初中数学人教版（2024）九年级上册用频率估计概率课时训练

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册用频率估计概率课时训练，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．圆周率π是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．一个口袋中装有分别写有“兴文”“石海”字的小球共20个，它们除此之外完全相同．将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到“兴文”球的频率稳定在左右，则估计这个口袋中“兴文”球的个数为（ ）
A．14个B．13个C．7个D．6个
3．在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．8个B．12个C．16个D．20个
4．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A．B．C．D．
5．做任意抛掷一只纸杯的重复实验，获得如下数据：
根据频率的稳定性，估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率约是（ ）
A．0.21B．0.22C．0.38D．0.40
6．林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（ ）
A．75棵B．100棵C．150棵D．1900棵
7．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ）
A．B．C．D．
8．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．4B．5C．8D．12
9．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回．大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出m的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
10．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
11．某人在做抛掷硬币试验时，抛掷次，正面朝上的次数为，则正面朝上的频率为．下列说法正确的是（ ）
A．的值一定等于0.5B．的值一定不等于0.5
C．多投一次，的值更接近0.5D．抛掷次数逐渐增加，的值稳定在0.5附近
12．数字“20230412”中，数字“2”出现的频率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做实验进行研究，得到如下的数据：
请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 ．
14．某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下：
15．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
16．数学小组准备了三枚一元的硬币，通过一枚重复掷三次和三枚同时郑一次两种试验来进行比较．同时用试验验证和理论计算两种方式进行验证．第一种：把一枚一元的硬币重复掷三次，三次结果均为数字朝上的概率是多少？
试验验证：
理论计算：

三次结果均为数字朝上的概率是．
第二种：把三枚一元的硬币同时掷一次，三枚硬币均为数字朝上的概率是多少？
试验验证：
理论计算：

三枚硬币均为数字朝上的概率是
试验结果：________________________________________________________________________________．
结论：同一活动中顺次对概率没有影响．
17．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个．
三、解答题
18．为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表：
(1)请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 （精确到）．
(2)已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率．
19．盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据．
(1)请将表中数据补充完整，______；______；
(2)画出“出现红球”的频率折线统计图；
(3)估计摸到红球的概率为______（精确到）．
(4)估计盒子里有红球______个和白球______个．
20．某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
(1)上表中的______，______；
(2)任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是______（精确到0.01）；
(3)若某校劳动基地需要这种麦苗9500棵，估计需要准备多少麦粒进行发芽培育．
21．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色．不断重复这个过程，获得数据如下：
(1)下列说法错误的是_______（填序号）；
①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域；
②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数；
③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10．
(2)求表中的值，并估计随机转动转盘后指针指向黄色区域的概率（结果精确到0.01）；
(3)怎样修改转盘的颜色分布情况能使指针指向每种颜色的可能性相同？
22．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
(1)________，________；
(2)估计该种幼树在此条件下移植成活的概率的估计值是多少？（精确到）
(3)若要成活26400棵树苗，需要移植多少棵树苗？
23．如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色．
(1)在图1转盘中转出数字6的概率为________．
(2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？
24．有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？
《25.3用频率估计概率》参考答案
1．A
【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，
．
故选：A．
2．B
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据摸到“兴文”球的频率稳定在左右进行求解即可．
【详解】设口袋中“兴文”球有x个，
根据题意，得：，
所以估计口袋中 “兴文”球有个．
故选：B
3．C
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出红球个数即可．
【详解】解：设袋中红球的个数为x，
根据题意，得：
，
解得，
经检验是分式方程的解，
口袋中红球可能有16个，
故选：C．
4．A
【分析】利用频率估计概率求解即可；
【详解】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键
5．B
【分析】经过大量实验，杯口朝上的频率既是概率．
【详解】解：根据表格通过大量实验，杯口朝上的频率为0.22，则估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率约是，
故选B．
【点睛】本题考查频率估计概率，掌握频率与概率之间的联系是解题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果．
【详解】解：（棵），
故选：B
7．B
【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可．
【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，
则达到或超过 米的数出现的频率是：
故选B．
8．C
【分析】通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，说明摸出红球的概率为0.4，由此结合概率公式进行计算求解即可．
【详解】解：由题意，摸出红球的概率为0.4，
∴袋子中红球的个数最有可能是（个），
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键．
9．B
【分析】用红球的数量除以红球的频率即可．
【详解】解：（个，
所以可以估算出的值为20，
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10．A
【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：画树状图得：

∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况，
∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是，
球回到乙手中的概率是，
球回到丙手中的概率是，
球回到丁手中的概率是，
∵，
∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲．
故选：A．
11．D
【分析】 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率．
【详解】解：抛掷硬币试验，正面朝上的概率为：
随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率会逐渐稳定附近
故选：D
【点睛】本题考查用频率估计概率．掌握相关结论是解题关键．
12．A
【分析】根据频率的计算公式：，进行计算即可．
【详解】解：由题意知，数字“2”出现的频率是：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了频数与频率，解题的关键在于熟练掌握频率的计算方法．
13．
【分析】本题主要考查用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据用频率估计概率即可得到答案．
【详解】解：观察数据可得，“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是，即．
故答案为：．
14．2.8
【分析】本题考查了利用频率估计概率及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．根据概率计算出完好柑橘的质量为千克，设每千克柑橘的销售价为元，然后根据“售价进价利润”列方程解答．
【详解】根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为千克．
设每千克柑橘的销售价为元，则应有，
解得．
所以出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元．
故答案为：2.8
15．
【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率估计概率的方法是解题关键．随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率，由此即可得．
【详解】解：由表格可知，随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于，
故答案为：．
16．把一枚一元的硬币重复掷三次和把三枚一元的硬币同时掷一次效果是一样的
【分析】此题需要三步完成，所以采用树状图法最简单，解题时要注意审题．列举出所有情况，让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率．结合试验结果即可得出结论．
【详解】解：第一种：
试验验证：把一枚一元的硬币重复掷三次，三次结果均为数字朝上的概率是，
理论计算：由树状图可知：
∵共有种等可能的结果，三次结果都是数字朝上的有种情况，
∴三次结果都是数字朝上的概率是，
综上所述，把一枚一元的硬币重复掷三次，三次结果均为数字朝上的概率是；
第二种：
试验验证：把三枚一元的硬币同时掷一次，三枚硬币均为数字朝上的概率是，
理论计算：由树状图可知：
∵共有种等可能的结果，三枚硬币都是数字朝上的有种情况，
∴三枚硬币都是数字朝上的概率是，
综上所述，把三枚一元的硬币同时掷一次，三枚硬币均为数字朝上的概率是；
∴试验结果：把一枚一元的硬币重复掷三次和把三枚一元的硬币同时掷一次效果是一样的且同一活动中顺次对概率没有影响．
故答案为：把一枚一元的硬币重复掷三次和把三枚一元的硬币同时掷一次效果是一样的．
【点睛】本题考查树状图法求概率，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．32
【分析】此题考查了利用频率估计概率，分式方程，解题关键是要读懂题意，找出的等量关系列出方程，注意分式方程要验根．
设盒子里有白球x个，根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”列出分式方程，再进行计算，即可得出答案．
【详解】解：设盒子里有白球x个，根据题意得：
解得：，
经检验得是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
故答案为：32．
18．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解决问题的关键在于学会估算概率，熟记概率公式．
（1）根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率；
（2）先根据比例关系求出1000次射门中左脚射门次数，再用240除以左脚射门次数即可求解．
【详解】（1）解：据上表，估计该足球小将射中球门的概率为；
故答案为：；
（2）．
答：左脚射中概率为．
19．(1)；
(2)见解析
(3)
(4)6；14
【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图及用频率估计概率，
（1）利用频率频数摸球次数计算数据即可；
（2）根据表格提供的数据作出折线统计图即可；
（3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可；
（4）根据摸到红球的概率，估计红球的个数，再求出白球的个数即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：频率折线统计图，如图所示：
（3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为；
（4）解：估计盒子里有红球（个），
白球有：（个）．
20．(1)，
(2)0.95
(3)10000
【分析】（1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可；
（2）根据概率与频率的关系解答即可．
（3）用9500除以发芽的概率即可．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是0.95（精确到0.01）；
（3）解：．
答：估计需要准备10000麦粒进行发芽培育．
【点睛】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键．
21．(1)①③
(2)，估计随机转动转盘后指针指向黄色区域的概率为0.33
(3)将1个绿色区域改为蓝色区域能使指针指向每种颜色区域的可能性相同
【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；
（2）根据频率可得m,n的值，再利用频率来估计概率即可；
（3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误；
②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确；
③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①③．
（2）解：，，
故估计随机转动转盘后指针指向黄色区域的概率为0.33；
（3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
22．(1)
(2)
(3)30000
【分析】（1）根据成活的频率成活的棵树移植的棵树进行求解即可；
（2）根据概率是大量反复试验下频率的稳定值进行求解即可；
（3）用成活的树苗数除以成活的概率即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
这种幼树移植成活率的概率约为；
（3）解：（棵）
答：若要成活26400棵树苗，需要移植30000棵树苗．
【点睛】本题主要考查了频率的计算，用频率估计概率，已知概率求数量等等，熟知概率是大量反复试验下频率的稳定值是解题的关键．
23．(1)
(2)小颖的观点是对的，理由见解析
【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键．
（1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可；
（2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论．
【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种，
∴P（转出数字6）；
故答案为：；
（2）小颖说法正确，理由：
小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是，
小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是，
P（转出红色），
P（转出数字小于7）（转出红色），
小颖的观点是对的．
24．1500元
【分析】根据概率公式求出一次摸到3个白球的概率，则得到每摸一次的平均收益，继而可求若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱．
【详解】解：∵一次摸到3个白球的概率为，
每摸一次平均收益为：，
∴元，
∴每摸一次球平均获利1.5元，1000名学生每人摸一次，摊主将从同学们身上骗走1500元．
【点睛】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心的次数m
8
17
40
79
158
390
780
击中靶心的频率
抛掷总次数
杯口朝上
杯口朝下
横卧
100
0.21
0.38
0.41
200
0.22
0.38
0.40
500
0.22
0.38
0.40
掷图钉的次数
10
100
300
500
800
1000
针尖朝上的频率
柑橘总质量n/kg
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
损坏柑橘质量m/kg
5.50
10.50
15.15
19.42
24.25
30.93
35.32
39.24
44.57
51.54
频率（三位小数）
0.110
0.105
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.530
试验次数
三次均为数字朝上/次
概率
次试验
次试验
次试验
试验次数
三次均为数字朝上/次
概率
次试验
次试验
次试验
射门次数n（次）
10
50
100
200
500
800
1000
射中次数m（次）
7
37
75
142
365
576
720
射中频率
摸球次数
出现红球的频数
出现红球的频率
摸球次数
出现红球的频数
出现红球的频率
100
32
400
130
a
200
62
500
150
b
300
90
600
183
试验的麦粒数
100
200
500
1000
2000
5000
发芽的粒数
94
475
954
1906
4748
发芽的频率
0.94
0.955
0.946
0.954
0.9496
转动转盘的次数
200
300
400
1000
1600
2000
指向黄色区域的频数
72
93
130
334
532
667
指向黄色区域的频率
0.36
m
0.325
n
0.3325
0.3335
移植的棵数
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
（精确到）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
A
B
B
B
C
B
A
题号
11
12








答案
D
A