点在椭圆⽅程上，得，，
所以椭圆的⽅程为.
②由直线 AB 与 x 轴不重合，设直线 AB 的⽅程为，
由消去并整理得，设，
则
，，
假设点存在，设，则
当时，⽽，则，，所以存在点，使得为定值.