4.1.2三角形的高、角平分线与中线（教学课件）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

4.1.2 三角形的高、角平分线与中线教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：4.1.2 三角形的高、角平分线与中线副标题：初中数学 [对应年级]授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习引入复习回顾：上节课我们认识了三角形的定义、构成要素（顶点、边、内角）以及三角形的稳定性。三角形有三个顶点、三条边和三个内角，它们是三角形的基本组成部分。情境提问：在三角形中，除了边和角这些基本要素外，还有一些特殊的线段与边和角密切相关。比如如何从三角形的一个顶点向它的对边作垂线？如何将三角形的一个内角平均分成两份？如何连接顶点与对边中点？这些就是我们今天要学习的三角形的高、角平分线和中线。学习意义：掌握三角形的高、角平分线和中线的概念，是进一步研究三角形性质和解决几何问题的基础。第 3 页：学习目标知识目标：理解三角形的高、角平分线和中线的定义；能准确画出三角形的高、角平分线和中线；掌握这三种线段的基本特征和性质。能力目标：通过动手画图和观察分析，培养动手操作能力和空间想象能力；能结合图形识别和运用三角形的高、角平分线和中线。情感目标：在探究三角形特殊线段的过程中，感受几何图形的严谨性和逻辑性，激发对几何学习的兴趣。第 4 页：知识点 1—— 三角形的高定义解析：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，简称三角形的高。图形演示：在\(\triangle ABC\)中，过顶点\(A\)作边\(BC\)所在直线的垂线，垂足为\(D\)，则线段\(AD\)就是\(\triangle ABC\)的一条高，记作 “\(AD\)是\(\triangle ABC\)的高” 或 “\(AD\perp BC\)于点\(D\)”。特征说明：三角形的高是一条线段，端点是三角形的顶点和垂足。三角形的高与对边所在直线垂直，即高与对边的夹角为\(90^{\circ}\)。一个三角形有三条高，分别从三个顶点向它们的对边作垂线。不同类型三角形的高：展示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，说明锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条直角边互为高且斜边上的高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。第 5 页：例题 1—— 画三角形的高并识别例 1：在下图的\(\triangle ABC\)中，画出边\(BC\)上的高，并说明这条高是哪个顶点向对边作的垂线。解析：步骤 1：找到边\(BC\)对应的顶点\(A\)。步骤 2：过点\(A\)作边\(BC\)所在直线的垂线，垂足为\(E\)。步骤 3：线段\(AE\)就是\(\triangle ABC\)中边\(BC\)上的高，它是从顶点\(A\)向对边\(BC\)作的垂线。例 2：在直角三角形\(DEF\)中，\(\angle D=90^{\circ}\)，则它的三条高分别是什么？解析：直角边\(DE\)和\(DF\)互为高（\(DE\)是边\(DF\)上的高，\(DF\)是边\(DE\)上的高），过点\(D\)向斜边\(EF\)作垂线，垂足为\(G\)，线段\(DG\)是斜边\(EF\)上的高。第 6 页：知识点 2—— 三角形的角平分线定义解析：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。图形演示：在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A\)的平分线交边\(BC\)于点\(F\)，则线段\(AF\)就是\(\triangle ABC\)的一条角平分线，记作 “\(AF\)是\(\triangle ABC\)的角平分线” 或 “\(\angle BAF=\angle CAF=\frac{1}{2}\angle BAC\)”。特征说明：三角形的角平分线是一条线段，端点是三角形的顶点和角平分线与对边的交点。三角形的角平分线将它所在的内角分成两个相等的角。一个三角形有三条角平分线，分别平分三个内角，且三条角平分线都在三角形内部。第 7 页：例题 2—— 画三角形的角平分线并计算角度例 3：在\(\triangle ABC\)中，\(\angle BAC=80^{\circ}\)，\(AD\)是\(\triangle ABC\)的角平分线，求\(\angle BAD\)和\(\angle CAD\)的度数。解析：因为\(AD\)是角平分线，所以它平分\(\angle BAC\)，则\(\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\times80^{\circ}=40^{\circ}\)。例 4：在下图的\(\triangle DEF\)中，画出\(\angle E\)的角平分线，并说明这条角平分线将\(\angle E\)分成了怎样的两个角。解析：步骤 1：以顶点\(E\)为圆心，适当长为半径画弧，交\(ED\)、\(EF\)于两点。步骤 2：分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点。步骤 3：过点\(E\)和这个交点作射线，交\(DF\)于点\(H\)，线段\(EH\)就是\(\angle E\)的角平分线。结论：这条角平分线将\(\angle E\)分成了两个相等的角，即\(\angle DEH=\angle FEH\)。第 8 页：知识点 3—— 三角形的中线定义解析：连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。图形演示：在\(\triangle ABC\)中，点\(M\)是边\(BC\)的中点（即\(BM=MC\)），则线段\(AM\)就是\(\triangle ABC\)的一条中线，记作 “\(AM\)是\(\triangle ABC\)的中线” 或 “\(BM=MC=\frac{1}{2}BC\)”。特征说明：三角形的中线是一条线段，端点是三角形的顶点和对边的中点。三角形的中线将它所在的对边分成两条相等的线段。一个三角形有三条中线，分别连接三个顶点与对边中点，且三条中线都在三角形内部。三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。第 9 页：例题 3—— 利用三角形的中线解决问题例 5：在\(\triangle ABC\)中，\(BE\)是\(\triangle ABC\)的中线，若\(AC=6cm\)，求\(AE\)和\(EC\)的长度。解析：因为\(BE\)是中线，所以点\(E\)是\(AC\)的中点，即\(AE=EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times6=3cm\)。例 6：在下图的\(\triangle DEF\)中，画出边\(DF\)上的中线，并说明这条中线将\(DF\)分成了怎样的两条线段。解析：步骤 1：找到边\(DF\)的中点\(N\)（用刻度尺量取\(DF\)的中点）。步骤 2：连接顶点\(E\)和点\(N\)，线段\(EN\)就是边\(DF\)上的中线。结论：这条中线将\(DF\)分成了两条相等的线段，即\(DN=NF\)。第 10 页：知识点 4—— 三种线段的区别与联系区别：定义不同：高是从顶点向对边作的垂线，角平分线是平分内角且交对边的线段，中线是连接顶点与对边中点的线段。作用不同：高与对边垂直，角平分线平分内角，中线平分对边。位置不同：锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条高是直角边，钝角三角形两条高在外部；而角平分线和中线无论三角形类型如何都在内部。联系：都是线段：三角形的高、角平分线和中线都是线段，不是直线或射线。都有三条：一个三角形都有三条高、三条角平分线和三条中线。都交于一点：三条角平分线交于内心，三条中线交于重心，三条高（或其延长线）交于垂心。第 11 页：课堂练习练习 1：判断下列说法是否正确。（1）三角形的高一定在三角形内部。（ ）（2）三角形的角平分线平分三角形的一边。（ ）（3）三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。（ ）练习 2：在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是高，\(AE\)是角平分线，\(AF\)是中线。（1）若\(\angle BAC=70^{\circ}\)，则\(\angle BAE=\)______。（2）若\(BC=8cm\)，则\(BF=\)______。（3）\(AD\)与\(BC\)的位置关系是______。练习 3：画出一个钝角三角形，并分别画出它的三条高、三条角平分线和三条中线，观察它们的位置特点。第 12 页：知识总结三角形的高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段，与对边垂直。三角形的角平分线：内角平分线与对边交点和顶点间的线段，平分内角。三角形的中线：连接顶点与对边中点的线段，平分对边。共性：都是线段，一个三角形各有三条，分别交于一点（垂心、内心、重心）。区别：定义、作用和位置特点不同，高可能在三角形外部，角平分线和中线均在内部。第 13 页：课后作业作业 1：在一个锐角三角形中，画出所有的高、角平分线和中线，并标注出来。作业 2：在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC=5cm\)，\(BC=6cm\)，画出\(BC\)边上的高、角平分线和中线，测量它们的长度并比较。作业 3：已知\(\triangle ABC\)的周长为\(18cm\)，\(AD\)是中线，若\(AB=5cm\)，\(AC=7cm\)，求\(\triangle ABD\)和\(\triangle ACD\)的周长差。2025-2026学年湘教版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念； 2. 能画出任意三角形的高线、角平分线和中线； 3. 能用三角形的高、角平分线、中线解决有关问题； 4. 培养认识图形、抽象图形概念的能力，激发学习兴趣. 1. 三角形的三边有什么关系？三角形的任意两边长度的和大于第三边。2. 在右边的三角形中找出：（1）AB，CA边的对角；（2）∠A， ∠B的对边.三角形的角与对边的字母有什么规律吗？一个角的对边是没有角的顶点字母的一边，反之也是.3. 在右边的三角形中找出：（1）a，b边的对角；（2）∠A， ∠B的对边.△ABC的角与有用小写字母表示的对边有什么规律吗？△ABC中，角的顶点是大写字母，对边是它的小写字母.4. 下列线段能否首尾相接构成三角形？ （1）10，8，6 （2）2.4，6，3.6 解：（1）∵8+6＞10 ，∴能构成三角形。 （2）∵2.4+3.6=6 ，∴不能构成三角形。你能说说判断的方法吗？算两短边之和，与最长边相比. 为了研究三角形和解决三角形的有关问题，我们可以在三角形中做出一些线段。例如，三角形的高线、中线、角平分线就是三角形中的重要线段。今天我们就一起来认识这些线段吧。从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，AH⊥BC，垂足为H，则线段AH是△ABC的BC边上的高。什么是三角形的高线？如图，试画出△ABC的边BC上的高.H作法：1. 延长BC；2. 作AH⊥直线BC；则AH为所求作的钝角△ABC的边BC上的高.由作图可知，钝角边上的高在三角形是外部，垂足在这个角的一边的延长线上.如图，∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线.在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.什么是三角形的角平分线？如图，BE=EC，则线段AE是△ABC的边BC上的中线。在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.什么是三角形的中线？任意画一个三角形，画出三边上的中线，你发现了什么？三角形的三条中线相交于一点.如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为△ABC的重心。我们把三角形的三条中线的交点叫作三角形的重心.例2 如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高. （1）图中有几个三角形？请分别列举出来. （2）其中哪些三角形的面积相等？解：（1） 6个三角形。分别是：△ABD△ADE△AEC△ABE△ADC△ABC（2）△ABD和△ADC的面积相等。理由：又因为 AE是△ABD的边BD上的高，也是△ADC的的边上DC的高。因为等底同高的三角形的面积相等。所以，△ABD和△ADC的面积相等。因为 AD是△ABC的中线，所以 BD=DC。1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°， CD是AB边上的 高，AC=6，CB=8，AB=10。 则高CD等于（ ） A. 2.4 B. 3.6 C. 4.8 D. 6C BA. B. C. D. （第2题） A  返回（第3题） A A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个（第3题）  返回（第4题）     返回 1（第5题）（第5题）    返回 2.2  返回   返回（第8题） B A. ①③⑤B. ①②④C. ①③④⑤D. ②③④ 返回（第9题） BA. 变小B. 变大C. 不变D. 无法确定1. 什么叫做三角形的高？什么叫做三角形的角平分线？什么叫做三角形的中线？ 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.2. 三角形的三边的中线相交于一点，这一点叫做三角形的 。三角形的 把一个三角形分成面积相等的两个三角形.重心中线必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！