十字相乘法与分组分解法+课件+2025-2026学年湘教版八年级数学上册

这是一份十字相乘法与分组分解法+课件+2025-2026学年湘教版八年级数学上册，共21页。
十字相乘法与分组分解法第一章 因式分解1. 理解并掌握用十字相乘法和分组分解法分解因式；（重点）2. 能准确识别适用于十字相乘法和分组分解法的多项式，熟练运用这两种方法进行因式分解.（难点）一个多项式 几个整式的积1.因式分解和整式乘法的关系是？2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？是相反方向的变形①提公因式法：②公式法：pa + pb + pc = p(a + b + c) 1. a2 - b2 = (a + b)(a - b) 2. a2±2ab + b2 = (a ± b)2 十字相乘法因式分解 探究：1.计算：(1) (x + 2 )(x + 3) = ___________； (2) (x + 1)(x - 4) =____________；(3) (x + 4 )( x - 2) =____________；2. 根据题 1 和等式的性质填空：(1) x2 + 5x + 6 = ______________ ；(2) x2 - 3x - 4 =_______________； (3) x2 + 2x - 8 =_______________；x2 + 5x + 6x2 - 3x - 4x2 + 2x - 8( x + 2 )( x + 3 )( x + 1 )( x - 4 ) ( x + 4 )( x - 2 )观察因式分解算结果，你能发现什么规律？x2 + (p + q)x + pq = 规律(x + p)(x + q).2×32 + 31×(-4)1 + (-4)4×(-2)4 + (-2)可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解.多项式 x²＋5x＋6 分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：x²＋5x＋6 ③然后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数.x²＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；②再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；11231×3＋1×2＝5例1 分解因式：x2－5x＋6.解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为－2，－3，它们的乘积等于常数项6，交叉数的乘积之和为1×(－3)＋1×(－2)＝－5，它是一次项的系数，因此x²－5x－6＝(x－2)(x－3)(1) (x－1)(2x－5)＝ ；(2) (3x＋1)(x＋3)＝ ；2x²－7x＋5探究：计算：3x²＋10x＋3(3) (dx＋m)(ex＋n)＝ .根据等式的性质填空：(1) 2x²－7x＋5＝ ______________ ；(2) 3x²＋10x＋3＝_______________； (3) dex²＋(em＋dn)x＋mn＝ .dex²＋(em＋dn)x＋mn(x－1)(2x－5)(3x＋1)(x＋3)(dx＋m)(ex＋n)一般地，对于二次多项式 ax²＋bx＋c，ax²＋bx＋c＝(dx＋m)(ex＋n)这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法.① 画一个十字交叉线，使得左边两个数 d，e 的乘积等于二次项系数 a，② 右边两个数 m，n 的乘积等于常数项 c，③ 交叉数的乘积之和 dn＋em 等于一次项系数b，如图所示，则demn例2 把多项式 10x²＋23x＋12 因式分解.解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，5，右上角和右下角分别写3，4，因此 10x²＋23x＋12＝(2x＋3)(5x＋4)左边两个数的乘积等于二次项系数10，右边两个数的乘积等于常数项12，交叉数的乘积之和为2×4＋5×3＝23，它是一次项的系数，1. 把下列多项式因式分解： (1) x2－4x－5； 解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为1，－5，它们的乘积等于常数项－5，交叉数的乘积之和为1×1＋1×(－5)＝－4，它是一次项的系数，因此x2－4x－5＝(x＋1)(x－5) (2) 6x2＋11x＋3. 解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，3，右上角和右下角分别写3，1，因此 6x2＋11x＋3＝(2x＋3)(3x＋1).左边两个数的乘积等于二次项系数6，右边两个数的乘积等于常数项3，交叉数的乘积之和为2×1＋3×3＝11，它是一次项的系数，利用分组法因式分解例3 把多项式 x3－x²－x＋1 因式分解.分析：x3－x²－x＋1 既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式分解，也不能运用十字相乘法.但若将其恰当分组，如分为 x3－x² 与 －x＋1 两组，则可继续进行因式分解.例3 把多项式 x3－x²－x＋1 因式分解.解：x3－x²－x＋1＝(x3－x²)－(x－1)＝x²(x－1)－(x－1)＝(x－1)(x²－1)＝(x－1)(x＋1)(x－1)＝(x＋1)(x－1)².像例3那样，利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法小结：分组后再用公式法.2. 把下列多项式因式分解：(1) x²－y²－3x－3y； 解：x²－y²－3x－3y＝(x²－y²)－(3x＋3y)＝(x－y)(x＋y)－3(x＋y)＝(x＋y)(x－y－3). (2) x²－10x＋25－y².解：x²－10x＋25－y²＝(x²－10x＋25)－y²＝(x－5)²－y²＝(x－5＋y)(x－5－y).1.下列因式分解正确的是( )A．x3－4x = x(x2－4) B．x2－x－2 = (x + 1)(x－2) C．x2 + 2x－1 = (x－1)2 D．x2－2x + 1 = x(x－2) + 1 2.把多项式 x2 + mx－5 因式分解成 (x + 5)(x－n)，则 m 的值为( ).A．m = 4 B．m = 3 C．m = 6 D．m = 5 BA3.因式分解：(1) 2x2 + 6xy + 4y2； (2) -3a2 + 18a - 24； (3) 2x2 - x - 10.解：(1) 原式＝2(x2 + 3xy + 2y2)＝2(x + y)(x + 2y).(2) 原式＝-3(a2 - 6a + 8) ＝-3(a - 2)(a - 4).(3) 原式＝(x + 2)(2x - 5) 4. 已知整式 A = x(x＋3)＋5，整式 B = ax－1.(1) 若 A＋B＝(x－2)2，求 a 的值；(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.解：(1) 因为A＋B＝x(x＋3)＋5＋ax－1＝x2＋(3＋a)x＋4，＝x2－4x＋4，且 A＋B＝(x－2)2，所以 3＋a＝－4.所以 a＝－7.(2) 因为A－B＝x(x＋3)＋5－(ax－1) ＝x2＋(3－a)x＋6，且 A＋B＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6，所以 3－a＝－5.(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.所以 a＝8.5. 分解因式：3ax＋4by＋4ay＋3bx.解：3ax＋4by＋4ay＋3bx ＝(3ax＋3bx)＋(4by＋4ay)＝3x(a＋b)＋4y(a＋b)＝(a＋b)(3x＋4y)十字相乘法与分组分解法十字相乘法公式x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)ax²＋bx＋c＝(dx＋m)(ex＋n)一分：先分组；二提：公因式；三套：公式；四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 分组分解法步骤